공통 수학에서 원과 삼각형이 나오면 sin cos법칙을 쓰는 문제가 많다. 만약 수험생 입장에서 문제를 아무리 풀어보려고 애써도 방법이 보이지 않는다면 의식적으로sin cos법칙을 사용하려고 해보자. 이 문제 역시 사인법칙과 코사인 법칙을 사용하는 문제이다. 만약 문제를 풀면서 이 생각을 하지 못하였다면 이번 기회에 잠시 화면을 꺼두고 문제를 풀어보러 가보자.
문제
출처: 2026학년도 대학수학능력시험 수학 14번출처: 2026학년도 대학수학능력시험 수학 14번
정답
정답: ④ $\frac{32\sqrt{15}}{25}$
해설(풀이)
1. 주어진 조건 그림위에 표시하자.
우선 기본적으로 문제에서 주어진 내용을 다 그림에 표시해보면 아래 그림과 같이 될 것이다. $\overline{AB}$ $\overline{BC}$의 길이를 각각 3과 4로 주어졌으니 피타고라스 법칙을 활용해 $\overline{AC} = 5$임을 구할 수 있다. 또한, $\overline{AB}$ 길이를 점 $D$가 $2:1$로 내분한다고 하였으므로, $\overline{AD}=2$, $\overline{DB}=1$임을 구할 수 있다. 이때, $\overline{AD}$이 곧 작은 원의 반지름이고, 같은 반지름인 $\overline{AG}$도 선을 이어주면 똑같이 길이가 $2$임을 알 수 있다. 그리고, 공통으로 주어진 각에 대한 정보도 쉽게 수식화 할 수 있으니 나중에 잊어버리기 전에 미리 수식으로 적어두자.
여기에서 갑자기 막막해질 수 있다. 이럴 때는 밑에서부터 위로 올라가는 Bottom-Top 방식 말고 위에서부터 내려오는 Top-Bottom 방식도 같이 사용하면 좋다.
2. 정답을 어떻게 구할지 생각해보자.
무슨 말이냐? 정답을 어떻게 구할지 유추해보는 것이다. 바로 아래 사진과 같이 큰 원에서의 사인법칙을 사용한 꼴이 답을 구하는 방법이 될 가능성이 높다.
우리는 $\sin{(\angle{BAC})}=\frac{4}{5}$임을 앞전에 구해뒀으니, 2r의 값을 구하기 위해 다른 삼각형들을 찾아다니다 보면 되는데...
찾았는가?
세 변의 길이를 모두 아는 삼각형이 알고보니 우리 눈 앞에 바로 있었단 것이다. 그러면, $\triangle{CGA}$와 $\triangle{CGE}$에서 코사인법칙을 순서대로 활용하면 $\angle{ACG}$에 대한 값과 $\overline{GE}$의 길이를 구할 수 있을 것이다. 앞으로 $\angle{ACG}=\theta$라 칭하겠다.
이걸 왜 구하냐고? 원 둘레 위의 세 점으로 만든 삼각형의 한 각과 마주보는 변의 길이를 알면 사인법칙을 통해 지름을 알 수 있으니깐!
3. 코사인 법칙을 사용하자.
코사인 법칙 큰 삼각형에서 사용하고 작은 삼각형에서 사용하면 위와 같이 풀릴 것이다. 또한, 뒤에서 사인법칙을 사용해 답을 구할거이므로 미리 $\sin\theta$값을 구해두자.
4. 답 구하자.
같은 원에 내접하는 삼각형이 두 개 있다면, 따로 지름 $2r$을 표현할 필요 없이 바로 등호로 같다고 표현할 수 있다.
여기에서 $\sin\bullet$, $?$, $\sin\theta$를 모두 아니깐 계산밖에 남지 않았다.
![그림과 같이 AB=3, BC=4이고 $\angle\text{B}=\frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $\text{ABC}$가 있다. 선분 $\text{AB}$를 2:1로 내분하는 점을 D, 점 $\text{A}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{\text{AD}}$인 원이 선분 $\text{AC}$와 만나는 점을 E, 직선 $\text{AB}$가 이 원과 만나는 점 중 $\text{D}$가 아닌 점을 $\text{F}$라 하고, 호 EF 위의 점 $\text{G}$를 $\overline{\text{CG}}=2\sqrt{6}$이 되도록 잡는다. 세 점 $\text{C, E, G}$를 지나는 원 위의 점 $\text{H}$가 $\angle\text{HCG}=\angle\text{BAC}$를 만족시킬 때, 선분 $\text{GH}$의 길이는? [4점]](https://blog.kakaocdn.net/dna/JXLND/dJMcacaNZrT/AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAEqHG2xteIERIR2WnZJ8mfxRwmTpvH7IodDPez5rLHBo/img.png?credential=yqXZFxpELC7KVnFOS48ylbz2pIh7yKj8&expires=1772290799&allow_ip=&allow_referer=&signature=mwi40Z88c%2F9EuWz%2BYD%2Flp14geYQ%3D)
