서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던지므로 순서 있는 결과를 세야 한다 곱이 홀수일 때 다섯 눈은 모두 1, 3, 5 중 하나이다 조건부확률이므로 분모는 전체 6^5가 아니라 3^5이다 확률을 q/p라고 두었으므로 약분 뒤 p와 q의 순서를 확인해야 한다

2027학년도 6월 모의고사 확률과 통계 29번 풀이 | 조건부확률과 홀수 눈 경우의 수 [270629p]

들어가기 앞서…

이 문제의 첫 판단은 곱을 직접 계산하는 것이 아니다.
곱이 홀수라는 조건이 각 주사위의 가능한 눈을 어떻게 줄이는지부터 보아야 한다.

조건부확률 문제이므로 분모도 처음 전체 경우의 수 $6^5$ $6^5$가 아니다.
이미 “곱이 홀수일 때”라는 조건을 받은 뒤의 표본공간 안에서, 합이 $15$ $15$가 되는 결과만 세어야 한다.

문제

문제 텍스트 주관식

서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 $15$ $15$일 확률은 $\dfrac{q}{p}$ $\dfrac{q}{p}$이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오.

단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

$98$ $98$

풀이

곱이 홀수라는 조건으로 표본공간을 줄인다

다섯 눈의 곱이 홀수이려면 다섯 개의 눈이 모두 홀수이어야 한다.
하나라도 짝수가 나오면 전체 곱은 짝수가 된다.

한 주사위의 눈	$1$ $1$	$2$ $2$	$3$ $3$	$4$ $4$	$5$ $5$	$6$ $6$
곱이 홀수가 될 수 있는가	가능	불가능	가능	불가능	가능	불가능

따라서 조건을 받은 뒤에는 각 주사위의 눈이 $1,3,5$ $1,3,5$ 중 하나로 제한된다.
다섯 주사위는 서로 다르므로 조건부공간의 크기는 아래와 같다.

3^5=243

곱이 홀수일 때 각 주사위의 눈은 1, 3, 5로 제한되고 조건부공간의 크기가 3의 5제곱, 즉 243이 되는 구조. — 곱이 홀수라는 조건은 각 주사위의 가능한 눈을 1, 3, 5로 줄인다.

이제 남은 일은 $\{1,3,5\}$ $\{1,3,5\}$에서 다섯 번 고른 순서 있는 결과 중 합이 $15$ $15$가 되는 경우를 세는 것이다.

1, 3, 5를 0, 1, 2로 바꾸어 합 조건을 낮춘다

직접 $1,3,5$ $1,3,5$의 조합을 찾을 수도 있지만, 수를 한 단계 낮추면 구조가 더 잘 보인다.
각 눈에서 $1$ $1$을 빼고 $2$ $2$로 나누어 다음처럼 바꾼다.

1\to0,\qquad 3\to1,\qquad 5\to2

원래 다섯 눈의 합이 $15$ $15$라면, 기본으로 들어 있는 $1$ $1$ 다섯 개를 먼저 빼고 남은 양은 $10$ $10$이다.
이것을 $2$ $2$로 나누면 새 수들의 합은 $5$ $5$가 된다.

\frac{15-5}{2}=5

따라서 문제는 $0,1,2$ $0,1,2$를 다섯 번 골라 합이 $5$ $5$가 되는 순서 있는 경우의 수를 세는 문제로 바뀐다.

가능한 개수 분포를 세 가지로 정리한다

$0,1,2$ $0,1,2$의 개수를 각각 $a,b,c$ $a,b,c$라 하자.
전체 개수는 다섯 개이고, 새 합은 $5$ $5$이므로 다음 두 식이 성립한다.

a+b+c=5,\qquad b+2c=5

두 식에서 $b=5-2c$ $b=5-2c$, $a=c$ $a=c$이므로 $c=0,1,2$ $c=0,1,2$일 때만 음수가 아닌 분포가 나온다.
가능한 경우는 다음 세 가지뿐이다.

$0$ $0$의 개수 $a$ $a$	$1$ $1$의 개수 $b$ $b$	$2$ $2$의 개수 $c$ $c$	원래 눈의 모양	순서 있는 경우의 수
$0$ $0$	$5$ $5$	$0$ $0$	$33333$ $33333$	$1$ $1$
$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$53331$ $53331$	$\dfrac{5!}{1!\,3!\,1!}=20$ $\dfrac{5!}{1!\,3!\,1!}=20$
$2$ $2$	$1$ $1$	$2$ $2$	$55311$ $55311$	$\dfrac{5!}{2!\,1!\,2!}=30$ $\dfrac{5!}{2!\,1!\,2!}=30$

1, 3, 5를 0, 1, 2로 바꾸어 합 15 조건을 새 합 5 조건으로 만들고, 가능한 세 분포의 배치 수를 1, 20, 30으로 세는 표. — 합 15 조건은 0, 1, 2의 합 5 조건으로 바뀌고, 가능한 분포는 세 가지이다.

세 형태의 배치 수를 더하면 합이 $15$ $15$가 되는 조건부공간 안의 경우의 수는 다음과 같다.

1+20+30=51

q/p 표기까지 확인한다

조건부공간 전체가 $243$ $243$가지이고, 그중 합이 $15$ $15$인 경우가 $51$ $51$가지이므로 구하는 확률은 아래와 같다.

\frac{51}{243}=\frac{17}{81}

문제에서는 이 확률을 $\dfrac{q}{p}$ $\dfrac{q}{p}$라고 두었다.
일반적인 분자, 분모 표기와 순서가 반대이므로 마지막에 확인해야 한다.
$\dfrac{17}{81}$ $\dfrac{17}{81}$에서 $q=17$ $q=17$, $p=81$ $p=81$이다.

p+q=81+17=98

따라서 정답은 $98$ $98$이다.

다시 풀 때는 조건부공간부터 확인한다

확률 문제에서 “~일 때”가 나오면 먼저 표본공간을 다시 잡아야 한다.
이 문제에서는 곱이 홀수라는 조건 때문에 분모가 $6^5$ $6^5$가 아니라 $3^5$ $3^5$가 된다.

그다음 합 조건을 $1,3,5$ $1,3,5$에서 직접 세기보다 $0,1,2$ $0,1,2$의 합으로 바꾸면 가능한 분포가 세 줄로 정리된다.
마지막에는 서로 다른 주사위이므로 분포만 세지 말고, 주사위 위치에 따른 순서 있는 배치 수까지 세어야 한다.

문항코드: 270629p

$0$ \(0\)의 개수 $a$ \(a\)	$1$ \(1\)의 개수 $b$ \(b\)	$2$ \(2\)의 개수 $c$ \(c\)	원래 눈의 모양	순서 있는 경우의 수
$0$ \(0\)	$5$ \(5\)	$0$ \(0\)	$33333$ \(33333\)	$1$ \(1\)
$1$ \(1\)	$3$ \(3\)	$1$ \(1\)	$53331$ \(53331\)	$\dfrac{5!}{1!\,3!\,1!}=20$ \(\dfrac{5!}{1!\,3!\,1!}=20\)
$2$ \(2\)	$1$ \(1\)	$2$ \(2\)	$55311$ \(55311\)	$\dfrac{5!}{2!\,1!\,2!}=30$ \(\dfrac{5!}{2!\,1!\,2!}=30\)