2026학년도 대학수학능력시험 공통 15번 쉬운 풀이 [261115]

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이런 함수 그래프 문제는 어쩔 수 없이 접하는 지점이 정답과 관련이 높다. 어쩔 수 없다. 값을 하나로 정해야하는데, 등호가 빠진 지점으로 주어진다면 값을 하나로 정할 수 없기 때문. 결국, 등호를 일반적으로 사용할 수 있는 지점은 접하는 지점이 유일하다. 
혹시라도 값을 a<k<b 이렇게 물어보는 경우라면 예외겠지만...(등호가 없기 때문)

만약 이런 생각을 하지 못하고 해설을 찾아다니는 수험생이라면 지금이라도 화면을 끄고, 접하는 지점을 단서로 풀어보자.

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문제

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정답

정답: ④ $\frac{15}{2}$  

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해설

Step 1. 상황을 먼저 이해하자.

$h(x)=\int_{0}^{x}(g(t)-f(t))dt$이 오직 하나의 극값을 가져야 한단다. 적분의 꼴은 이해하기 번거로우니, 미분된 $h^{\prime}(x)$꼴에서 적분하는 형식으로 유추해보자. 

도함수는 $h^{\prime}(x)=g(x)-f(x)$ 이다. (어렵지 않게 구할 수 있다.)
"오직 하나"의 극값을 가져야 한다고 하니, 극값이 생기는 조건에 자연스럽게 집중하게 될텐데, 극값이 생기려면 도함수가 + > - 또는 - > + 상황일 때 생기게 된다.

$h^{\prime}(x)=g(x)-f(x)$ 에 집중해야하는건 이제 자명한데, $h^{\prime}(x)$를 보기에는 여전히 번거롭다. 왜냐하면 아직 $a$ 의 값을 모르기 때문이다. 그러면 위 생각에서 한 단계 더 뻗어나가, 도함수의 부호가 바뀌는 것은 필연적으로 0을 지나게 된다는 점을 이용하면 될 것 같다! 저 말은 즉슨, 두 그래프를 각각 그리고 그래프의 관계에 대해 집중하면 된다는 것이다.

우선 $g(x)$, $f(x)$ 를 임의로 그리면 위 그림과 같게 된다. $h^{\prime}(x)$ 의 값은 결국 $g(x)$ 와 $f(x)$ 의 y값의 차이를 의미하므로 이를 시각화 해서 보면 아래 사진과 같이 부호를 쉽게 판별할 수 있게 된다.

임의로 그린 그래프인데, 위 그래프의 경우에도 극값이 오직 하나만 생기게 된다. 그럼, 이제 $a$ 의 최대값을 구해야하는데, 이건 어렵지 않겠다. 결국 접하는 지점과 관련이 있겠거늘.

Step 2. 접한다고 가정하고 a값을 각각 구해보자

위 사진과 같이 두 범위에 나눠 접하는 경우를 각각 생각해 볼 수 있다. 그렇게 계산하면 a의 후보지는 1 or 4가 되겠다...

Step 3. 검증, 큰 값부터 시작

이제 검증을 할 차례이다. 우리는 최대값을 구해야하므로 큰 값에서부터 검증을 시작하여 쳐내는 방법이 제일 유리하겠다. 그러므로, $a=4$ 인 경우를 먼저 생각해보자.

그래프를 우선 간략히 그려보고 대충 보면 x>1 에서 두 점에서 만나므로 뭔가 안될 것만 같지만 사실 정확하게 뜯어보면 교점이 생기기 전까지 여전히 두 그래프의 y값의 차이가 양수이므로 x=1 주변에서는 극값이 아직 생기지 않았음을 알 수 있다. 그러므로, 다른 것 더 찾아볼 것 없이 $a=4$ 가 정답 꼴이 되겠다.

Step 4. 마지막 남은 것은 계산. 실수 없이 잘 계산하자.

편의를 위해 적분 구간을 두 구간으로 나눴다. 왜냐하면, 우리는 공식으로 이차함수와 x축 사이에 생긴 넓이 공식을 알기 때문이다. 그렇게 적용하면 [왼쪽]에 있는 계산 결과를 얻을 수 있고, 나머지는 [오른쪽]과 같이 계산할 수 있다. 

실수 없이 계산하면 $h(3)=\frac72$ 가 나올 것이다.

$$ \begin{aligned} k + h(3) &= 4 + \frac{7}{2} \\ &\therefore \frac{15}{2} \end{aligned} $$

 

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

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