정의
미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 해서 항상 미분가능한 것은 아니다.
핵심 명제
f\(f\)가 x=a\(x=a\)에서 미분가능하면 x=a\(x=a\)에서 연속이다.
역은 성립하지 않는다. 연속이지만 미분불가능한 점이 존재한다 (뾰족점, 수직접선).
좌미분과 우미분
f−′(a)=h→0−limhf(a+h)−f(a),f+′(a)=h→0+limhf(a+h)−f(a)\[f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \quad
f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
x=a\(x=a\)에서 미분가능 ⟺\(\iff\) f−′(a)=f+′(a)\(f'_-(a) = f'_+(a)\)이고 그 값이 존재한다.
판정 절차
구간별 함수 f\(f\)에서 경계점 x=a\(x=a\)를 검사할 때:
- 연속 확인: limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=f(a)\(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\)
- 미분가능 확인: f−′(a)=f+′(a)\(f'_-(a) = f'_+(a)\)
1이 실패하면 2는 자동으로 실패한다.