미적분

미분가능성과 연속성

미분가능 → 연속의 증명, 뾰족점·불연속점에서의 미분불가능 판정

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정의

미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 해서 항상 미분가능한 것은 아니다.

핵심 명제

ff가 x=ax=a에서 미분가능하면 x=ax=a에서 연속이다.

역은 성립하지 않는다. 연속이지만 미분불가능한 점이 존재한다 (뾰족점, 수직접선).

좌미분과 우미분

f−′(a)=lim⁡h→0−f(a+h)−f(a)h,f+′(a)=lim⁡h→0+f(a+h)−f(a)hf'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \quad f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

x=ax=a에서 미분가능   ⟺  \iff f−′(a)=f+′(a)f'_-(a) = f'_+(a)이고 그 값이 존재한다.

판정 절차

구간별 함수 ff에서 경계점 x=ax=a를 검사할 때:

  1. 연속 확인: lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
  2. 미분가능 확인: f−′(a)=f+′(a)f'_-(a) = f'_+(a)

1이 실패하면 2는 자동으로 실패한다.