2027학년도 6월 모의고사 확률과 통계 28번 풀이 | 카드 뒤집기와 홀짝 패턴

들어가기 앞서…

이 문제는 네 번의 카드 상태를 직접 추적하면 경우가 빠르게 복잡해진다. 하지만 카드에는 앞면과 뒷면 두 상태만 있으므로, 실제로 필요한 정보는 각 카드가 몇 번 뒤집혔는지의 홀짝뿐이다.

따라서 한 번의 시행을 카드별 뒤집힘 표로 바꾼 뒤, 주사위 눈 $i$\(i\)가 나온 횟수 $n_i$\(n_i\)의 홀짝 조건으로 압축한다. 이후에는 여섯 카드 상태가 아니라 여섯 눈의 출현 횟수 홀짝 패턴만 세면 된다.

문제

정답

③

풀이

한 번의 시행을 카드별 표로 바꾼다

네 번의 주사위 결과를 처음부터 나열하면 전체 경우가 $6^4$\(6^4\)개이다. 먼저 한 번의 시행에서 주사위 눈 하나가 어떤 카드를 뒤집는지 정리한다.

이 표를 카드별로 다시 읽으면 다음과 같다.

처음에 카드 $1,6$\(1,6\)은 뒷면이고 카드 $2,3,4,5$\(2,3,4,5\)는 앞면이다. 마지막에 모두 앞면이 되려면 카드 $1,6$\(1,6\)은 홀수 번 뒤집혀야 하고, 카드 $2,3,4,5$\(2,3,4,5\)는 짝수 번 뒤집혀야 한다. 즉 카드 상태를 매번 따라가는 문제가 아니라 뒤집힌 횟수의 홀짝을 맞추는 문제이다.

출현 횟수의 홀짝 조건으로 압축한다

주사위 눈 $i$\(i\)가 네 번의 시행 동안 나온 횟수를 $n_i$\(n_i\)라고 하자. 카드별 조건은 다음 합동식으로 바뀐다.

첫 번째 식은 카드 $1$\(1\)이 홀수 번 뒤집힌다는 조건이다. 두 번째 식은 카드 $2,3$\(2,3\)이 짝수 번 뒤집힌다는 조건이고, 세 번째 식은 카드 $4,5$\(4,5\)가 짝수 번 뒤집힌다는 조건이다. 네 번째 식은 카드 $6$\(6\)이 홀수 번 뒤집힌다는 조건이다.

이제 가능한 구조를 줄인다. 첫 번째 식과 두 번째 식을 더하면 $n_1+n_2\equiv1\pmod{2}$\(n_1+n_2\equiv1\pmod{2}\)이다. 두 번째 식과 세 번째 식을 더하면 $n_3+n_4\equiv0\pmod{2}$\(n_3+n_4\equiv0\pmod{2}\)이다. 세 번째 식과 네 번째 식을 더하면 $n_5+n_6\equiv1\pmod{2}$\(n_5+n_6\equiv1\pmod{2}\)이다.

여기에 원래 조건 중 하나인 $n_2+n_3+n_5\equiv0\pmod{2}$\(n_2+n_3+n_5\equiv0\pmod{2}\)도 함께 남기면 조건은 다음처럼 압축된다.

서로 더해서 같은 항을 지우면 여섯 눈의 홀짝 관계가 훨씬 작아진다.

네 가지 홀짝 패턴만 남긴다

$p_i$\(p_i\)를 $n_i$\(n_i\)의 홀짝으로 두자. 즉 $p_i\in\{0,1\}$\(p_i\in\{0,1\}\)이고 $p_i\equiv n_i\pmod{2}$\(p_i\equiv n_i\pmod{2}\)이다. 압축 조건은

이다. 여기서는 $p_2,p_3$\(p_2,p_3\)을 정하면 나머지 홀짝이 모두 정해진다.

이제 실제로 세야 할 것은 위 네 가지 패턴뿐이다. 네 번 던지므로

라는 조건을 함께 써야 한다.

패턴별 순서 있는 결과를 센다

먼저 홀수인 $n_i$\(n_i\)가 $4$\(4\)개인 패턴을 보자. 전체 합이 $4$\(4\)이므로 홀수인 네 횟수는 모두 $1$\(1\)이고, 나머지 두 횟수는 $0$\(0\)이어야 한다. 한 패턴당 순서 있는 결과는 $4!$\(4!\)개이다. 이런 패턴이 두 개이므로 경우의 수는

이다.

다음으로 홀수인 $n_i$\(n_i\)가 $2$\(2\)개인 패턴을 보자. 한 패턴을 고정하고, 홀수 조건을 가진 두 눈을 $a,b$\(a,b\)라고 하자. 네 번 던져 두 횟수가 홀수이려면 가능한 분포는 두 종류뿐이다.

첫째, $a,b$\(a,b\)가 각각 한 번씩 나오고 짝수 조건을 가진 나머지 네 눈 중 하나가 두 번 나오는 경우이다. 이때 경우의 수는

이다. 앞의 $4$\(4\)는 두 번 나올 짝수 조건 눈을 고르는 선택이다.

둘째, $a,b$\(a,b\) 중 하나가 세 번 나오고 다른 하나가 한 번 나오는 경우이다. 이때 경우의 수는

이다.

따라서 홀수인 $n_i$\(n_i\)가 $2$\(2\)개인 한 패턴에서는 $48+8=56$\(48+8=56\)개의 순서 있는 결과가 나온다. 이런 패턴도 두 개이므로 경우의 수는

이다.

확률을 계산한다

조건을 만족하는 순서 있는 네 번의 주사위 결과 수는

이다. 전체 표본공간은 $6^4=1296$\(6^4=1296\)개이므로 구하는 확률은

이다. 따라서 정답은 ③ $\dfrac{10}{81}$\(\dfrac{10}{81}\)이다.

다시 풀 때는 필요한 상태만 남긴다

반복 시행에서 상태가 두 가지뿐이면, 각 시행을 모두 추적하기보다 상태 변화의 홀짝으로 바꾸는 것이 유리하다. 이 문제에서는 한 번의 시행 표를 만든 뒤 카드별로 다시 읽으면, 마지막 조건이 바로 출현 횟수의 합동식으로 바뀐다.

그다음에는 여섯 눈의 횟수를 모두 직접 세지 않는다. 홀짝 패턴을 먼저 네 가지로 줄이고, 그 패턴 안에서만 순서 있는 경우의 수를 센다. 마지막 계산에서 주사위 네 번의 순서는 서로 다른 결과이므로 다항계수를 써야 한다.