2024학년도(2023년 시행) 6월 모의고사 공통 12번 해설, 문제, 정답, 풀이 [240612m]

평가

어려운 문항의 번호대는 아니지만, 내가 풀이한 방법이 일반적이지 않다고 생각해 이렇게 풀이를 올리게 되었다.

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문제

$a_2=-4$이고 공차가 $0$이 아닌 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 수열 $\{b_n\}$을 $b_n=a_n+a_{n+1}\,(n\geq 1)$이라 하고, 두 집합 $A,\,B$를

$$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}\;B=\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$$

라 하자. $n(A\cap B)=3$이 되도록 하는 모든 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_{20}$의 값의 합은? [4점]

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정답

( 객관식 ) 5번 : 46

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해설

$A$와 $B$를 표현하면

$A$	$B$
$a_1=-4-d$	$b_1=-8-d$
$a_2=-4$	$b_2=-8$
$a_3=-4+d$	$b_3=-8+d$
$a_4=-4+2d$	$b_4=-8+2d$
$a_5=-4+3d$	$b_5=-8+3d$

$n(A\cap B)=3$이라는 것은 어떤 $a_n$과 어떤 $b_i$이 서로 같다, 즉 둘이 빼면 0의 값을 갖는다라고 생각할 수 있다. 표를 그려 아래처럼 문제를 해결해보자.

$a_n-b_i$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$
$b_1$	$4$	$4+d$	$4+2d$	$4+3d$	$4+4d$
$b_2$	$4-2d$	$4-d$	$4$	$4+d$	$4+2d$
$b_3$	$4-4d$	$4-3d$	$4-2d$	$4-d$	$4$
$b_4$	$4-6d$	$4-5d$	$4-4d$	$4-3d$	$4-2d$
$b_5$	$4-8d$	$4-7d$	$4-6d$	$4-5d$	$4-4d$

$a_n-b_i$가 같은 값을 갖는, 또 그 값이 0인 것을 표에서 구하면 색칠 된 것처럼 $4-2d$ 또는 $4-4d$인 것을 알 수 있다.

즉 $d=2\text{또는}1$

$a_{20}=a_2+18d$ 이다. $a_{20}$의 값을 구하면

$\begin{aligned}a_{20}&=-4+36\\&=32\end{aligned}$ 

또는

$\begin{aligned}a_{20}&=-4+18\\&=14\end{aligned}$

이므로, 모든 $a_{20}$의 값의 합은 $32+14=46$

$\therefore 46$이다. 

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혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!