2026학년도 대학수학능력시험 미적분 27번 쉬운 풀이[261127] 매개변수 함수 그래프 모양 포함

2026학년도 대학수학능력시험 미적분 27번 쉬운 풀이[261127] 매개변수 함수 그래프 모양 포함

미적분 27번은 처음 봤을 때 약간 당황스러울 수 있지만, 등식을 연결하고 풀면 t값을 너무나도 쉽게 구할 수 있어 사실상 계산문제이다. 혹시라도 t값을 찾지 못했다면 지금이라도 화면 끄고 매개변수로 표현된 x, y를 직선에 대입해 t값을 구해보자.

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문제

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정답

정답: ② $\displaystyle\frac{3\pi - 2}{\pi + 6}$

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해설

Step 1. 문제 풀이 설계를 하자

문제를 처음 읽으면 복잡한 매개변수로 표현된 곡선과 직선이 만난다고 되어있어 당장이라도 포기하고 싶어진다. 변수가 당장 세 개 같아 보이기 때문. 하지만, 문제 조건에 의하면 여기에서 독립적으로 바뀌는 값은 t하나뿐이다. x 와 y는 t에 의해 바뀌기 때문이다.

그렇다면... t로만 이루어진 식을 만들 수 있을 것이고, 아마도 t의 정확한 값을 구할 수 있을 것이다. 안된다면 그때 생각해보자.

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Step 2. t 값을 찾아보자

매개변수로 나타내어진 곡선과 직선이 만난다고 하였으므로, 직선에 매개변수로 나타내어진 변수를 각각 집어넣으면 되겠다. 다시말해 $x=e^{4t}(1 + \sin^2 \pi t)$와 $y=e^{4t}(1 - 3 \cos^2 \pi t)$를 식에 넣는 것이다.

방정식을 아래와 같이 세울 수 있을 것이다. $$e^{4t} - 3e^{4t} \cos^2 \pi t = 3e^{4t} + 3e^{4t} \sin^2 \pi t - 5e$$  $$\begin{align}5e &= 2e^{4t} + 3e^{4t} (\underbrace{\sin^2 \pi t + \cos^2 \pi t}_{1})\\5e &= 5e^{4t}\end{align}$$$$5e^1 = 5e^{4t} \Rightarrow e^1 = e^{4t} \Rightarrow 4t = 1$$$$\boxed{\therefore\quad t = \frac{1}{4}}$$

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Step 3. 매개변수 미분하자.

곡선의 기울기를 구하라 했는데, 기울기는 $\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$으로 구할 수 있을 것이다. 하지만, 이 문제에서는 매개변수로 나타내어진 곡선함수이므로, 오른쪽과 같이 $\frac{dy/dt}{dx/dt}$이라고 생각해야한다.

따라서, 본래 t로 나타내어진 x, y 식을 t로 미분 한 뒤 저기 모양에 대입하면 되는 것일테니... 계산만 남았다.

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$y$ 의 미분 $(\frac{dy}{dt})$$$\frac{dy}{dt} = 4e^{4t}(1 - 3 \cos^2 \pi t) + e^{4t}(6\pi \cos \pi t \sin \pi t)$$$$t = \frac{1}{4} \quad\text{대입하면}$$$$\begin{align}\left. \frac{dy}{dt} \right|_{t=\frac{1}{4}} &= 4e(1 - 3 \cdot \frac{1}{2}) + e(6\pi \cdot \frac{1}{2}) \\&= -2e + 3e\pi\end{align}$$

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$x$ 의 미분 $(\frac{dx}{dt})$$$\frac{dx}{dt} = 4e^{4t}(1 + \sin^2 \pi t) + e^{4t}(2\pi \sin \pi t \cos \pi t)$$$$t = \frac{1}{4} \quad\text{대입하면}$$$$\begin{align}\left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=\frac{1}{4}} &= 4e(1 + \frac{1}{2}) + e(2\pi \cdot \frac{1}{2}) \\&= 6e + e\pi\end{align}$$

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Step 4. 정답을 구하자

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-2e + 3e\pi}{6e + e\pi} \text{ 이므로}$$

$$\text{분자 분모를 e로 나누어 정리하면}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3\pi - 2}{\pi + 6}$$

번외) 이 함수에서 표현하려던 그래프는 무엇이었을까?

 

왼쪽의 모양이 계속 반복되는 프랙탈 함수이다. 아무래도 삼각함수의 주기성과 지수의 성질때문에 화면을 축소해도 계속 같은 보양이 반복된다.

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