g(x)=\sqrt[3]{x(f(x))^2}가 실수 전체에서 미분가능하다 세제곱근 안쪽 식의 1차 또는 2차 영점은 미분가능성을 깨뜨린다 x=0에서 미분가능하려면 f(0)=0이어야 하므로 f(x)=xp(x)로 둘 수 있다 남은 이차식 p(x)는 실근이 없는 경우만 가능하다 극값 위치 19/7과 3은 3p(x)+2xp'(x)=0의 두 근이다

6월 모의고사 미적분 30번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2027학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이 | 세제곱근 미분가능성과 극값

정답

핵심 요약

세제곱근 안쪽 식의 영점 차수로 f(0)=0과 f=xp를 얻고, G=g^3의 도함수에서 3p+2xp'=0을 세워 p(x)=x^2-8x+19, f(5)=20을 계산한다.

들어가기 앞서…

이 문제는 삼차함수의 계수를 바로 두고 밀어붙일 수도 있지만, 먼저 봐야 할 곳은 $g(x)$ $g(x)$가 아니라 세제곱근 안쪽 식의 영점 차수이다. 세제곱근은 안쪽이 1차나 2차로만 0이 되면 미분가능성이 깨지므로, 이 조건이 $f(x)$ $f(x)$의 인수 구조를 강하게 제한한다.

또 극값 조건을 쓸 때도 $g$ $g$를 직접 미분하기보다 $G(x)=g(x)^3$ $G(x)=g(x)^3$을 잡으면 계산이 짧다. 주어진 극값 위치가 양수이고 나중에 $p(x)>0$ $p(x)>0$이 확인되므로, 극값 위치에서는 $G'(x)=0$ $G'(x)=0$을 계수 조건으로 써도 된다는 점이 핵심이다.

문제

문제 텍스트 주관식

최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$ $g(x)$는

g(x)=\sqrt[3]{x\{f(x)\}^2}

이다. 함수 $g(x)$ $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $x=\frac{19}{7}$ $x=\frac{19}{7}$와 $x=3$ $x=3$에서 극값을 가질 때, $f(5)$ $f(5)$의 값을 구하시오. [4점]

정답

$20$ $20$

풀이

세제곱근 안의 영점 차수를 먼저 본다

먼저 세제곱근을 제거해 다음과 같이 둔다.

g(x)^3=x\{f(x)\}^2

세제곱근 안쪽 식이 어떤 점에서 1차로 0이 되면 $\sqrt[3]{x-a}$ $\sqrt[3]{x-a}$ 꼴이 생기고, 2차로 0이 되면 $|x-a|^{2/3}$ $|x-a|^{2/3}$ 꼴이 생긴다. 둘 다 그 점에서 미분가능하지 않다. 따라서 안쪽 식의 실근은 적어도 3차 이상으로 잡혀야 한다고 볼 수 있다.

특히 $x=0$ $x=0$을 보자. 식 앞에 이미 $x$ $x$가 하나 있으므로, 만약 $f(0)\ne0$ $f(0)\ne0$이면 $x\{f(x)\}^2$ $x\{f(x)\}^2$은 $x=0$ $x=0$에서 1차로만 0이 된다. 그러면 $g$ $g$는 $x=0$ $x=0$에서 미분가능하지 않다.

따라서 반드시 $f(0)=0$ $f(0)=0$이고, 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f$ $f$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

f(x)=xp(x)

여기서 $p(x)$ $p(x)$는 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 이차식이다. 그러면

g(x)^3=x^3\{p(x)\}^2

이 된다. 미분가능 조건은 이제 삼차함수 전체가 아니라 남은 이차식 $p(x)$ $p(x)$의 근 구조를 정하는 문제로 바뀐다.

세제곱근 안쪽의 영점 차수로 f(0)=0과 f(x)=xp(x) 구조를 얻는 과정. — 미분가능 조건은 세제곱근 안쪽 식의 영점 차수 조건으로 먼저 정리된다.

이차식 p의 실근 가능성을 줄인다

$p(x)$ $p(x)$가 $0$ $0$이 아닌 곳에서 단근을 가지면 $\{p(x)\}^2$ $\{p(x)\}^2$ 때문에 $x\{f(x)\}^2$ $x\{f(x)\}^2$은 그 점에서 2차로만 0이 된다. 그러면 $g$ $g$는 $|x-a|^{2/3}$ $|x-a|^{2/3}$ 꼴을 포함하므로 미분가능하지 않다.

서로 다른 두 실근이 있으면 적어도 하나는 $0$ $0$이 아닌 단근이므로 앞의 미분 불가 경우에 포함된다. 따라서 $p$ $p$는 실근이 없거나, 실근이 있더라도 중근이어야 한다.

중근 가능성도 제거된다. 만약 $p(x)=(x-k)^2$ $p(x)=(x-k)^2$라면

g(x)=x|x-k|^{4/3}

이다. 이때 $x=k$ $x=k$가 한 극값 후보가 되고, $x\ne k$ $x\ne k$에서 미분하면 다른 극값 후보는 $x=\frac{3k}{7}$ $x=\frac{3k}{7}$이다. 따라서 두 극값 위치는 $k$ $k$와 $\frac{3k}{7}$ $\frac{3k}{7}$의 비율을 가져야 한다.

