2026학년도 대학수학능력시험 미적분 30번 쉬운 풀이(정석 풀이) [261130]

들어가기 앞서..

이 문제는 어렵다기보단 헷갈리는 문제이다. 결국 역함수와 원함수의 관계를 정확히 이해하고 풀어야 하는 문제이다. 암흑의 대치동 n축 방법을 쓰면 이해가 쉽긴 하겠지만, 결국 계산 과정은 비슷하므로 이 글에서는 다루지 않겠다.

혹시라도 당신이 N축을 사용한다고 시험지를 돌렸으면 잘 생각해야하는게 x축과 y축을 서로 뒤바꾸고, 해당 방향이 증가하는 방향임을 인지해야한다. 대충 보기에 감소하는 것 같다고 그렇게 처리해버리면 당신의 성적도 내리꽂을테니깐...

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문제

미적분 30번

정답

정답: 11

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해설(정석)

Step 1. 상황 이해

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수의 역함수가 박스 내의 조건을 만족시킨단다.
여기에서 우선 짚고 넘어가야하는 것은, $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다는 점이다.
원함수와 역함수는 $y=x$ 대칭인데, 이 대칭성은 함수의 특징(우상향)은 역함수에도 그대로 들고간다.
$\therefore f^{-1}(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가

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이제 아래의 조건을 보자.
$$\boxed{\begin{aligned} &\text{(가) }|x|\le1\text{일 때, }4\times(f^{-1}(x))^2=x^2(x^2-5)^2\text{ 이다.}\\ &\text{(나) }|x|>1\text{일 때, }|f^{-1}(x)|=e^{|x|-1}+1\text{ 이다.} \end{aligned}}$$

아래의 조건을 보면 벌써 함수를 어떻게 정해야 할 지 어지럽다고 느낄 수 있지만, 여기에서 어지럽다고 버리는 것은 허수를 증명하는 셈이다. 적어도 여기에서는 쫄지말자.
침착하게 보기 싫은 제곱과 절댓값을 벗겨보자

아래 (가) 조건 식의 양변을 제곱근 씌워주면, 아래와 같이 된다.
$$\begin{aligned} 4\times(f^{-1}(x))^2&=x^2(x^2-5)^2\\ &\Downarrow\\ 2\times(f^{-1}(x))&=\pm x(x^2-5) \end{aligned}$$
아래 (나) 조건 식의 절댓값을 벗기면 아래와 같이 된다.
$$\begin{aligned} |f^{-1}(x)|&=e^{|x|-1}+1\\ &\Downarrow\\ f^{-1}(x)&=\pm e^{|x|-1}+1 \end{aligned}$$
이제 $f^{-1}(x)$의 그래프를 그릴 수 있을 것 같다. 제곱을 없애고 절댓값을 벗기면서 생긴 $\pm$ 을 모두 고려하여 그래프를 그려보자.

x 같은 그래프 모양이다.

이제 위 그래프에 그린 $f^{-1}(x)$의 후보중에서 우상향 하는 함수를 골라 그리면
아래 그래프에 나오는 구간들만이 선정되게 된다. 이제 이 식을 적어주면 아래와 같다.

$$ f^{-1}(x)=\begin{dcases} -e^{-x-1}-1 & (x < -1)\\ -\frac{1}{2}x(x^2-5) & ( -1 \le x \le 1)\\ e^{x-1}+1 & (1 < x) \end{dcases} $$
이제 역함수를 정했고 문제의 핵심인 $g(m)$을 다루러 가보자.

우상향이므로, 우상향 하는 경우만 남기자.

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Step 2. 역함수를 어떻게 이용해서 어떻게 원함수를 해석할지 고민하자.

기울기가 m이고 점 (1,0)을 지나는 직선이 곡선 y=f(x)와 만나는 점의 갯수를 g(m) 이라고 하였는데, 구한 역함수를 원함수로 바꿔서 구하는 것은 딱봐도 불가능으로 보인다. 그러므로, 역함수에서 유도해야하는데..
역함수 입장으로 바꾸면 기울기가 $\frac{1}m$이고, 점 (0,1)을 지나는 직선이 역함수와 만나는 점의 갯수이므로, 마치 시험 문제를 애초에 이렇게 물어본 것마냥 풀면 된다.

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Step 3. 역함수를 통해 특징점들을 찾아내자

분명 이런 문제는 무조건!! 접하는 부분이 답과 관련있다. 그러므로 접하는 지점을 매우 열심히 찾고 관찰해야하는데, 어디에서 접하는지 감이 잘 오지 않으므로, 중요해보이는 지점의 (곡선의) 접선의 기울기와 점과 해당 지점간의 기울기를 먼저 구해보자.
위에서 말한 중요해보이는 지점은 x=-1과 x=1이다.

