처음에 1번과 6번 카드는 뒷면, 2번부터 5번 카드는 앞면이다 홀수 눈 k가 나오면 k 이하의 카드, 짝수 눈 k가 나오면 k 이상의 카드를 뒤집는다 마지막에 모두 앞면이 되려면 1번과 6번 카드는 홀수 번, 나머지는 짝수 번 뒤집혀야 한다 네 번의 주사위 결과는 각 눈의 출현 횟수 홀짝으로 압축한다 홀짝 패턴은 네 가지이고, 홀수 출현 눈이 2개인 패턴과 4개인 패턴으로 나누어 센다

2027학년도 6월 모의고사 확률과 통계 28번 풀이 | 카드 뒤집기와 홀짝 패턴 [270628p]

들어가기 앞서…

이 문제는 네 번의 카드 상태를 직접 추적하면 경우가 빠르게 복잡해진다.
하지만 카드에는 앞면과 뒷면 두 상태만 있으므로, 실제로 필요한 정보는 각 카드가 몇 번 뒤집혔는지의 홀짝뿐이다.

따라서 한 번의 시행을 카드별 뒤집힘 표로 바꾼 뒤, 주사위 눈 $i$ $i$가 나온 횟수 $n_i$ $n_i$의 홀짝 조건으로 압축한다.
이후에는 여섯 카드 상태가 아니라 여섯 눈의 출현 횟수 홀짝 패턴만 세면 된다.

문제

문제 텍스트 객관식

앞면에 숫자 $1,2,3,4,5,6$ $1,2,3,4,5,6$이 하나씩 적혀 있는 카드 $6$ $6$장이 있다. 각 카드의 뒷면에는 앞면에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적혀 있다.

처음에는 숫자 $1,6$ $1,6$이 적힌 카드는 뒷면이 보이도록 놓여 있고, 숫자 $2,3,4,5$ $2,3,4,5$가 적힌 카드는 앞면이 보이도록 놓여 있다.

이 $6$ $6$장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ $k$일 때,

$k$ $k$가 홀수이면 $k$ $k$ 이하의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집고,
$k$ $k$가 짝수이면 $k$ $k$ 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다.

이 시행을 $4$ $4$번 반복한 후 $6$ $6$장의 카드가 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은?

① $\dfrac{19}{162}$ $\dfrac{19}{162}$
② $\dfrac{13}{108}$ $\dfrac{13}{108}$
③ $\dfrac{10}{81}$ $\dfrac{10}{81}$
④ $\dfrac{41}{324}$ $\dfrac{41}{324}$
⑤ $\dfrac{7}{54}$ $\dfrac{7}{54}$

정답

③

풀이

한 번의 시행을 카드별 표로 바꾼다

네 번의 주사위 결과를 처음부터 나열하면 전체 경우가 $6^4$ $6^4$개이다.
먼저 한 번의 시행에서 주사위 눈 하나가 어떤 카드를 뒤집는지 정리한다.

주사위 눈 $k$ $k$	뒤집히는 카드
$1$ $1$	$\{1\}$ $\{1\}$
$2$ $2$	$\{2,3,4,5,6\}$ $\{2,3,4,5,6\}$
$3$ $3$	$\{1,2,3\}$ $\{1,2,3\}$
$4$ $4$	$\{4,5,6\}$ $\{4,5,6\}$
$5$ $5$	$\{1,2,3,4,5\}$ $\{1,2,3,4,5\}$
$6$ $6$	$\{6\}$ $\{6\}$

이 표를 카드별로 다시 읽으면 다음과 같다.

카드	이 카드가 뒤집히는 주사위 눈
$1$ $1$	$1,3,5$ $1,3,5$
$2$ $2$	$2,3,5$ $2,3,5$
$3$ $3$	$2,3,5$ $2,3,5$
$4$ $4$	$2,4,5$ $2,4,5$
$5$ $5$	$2,4,5$ $2,4,5$
$6$ $6$	$2,4,6$ $2,4,6$

처음에 카드 $1,6$ $1,6$은 뒷면이고 카드 $2,3,4,5$ $2,3,4,5$는 앞면이다.
마지막에 모두 앞면이 되려면 카드 $1,6$ $1,6$은 홀수 번 뒤집혀야 하고, 카드 $2,3,4,5$ $2,3,4,5$는 짝수 번 뒤집혀야 한다.
즉 카드 상태를 매번 따라가는 문제가 아니라 뒤집힌 횟수의 홀짝을 맞추는 문제이다.

카드의 처음 상태와 주사위 눈별 뒤집힘 규칙을 카드별 홀짝 조건으로 바꾸는 표. — 한 번의 시행 표를 카드별로 다시 읽으면 마지막 조건이 홀짝 조건으로 바뀐다.

