2026학년도 대학수학능력시험 공통 15번 직관적으로 문제를 관찰해보자(인터렉티브 그래프 포함)

들어가기 앞서…

이런 함수 그래프 문제는 어쩔 수 없이 접하는 지점이 정답과 관련이 높다. 값을 하나로 정해야 하는데, 등호가 빠진 지점으로 주어진다면 값을 하나로 정할 수 없기 때문. 결국, 등호를 일반적으로 사용할 수 있는 지점은 접하는 지점이 유일하다.

문제

정답

$\dfrac{15}{2}$

풀이

풀이 전략

$h'(x) = g(x) - f(x)$의 부호 변화를 두 그래프의 위치 관계로 파악하고, 극값이 정확히 하나만 생기는 조건으로 $a$의 최댓값을 구한다. 이후 정적분으로 $h(3)$을 계산한다.

Step 1. 상황을 먼저 이해하자

$h'(x) = g(x) - f(x)$의 부호가 바뀌는 지점에서 극값이 생긴다. 즉, 두 그래프 $f(x)$, $g(x)$의 교점에서 부호가 바뀌는지 확인하면 된다.

아래 그래프에서 파란색이 $f(x)$, 빨간색이 $g(x)$이다. 슬라이더로 $a$를 바꾸면서 두 그래프의 교점 개수가 어떻게 달라지는지 확인할 수 있다.

빨간 곡선이 파란 곡선보다 위에 있으면 $h'(x) > 0$, 아래이면 $h'(x) < 0$이다. 부호가 바뀌는 횟수 = 극값의 개수. $a$를 키울수록 $x < -1$ 구간에서 교점이 추가로 생겨 극값이 늘어남을 확인할 수 있다.

Step 2. 접한다고 가정하고 $a$값을 각각 구해보자

극값이 하나만 생기려면 $h'(x) = g(x) - f(x)$의 부호가 정확히 한 번만 바뀌어야 한다. 경계 상황, 즉 두 그래프가 접하는 경우를 구간별로 찾는다.

경우 ①: $x < -1$에서 $f(x)$와 $g(x)$가 접하는 경우

판별식 $= 0$ 조건:

$a = 0$이면 $g(x) = 0$이 되어 의미 없으므로 $\boldsymbol{a = 4}$가 후보.

경우 ②: $x \geq 1$에서 $f(x)$와 $g(x)$가 접하는 경우

$x = 1$ 또는 $x = a$에서 교점. 두 근이 일치($x=1=a$)하면 접하므로:

따라서 $a$의 후보는 $1$ 또는 $4$이다.

Step 3. 검증 — 큰 값부터 시작

최댓값을 구해야 하므로 $a = 4$부터 검증한다.

$a = 4$일 때 구간별로 $h'(x) = g(x) - f(x)$를 계산하면:

아래는 $h'(x)$를 직접 그린 그래프다.

$x < 4$에서 $h'(x) \geq 0$, $x > 4$에서 $h'(x) < 0$이므로 부호 변화가 $x = 4$ 딱 하나다. 따라서 $h(x)$의 극값도 정확히 하나이고, $a = 4$가 조건을 만족한다.

Step 4. 계산 — 실수 없이

$a = k = 4$이므로:

적분 구간을 $[0,\,1]$과 $[1,\,3]$으로 나눈다.

구간 $[0, 1]$: 이 구간에서 $g(x)=0$, $f(x)=x^2-x$이므로

구간 $[1, 3]$: 이 구간에서 $g(x)=4x-4$, $f(x)=x^2-x$이므로

따라서: