2024학년도 대학수학능력시험 미적분 29번 해설, 문제, 정답, 풀이 [241129m]

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2024학년도 대학수학능력시험 수학 풀이, 20, 22, 29, 30

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문제

첫째항과 공비가 각각 0이 아닌 두 등비수열 ${a_n}$, ${b_n}$에 대하여 두 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 각각 수렴하고,

$$\displaystyle\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n=\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\times\left(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\right),\\
&3\times\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|=7\times\sum_{n=1}^{\infty} |a_{3n}|\end{align}$$
이 성립한다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{2n-1}+b_{3n+1}}{b_n}=S$일 때, 120S의 값을 구하시오.

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정답

주관식 : 

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해설

우선, 이 문제에 한해서 범위를 특정하지 않은 단순 $\sum$ 기호는 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}$ 와 같은 표현임을 미리 알린다.

우선, $a_n=a{r_a}^{n-1}, b_n=b{r_b}^{n-1}$라 하자. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$이 각각 수렴하므로 $|r_a<1|$, $|r_b<1|$이다. 

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n=\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\times\left(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\right)$를 계산하면 아래와 같다.

$\displaystyle\frac{ab}{1-r_ar_b}=\frac{a}{1-r_a}\frac{b}{1-r_b}\therefore2r_ar_b=r_a+r_b$

문제 조건 $\displaystyle3\times\sum_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|=7\times\sum_{n=1}^{\infty} |a_{3n}|$을 이용하려고 한다. 경우를 나눌 때에는, $r_a$가 양수인 경우와 음수인 경우만 나누면 된다. (r이 양수이면 두 시그마값에 음의 부호를 붙어야 할 것이고, r이 음수이면 둘중 한 시그마 값에는 음의 부호가, 나머지 한 시그마 값에는 양의 부호가 번갈아 붙기 때문이다. 정 모르겠으면 직접 나누어서 해도 된다.)

 

 

 

 

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문제 검색 하는 법

문제 검색 하는 법 : [학년도/시행월/문제번호/과목명]
과목명 : [m - 수학 1ᐧ수학 2ᐧ미적분, k - 독서ᐧ문학ᐧ언어와 매체, p - 물리학 1]
ex) 24학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이의 경우 "240630m"(으)로 검색

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