2024학년도 6월 미적분 29번 엄청 쉬운 풀이 / 틀렸으면 들어와서 확인하기! [240622m]

2026.01.20) 최근에 미적분에서 원과 도형을 이용한 문제를 본 적이 없는것 같다. 혹시라도 기출을 풀면서 이 글을 보는 학생이 있다면 이런 내용을 풀 수 있는 "기초체력"은 얼마든지 마련해둬야한다고 생각한다. 즉, 문제 풀이 요법보다 어떤 생각을 갖게되는지, 풀이를 위한 생각을 어떻게 해야하는지에 대해 집중하면 된다.

오답률

2024학년도 6월 모의고사 수학 미적분

출처) 메가스터디 / EBSi

메가스터디와 EBSi 오답률을 찾아보면 많은 학생들이 29번, 22번, 30번을 포함한 기존 준킬러-킬러 문항대에서 어려움을 느낀 것을 알 수 있다.  개인적으로는 미적분 28번이 상당히 어려웠다고 생각했는데, 오답률 베스트 5에는 끼지도 못 한점이 의외이다.

이번 게시글에서 풀이할 29번은 조금만 센스 있게 풀이하면 간단히 풀이할 수 있다. 이번 문제를 통해 미분, 식 조작 방법을 마스터 하면 될 듯 하다. 또, 문제에서 조건을 두 접선이 직각이라고 주어줬지만, 충분히 다른 각도를 주어 계산하게 할 수 있을 것이다. 물론, 이렇게 문제를 출제한다면 조금 쉽게, 또 문항 번호도 앞에 두겠지만.

평가원은 6월, 9월에 출제 했던 미분/적분 문제에서 비슷한 개념을 차용해 적분/미분 문제를 만드는 경향이 있다. 9월 모의고사 문제를 봐야 알겠지만, 이번 수능 28, 29, 30번에 이와 비슷한 적분 문제가 출제될 가능성을 충분히 염두해 두고 공부해야 한다.

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문제

세 실수 $a,\,b,\,k$에 대하여 두 점 $A(a,a+k)$, $B(b,b+k)$가 곡선  $C:x^2-2xy+2y^2=15$ 위에 있다. 곡선 $C$ 위의 점 $A$ 에서의 접선과 곡선 $C$ 위의 점 $B$에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a+2k\neq0,\,b+2k\neq0$) [4점]

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정답

( 단답형 ) 5

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해설

우선 곡선 $C$를 $y$에 대해 미분하면 $\displaystyle2x-2y-2x\frac{dy}{dx}+4y\frac{dy}{dx}=0$이다. 
$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x-2y}\,(\text{단, }x-2y\neq0)$

두 점 $A$, $B$에서의 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle\frac{k}{2k+a}$, $\displaystyle\frac{k}{2k+b}$이다. (문제에서 $a+2k\neq0,\,b+2k\neq0$ 조건을 제공함) 

이제 두 접선의 기울기가 수직인 점을 이용하면 식이 하나 나올 것이다.

$$\frac{k}{2k+a}\frac{k}{2k+b}=-1\quad\because\text{수직}\\$$
$$\begin{align} k^2 &= -1\cdot(2k+a)(2k+b)\\ 0 &= {5k^2+2k(a+b)+ab} \end{align}$$

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또, 우리는 곡선 위의 점의 좌표를 아니깐 대입해서 값을 얻을 수 있다.

$C:(x-y)^2+y^2=15$

각각 두 점을 대입하면

$k^2+(a+k)^2=15,\,k^2+(b+k)^2=15$를 얻을 수 있고,
두 식을 서로 빼면 $(a+k)^2=(b+k)^2$를 구할 수 있다. 
즉, $a+k=b+k$, 또는 $a+k=-(b+k)$

그런데, 첫번째의 경우에는 $a=b$, 곡선의 같은 점에서의 기울기가 서로 수직일 수 없으므로 모순.

그러므로 $a+b=-2k$이다.

위에서 구한 $5k^2+2k(a+b)+ab=0$에 $a+b=-2k$를 넣어 계산하면 $k^2=-ab$를 얻을 수 있다.

이제 거의 다 왔다.

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-마지막 계산 방법 1-

위에서 구한 $15=k^2+(a+k)^2$에서 k를 없애는 방향으로 식을 조작하면
$\begin{align}15&=k^2+a^2+a\cdot 2k+k^2\\
&=-ab+a^2-a(a+b)-ab\\
&=-3ab\end{align}$

$ab=-5$이다.

$k^2=-ab$였으므로, $k^2=5$

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-마지막 계산 방법 2-

$a+b=-2k$, $ab=-k^2$이었다. 
$a$와 $b$를 이차방정식의 두 근이라고, 또 위의 두 식은 근과 계수의 관계를 알려준 것이라고 생각하면 $a$와 $b$를 $k$로 표현할 수 있다.

두 근의 평균은 $-k$이고, 각각 같은 거리 미지수 $p$만큼 떨어져 있다.
두 근의 곱이 $-k^2$이었으므로
$(-k+p)(-k-p)=-k^2$
$p=\pm\sqrt{2k}$

$a$와 $b$의 좌표는 $-k\pm\sqrt{2k}$이다. 

이렇게 구한 좌표를 다시 곡선의 방정식에 대입해주면
$k^2+(\sqrt{2k})^2=15$,  $k^2=5$가 나온다.

혹시 오류가 있을 수 있습니다. 혹시라도 발견하신다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문항의 오류를 댓글로 알려주신 두 분 정말로 감사드립니다!