출현 횟수의 홀짝 조건으로 압축한다

주사위 눈 $i$ $i$가 네 번의 시행 동안 나온 횟수를 $n_i$ $n_i$라고 하자.
카드별 조건은 다음 합동식으로 바뀐다.

\begin{aligned} n_1+n_3+n_5 &\equiv 1 \pmod{2},\\ n_2+n_3+n_5 &\equiv 0 \pmod{2},\\ n_2+n_4+n_5 &\equiv 0 \pmod{2},\\ n_2+n_4+n_6 &\equiv 1 \pmod{2}. \end{aligned}

첫 번째 식은 카드 $1$ $1$이 홀수 번 뒤집힌다는 조건이다.
두 번째 식은 카드 $2,3$ $2,3$이 짝수 번 뒤집힌다는 조건이고, 세 번째 식은 카드 $4,5$ $4,5$가 짝수 번 뒤집힌다는 조건이다.
네 번째 식은 카드 $6$ $6$이 홀수 번 뒤집힌다는 조건이다.

이제 가능한 구조를 줄인다.
첫 번째 식과 두 번째 식을 더하면 $n_1+n_2\equiv1\pmod{2}$ $n_1+n_2\equiv1\pmod{2}$이다.
두 번째 식과 세 번째 식을 더하면 $n_3+n_4\equiv0\pmod{2}$ $n_3+n_4\equiv0\pmod{2}$이다.
세 번째 식과 네 번째 식을 더하면 $n_5+n_6\equiv1\pmod{2}$ $n_5+n_6\equiv1\pmod{2}$이다.

여기에 원래 조건 중 하나인 $n_2+n_3+n_5\equiv0\pmod{2}$ $n_2+n_3+n_5\equiv0\pmod{2}$도 함께 남기면 조건은 다음처럼 압축된다.

\begin{aligned} n_1+n_2 &\equiv 1 \pmod{2},\\ n_3+n_4 &\equiv 0 \pmod{2},\\ n_5+n_6 &\equiv 1 \pmod{2},\\ n_2+n_3+n_5 &\equiv 0 \pmod{2}. \end{aligned}

서로 더해서 같은 항을 지우면 여섯 눈의 홀짝 관계가 훨씬 작아진다.

카드별 조건을 서로 더해 네 번 시행의 홀짝 조건을 압축하는 흐름. — 카드별 합동식을 서로 더하면 출현 횟수의 홀짝 관계가 압축된다.

네 가지 홀짝 패턴만 남긴다

$p_i$ $p_i$를 $n_i$ $n_i$의 홀짝으로 두자.
즉 $p_i\in\{0,1\}$ $p_i\in\{0,1\}$이고 $p_i\equiv n_i\pmod{2}$ $p_i\equiv n_i\pmod{2}$이다.
압축 조건은

\begin{aligned} p_1+p_2 &\equiv 1 \pmod{2},\\ p_3+p_4 &\equiv 0 \pmod{2},\\ p_5+p_6 &\equiv 1 \pmod{2},\\ p_2+p_3+p_5 &\equiv 0 \pmod{2} \end{aligned}

이다.
여기서는 $p_2,p_3$ $p_2,p_3$을 정하면 나머지 홀짝이 모두 정해진다.

$(p_2,p_3)$ $(p_2,p_3)$	$(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6)$ $(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6)$	홀수인 $n_i$ $n_i$의 개수
$(0,0)$ $(0,0)$	$(1,0,0,0,0,1)$ $(1,0,0,0,0,1)$	$2$ $2$
$(0,1)$ $(0,1)$	$(1,0,1,1,1,0)$ $(1,0,1,1,1,0)$	$4$ $4$
$(1,0)$ $(1,0)$	$(0,1,0,0,1,0)$ $(0,1,0,0,1,0)$	$2$ $2$
$(1,1)$ $(1,1)$	$(0,1,1,1,0,1)$ $(0,1,1,1,0,1)$	$4$ $4$

이제 실제로 세야 할 것은 위 네 가지 패턴뿐이다.
네 번 던지므로

n_1+n_2+\cdots+n_6=4

라는 조건을 함께 써야 한다.

p2와 p3 선택에 따라 네 가지 홀짝 패턴이 정해지고 홀수 출현 횟수의 개수가 2개 또는 4개로 나뉘는 표. — p2와 p3만 정하면 가능한 홀짝 패턴 네 가지가 모두 정해진다.

패턴별 순서 있는 결과를 센다

먼저 홀수인 $n_i$ $n_i$가 $4$ $4$개인 패턴을 보자.
전체 합이 $4$ $4$이므로 홀수인 네 횟수는 모두 $1$ $1$이고, 나머지 두 횟수는 $0$ $0$이어야 한다.
한 패턴당 순서 있는 결과는 $4!$ $4!$개이다.
이런 패턴이 두 개이므로 경우의 수는 다음과 같다.