우선, 이 계산을 편히 하기 위해 역함수를 미분하자.
$$ (f^{-1})^\prime(x)=\begin{dcases} e^{-x-1} & (x < -1)\\ -\frac{3}{2}x^2+\frac52 & ( -1 \le x \le 1)\\ e^{x-1} & (1 < x) \end{dcases} $$

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우연하게도, x=-1과 x=1에서 미분 가능하고, 두 점 다 접점의 기울기가 1이다.
또한, 점 (0,1)에서 (1,2)로 이은 직선의 기울기는 1이고, 점 (0,1)에서 (-1,-2)으로 이은 기울기는 -3이다.

여기서 우리는 곡선 위의 점 (1,2)는 변곡점을 가지는 지점임을 알 수 가 있다. 따라서, 점 (0,1)에서 곡선 (1,2) 주변으로 아무리 직선을 그어도 만나는 교점은 1개가 끝일 것이다.

여기서 또한 우리는 곡선 위의 점 (-1,-2)에서는 점에서 점으로 이은 직선의 기울기가 -3이므로, x<-1의 영역에서 접점이 하나 생길 수 있음을 알 수 있다. 따라서, 여기의 접점의 관계식만 구하면 된다는 것!

접점의 x좌표를 t라고 둔다면(t<-1) 교점의 좌표는 $(t,-e^{-t-1}-1)$이다. 이 점에서 (0,1)의 점과 접한다라고 가정 후 점 t를 두었으니, 해당 가정을 적용하면 아래와 같다. (점끼리 이은 기울기는 접점의 기울기와 같다)
$$\frac{-e^{-t-1}-1-1}{t-0}=e^{-t-1}$$
이를 정리하면
$$\begin{aligned} {-e^{-t-1}-2}&=te^{-t-1}\\ &\Downarrow\\ -te^{-t-1}-e^{-t-1}&=2\\ &\Downarrow\\ (-t-1)e^{(-t-1)}&=2 \end{aligned}$$

Step 4. 정답을 구하자

아까 위에서 우리는 원함수가 관찰하기에 매우 어려웠기 때문에 역함수를 관찰하였다. 그러면서 문제의 정의를 역함수 입장에 맞게 바꿔줬는데, 이는 기울기가 $\frac{1}m$이고, 점 (0,1)을 지나는 직선이 역함수와 만나는 점의 갯수이었다. 이걸 다시 원함수 기준으로 바꿔보자.

역함수 입장에서 기울기가 0+(우극한)~1~$e^{-t-1}$~3~양의 무한대으로 가면서 접점의 갯수가 1~1~(2)~3개가 되었다.

이는 원함수 입장에서는 기울기가 양의 무한대~1~$\frac{1}{e^{-t-1}}$~$\frac13$~0으로 가면서 접점의 갯수가 1~1~(2)~3개가 되는 꼴인 것이다.

또한, 역함수 입장에서 기울기가 0-(좌극한)~음의 무한대로 가면서 접점의 갯수는 모두 0이므로, 원함수 입장에서는 기울기가 음의 무한대~0으로 가면서 접점의 갯수가 0임을 알 수 있다. 

따라서 이를 그래프로 그리면 아래 그림과 같다.

m과 g(m)의 그래프이다.

따라서, 불연속 점 a와 b는 각각 0과 $\frac{1}{e^{-t-1}}$가 되는 것이고, a와 관련된 값을 모두 구하면 아래와 같다.
$$g(a)=\boxed{1},\lim_{m\to{a+}}g(m)=\boxed{3}$$

이번에는 b의 차례인데, g(b)는 쉽게 구할 수 있지만, lnb/b는 마냥 쉽지는 않아보인다. 하지만, $b=\frac{1}{e^{-t-1}}$를 이용해서 대입하면 위에서 본 모양인 $(-t-1)e^{(-t-1)}=2$ 이 나올 것이다. 당황하지 않고 값을 넣어주면 된다.

$$g(b)=\boxed{2}$$
$$\begin{aligned} \left(\frac{\ln{b}}{b}\right)^2&=\left(-(-t-1)e^{(-t-1)}\right)^2\\ &=\boxed{(-2)^2} \end{aligned}$$

이므로, 모두 합쳐서 계산 해주면

$$\begin{aligned} &g(a) \times \left(\lim_{m \to {a+}}g(m)\right)+g(b) \times \left(\frac{\ln{b}}{b}\right)^2\\ &=1\times3+2\times(-2)^2\\&=\boxed{11} \end{aligned}$$

11이 답이다.

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