하지만 주어진 두 극값 위치는 $\frac{19}{7}$ $\frac{19}{7}$과 $3$ $3$이다. 큰 값과 작은 값의 비는

\frac{3}{19/7}=\frac{21}{19}

이고, 중근 경우의 비 $\frac{7}{3}$ $\frac{7}{3}$과 맞지 않는다. 따라서 중근 경우는 불가능하다.

결국 $p(x)$ $p(x)$는 실근을 갖지 않는다. $p$ $p$는 최고차항의 계수가 양수인 이차식이므로 모든 실수 $x$ $x$에서 $p(x)>0$ $p(x)>0$이다.

p의 단근과 중근 가능성을 제거하고 p(x)>0인 경우만 남기는 케이스 분류. — 단근과 중근 가능성을 제거하면 p(x)>0인 경우만 남는다.

극값 조건은 G=g^3에서 잡는다

이제 $p(x)>0$ $p(x)>0$이므로

g(x)=x\{p(x)\}^{2/3}

이다. 여기서 $G(x)=g(x)^3$ $G(x)=g(x)^3$을 두면

G(x)=x^3\{p(x)\}^2

이다. 주어진 극값 위치 $\frac{19}{7}$ $\frac{19}{7}$과 $3$ $3$은 모두 양수이고, $p(x)>0$ $p(x)>0$이므로 그 두 점에서 $g(x)\ne0$ $g(x)\ne0$이다. 따라서 그 점들에서 $g'(x)=0$ $g'(x)=0$이면 $G'(x)=3g(x)^2g'(x)=0$ $G'(x)=3g(x)^2g'(x)=0$도 성립한다.

$G$ $G$를 미분하면

G'(x)=x^2p(x)\{3p(x)+2xp'(x)\}

이다. 두 극값 위치에서는 $x>0$ $x>0$이고 $p(x)>0$ $p(x)>0$이므로, 실제로 계수를 정하는 식은 다음 하나로 줄어든다.

3p(x)+2xp'(x)=0

즉 두 극값 위치 $\frac{19}{7}, 3$ $\frac{19}{7}, 3$은 $3p(x)+2xp'(x)$ $3p(x)+2xp'(x)$의 두 근이다.

계수를 정한다

$p(x)=x^2+ax+b$ $p(x)=x^2+ax+b$로 둔다. 그러면 $p'(x)=2x+a$ $p'(x)=2x+a$이므로

\begin{aligned} 3p(x)+2xp'(x) &=3(x^2+ax+b)+2x(2x+a)\\ &=7x^2+5ax+3b \end{aligned}

이다.

이 이차식의 두 근이 $\frac{19}{7}$ $\frac{19}{7}$과 $3$ $3$이고 최고차항이 $7$ $7$이므로

7x^2+5ax+3b =7\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3) =7x^2-40x+57

이다. 따라서 $5a=-40$ $5a=-40$, $3b=57$ $3b=57$이므로

a=-8,\qquad b=19

이다. 곧

p(x)=x^2-8x+19=(x-4)^2+3

을 얻는다.

G=g^3을 미분해 3p+2xp'=0을 얻고 계수를 비교해 a=-8, b=19, f(5)=20을 구하는 계산. — G=g^3을 미분하면 극값 위치를 계수 비교식으로 바로 연결할 수 있다.

조건을 다시 확인하고 f(5)를 구한다

구한 이차식은 $p(x)=(x-4)^2+3$ $p(x)=(x-4)^2+3$이므로 모든 실수에서 양수이다. 앞에서 남긴 경우인 $p(x)>0$ $p(x)>0$과 정확히 맞고, 따라서

f(x)=x(x^2-8x+19)

이다.

극값 조건도 확인된다. 위에서

3p(x)+2xp'(x) =7\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3)

을 얻었다. 두 점 근처에서 $x^2p(x)>0$ $x^2p(x)>0$이고 $g(x)\ne0$ $g(x)\ne0$이므로 $G'(x)$ $G'(x)$와 $g'(x)$ $g'(x)$의 부호는 $\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3)$ $\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3)$의 부호와 같다. 따라서 $x=\frac{19}{7}$ $x=\frac{19}{7}$에서는 증가에서 감소로, $x=3$ $x=3$에서는 감소에서 증가로 바뀌어 실제 극값을 준다.

마지막으로

f(5)=5(25-40+19)=20

이다. 따라서 구하는 값은 $20$ $20$이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

세제곱근과 미분가능 조건이 함께 나오면 먼저 세제곱근 안쪽 식의 영점 차수를 본다. 이 문제에서는 그 관찰이 $f(0)=0$ $f(0)=0$을 강제했고, $f(x)=xp(x)$ $f(x)=xp(x)$로 구조를 줄였다.

그다음 극값 조건은 $g$ $g$를 직접 미분하지 않고 $G=g^3=x^3\{p(x)\}^2$ $G=g^3=x^3\{p(x)\}^2$를 미분해 $3p+2xp'=0$ $3p+2xp'=0$으로 바꾸면 된다. 두 극값 위치를 이 이차식의 두 근으로 놓으면 $p(x)$ $p(x)$가 바로 정해지고, 마지막에 $p(x)>0$ $p(x)>0$과 극값 부호 변화를 확인하면 풀이가 닫힌다.