2\cdot4!=48

다음으로 홀수인 $n_i$ $n_i$가 $2$ $2$개인 패턴을 보자.
한 패턴을 고정하고, 홀수 조건을 가진 두 눈을 $a,b$ $a,b$라고 하자.
네 번 던져 두 횟수가 홀수이려면 가능한 분포는 두 종류뿐이다.

첫째, $a,b$ $a,b$가 각각 한 번씩 나오고 짝수 조건을 가진 나머지 네 눈 중 하나가 두 번 나오는 경우이다.
이때 경우의 수는 다음과 같다.

4\cdot\frac{4!}{1!1!2!}=48

앞의 $4$ $4$는 두 번 나올 짝수 조건 눈을 고르는 선택이다.

둘째, $a,b$ $a,b$ 중 하나가 세 번 나오고 다른 하나가 한 번 나오는 경우이다.
이때 경우의 수는 다음과 같다.

2\cdot\frac{4!}{3!1!}=8

따라서 홀수인 $n_i$ $n_i$가 $2$ $2$개인 한 패턴에서는 $48+8=56$ $48+8=56$개의 순서 있는 결과가 나온다.
이런 패턴도 두 개이므로 경우의 수는 다음과 같다.

2\cdot56=112

홀수 4개 패턴과 홀수 2개 패턴의 순서 있는 결과 수를 합산해 확률 10/81을 구하는 표. — 네 가지 홀짝 패턴을 홀수 4개와 홀수 2개 경우로 나누어 순서 있는 결과를 센다.

확률을 계산한다

조건을 만족하는 순서 있는 네 번의 주사위 결과 수는

48+112=160

이다.
전체 표본공간은 $6^4=1296$ $6^4=1296$개이므로 구하는 확률은

\frac{160}{1296}=\frac{10}{81}

이다.
따라서 정답은 ③ $\dfrac{10}{81}$ $\dfrac{10}{81}$이다.

다시 풀 때는 필요한 상태만 남긴다

반복 시행에서 상태가 두 가지뿐이면, 각 시행을 모두 추적하기보다 상태 변화의 홀짝으로 바꾸는 것이 유리하다.
이 문제에서는 한 번의 시행 표를 만든 뒤 카드별로 다시 읽으면, 마지막 조건이 바로 출현 횟수의 합동식으로 바뀐다.

그다음에는 여섯 눈의 횟수를 모두 직접 세지 않는다.
홀짝 패턴을 먼저 네 가지로 줄이고, 그 패턴 안에서만 순서 있는 경우의 수를 센다.
마지막 계산에서 주사위 네 번의 순서는 서로 다른 결과이므로 다항계수를 써야 한다.

문항코드: 270628p

주사위 눈 $k$ \(k\)	뒤집히는 카드
$1$ \(1\)	$\{1\}$ \(\{1\}\)
$2$ \(2\)	$\{2,3,4,5,6\}$ \(\{2,3,4,5,6\}\)
$3$ \(3\)	$\{1,2,3\}$ \(\{1,2,3\}\)
$4$ \(4\)	$\{4,5,6\}$ \(\{4,5,6\}\)
$5$ \(5\)	$\{1,2,3,4,5\}$ \(\{1,2,3,4,5\}\)
$6$ \(6\)	$\{6\}$ \(\{6\}\)

카드	이 카드가 뒤집히는 주사위 눈
$1$ \(1\)	$1,3,5$ \(1,3,5\)
$2$ \(2\)	$2,3,5$ \(2,3,5\)
$3$ \(3\)	$2,3,5$ \(2,3,5\)
$4$ \(4\)	$2,4,5$ \(2,4,5\)
$5$ \(5\)	$2,4,5$ \(2,4,5\)
$6$ \(6\)	$2,4,6$ \(2,4,6\)

$(p_2,p_3)$ \((p_2,p_3)\)	$(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6)$ \((p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6)\)	홀수인 $n_i$ \(n_i\)의 개수
$(0,0)$ \((0,0)\)	$(1,0,0,0,0,1)$ \((1,0,0,0,0,1)\)	$2$ \(2\)
$(0,1)$ \((0,1)\)	$(1,0,1,1,1,0)$ \((1,0,1,1,1,0)\)	$4$ \(4\)
$(1,0)$ \((1,0)\)	$(0,1,0,0,1,0)$ \((0,1,0,0,1,0)\)	$2$ \(2\)
$(1,1)$ \((1,1)\)	$(0,1,1,1,0,1)$ \((0,1,1,1,0,1)\)	$4$ \(4\)