2026학년도 대학수학능력시험 미적분 29번 쉬운 풀이[261129] 등비수열, 등비급수

2026학년도 대학수학능력시험 미적분 29번 쉬운 풀이

2026학년도 대학수학능력시험 문제 해설 모음

역시 메가스터디 기준 정답률 41% 문제 답다. 29번치고 너무나도 쉬운 문제의 난이도였던 덕분에 29 30을 당연히 버리고 가던 학생한테는 매우 큰 타격이었겠다. (필자는 개인적으로 28번이 더 어렵다고 느꼈던것 같음) 간단한 문제 빠르게 해결하고 넘어가보자.

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문제

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정답

정답: 97

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해설

Step 1. 수열의 정의 및 관계식을 먼저 확인하자.

$$\begin{gather}\text{어떤 자연수 } k \text{에 대하여 아래의 식이 성립한다.} \\b_{k+i} = \frac{1}{a_i} - 1 \quad (i = 1, 2, 3)\end{gather}$$

나열하면 아래와 같이 나온다.

$$\begin{align}b_{1+k} &= \frac{1}{a_1} - 1\\b_{2+k} &= \frac{1}{a_2} - 1\\b_{3+k} &= \frac{1}{a_3} - 1\end{align}$$

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Step 2. 등비중항을 이용한 관계식을 유도하자

$b_n$ 은 등비수열이므로 아래와 같이 공비가 같다를 이용하면 식이 하나 나올 것이다.(등비중항)$$\frac{b_{1+k}}{b_{2+k}} = \frac{b_{2+k}}{b_{3+k}} \implies \boxed{(b_{2+k})^2 = b_{1+k} \cdot b_{3+k}}$$

계산하면...$$\begin{align}&\implies \left( \frac{1}{a_2} - 1 \right)^2 = \left( \frac{1}{a_1} - 1 \right) \left( \frac{1}{a_3} - 1 \right)\\[10pt]&\implies \frac{1}{(a_2)^2} - \frac{2}{a_2} + 1 = \frac{1}{a_1 a_3} - \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_3} + 1\\[10pt]&\implies \frac{1}{(a_2)^2} - \frac{2}{a_2} = \frac{1}{a_1 a_3} - \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_3}\end{align}$$

이때 $a_n=nd$ (공차가 $d$ 인 등차수열)이므로,$$\begin{align}\frac{1}{(2d)^2} - \frac{2}{2d} &= \frac{1}{d \cdot 3d} - \frac{1}{d} - \frac{1}{3d}\\[7pt]\frac{1}{4d^2} - \frac{1}{d} &= \frac{1}{3d^2} - \frac{4}{3d}\\[7pt]\end{align}$$정리하면 $d = \frac{1}{4}$ 이므로, $\boxed{a_n = \frac{1}{4}}n$ 이다.

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Step 3. 수열 b의 값을 계산하고 부등식을 통해 b_1을 결정하자

$$a_1 = \frac{1}{4}, a_2 = \frac{2}{4}, a_3 = \frac{3}{4}$$

을 대입하면:

$$\begin{align}b_{1+k} &= \frac{1}{1/4} - 1 = 3\\b_{2+k} &= \frac{1}{2/4} - 1 = 1\\b_{3+k} &= \frac{1}{3/4} - 1 = \frac{1}{3}\end{align}$$

따라서 수열 $b_n$의 공비는 $\boxed{r = \frac{1}{3}}$이다.$b_{k+1} = 3$이므로 역순으로 계산하면:$b_k = 9, b_{k-1} = 27, b_{k-2} = 81, \dots$ ($k \ge 3\text{ 인 경우}$) 와 같이 $b_n$이 정의될 것이다.

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부등식

$$0 < \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n - \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right) < 30$$

안에 있는 $b_n$과 $\frac{1}{a_n a_{n+1}}$ 이 각각 수렴하므로서로 분리할 수 있고, 분리해서 계산해보면 아래와 같다.

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$$\sum b_n = \frac{b_1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}b_1$$

 

$$\begin{align}\sum \frac{1}{a_n a_{n+1}} &= \sum{\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)} \\[7pt]&= 4\left[ \frac{1}{a_{1}} - \cancel{\frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+1}}} - \cancel{\frac{1}{a_{n+2}} + \dots} \right] \\[7pt]&= 16\end{align}$$

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따라서,$$\begin{aligned}0 &< \frac{3}{2} b_1 - 16 < 30 \\[7pt]10.66... &< b_1< 30.66...\end{aligned}$$

수열 $b_n$의 항 중에서 이 범위에 해당하고 공비가 $1/3$인 값은 $\boxed{b_1 = 27}$ 이다.

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Step 4. 최종 정답을 구하자

$$a_2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} b_{2n}$$

을 구하면 되는건데..

$$a_2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} \text{ 이고,}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} \text{은 첫째항이 } b_2 = 9 \text{, 공비가 } \frac{1}{9} \text{인 등비급수이다.}$$

따라서 등비급수의 합은 아래 식과 같이 되며,

$$\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{9}{1 - 1/9} = \frac{9}{8/9} = \frac{81}{8}$$

결과를 구하면 아래와 같다.

$$a_2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{81}{8} = \frac{81}{16} = \frac{q}{p}$$

따라서 $p = 16, q = 81$이며,$$p + q = 16 + 81 = \boxed{97}$$

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