두 다항함수 f(x), g(x)는 모든 실수 x에 대하여 f(x)>g(x)를 만족한다 f(1)=g(1)+1이므로 두 곡선 사이의 간격 h(x)=f(x)-g(x)는 h(1)=1을 만족한다 S(t)는 x=0부터 x=t까지 두 곡선 사이의 넓이이고 S'(t)=t^2-2t+a이다 ㄷ은 x=-2부터 x=2까지의 넓이와 S(4)를 비교한다

6월 모의고사 수학 13번 4점 일반

발행: 2026년 6월 28일

2027학년도 6월 모의고사 수학 13번 풀이 | 넓이 함수의 도함수와 대칭

정답

⑤

핵심 요약

h(x)=f(x)-g(x)>0로 두면 S'(t)=h(t)이다. h(1)=1에서 a=2를 얻고, S(3)=6과 h의 x=1 대칭으로 ㄴ, ㄷ이 참임을 확인한다.

들어가기 앞서…

이 문제는 $f(x)$ $f(x)$와 $g(x)$ $g(x)$를 각각 찾는 문제가 아니다. 두 곡선 사이의 넓이가 주어졌으므로, 먼저 두 곡선 사이의 세로 간격을 하나의 함수로 묶으면 된다.

$f(x)>g(x)$ $f(x)>g(x)$가 모든 실수에서 성립하므로 절댓값이나 위아래 관계의 변화도 걱정할 필요가 없다. 넓이 함수 $S(t)$ $S(t)$의 도함수는 바로 오른쪽 끝에서의 간격이 된다.

문제

문제 텍스트 객관식

두 다항함수 $f(x)$ $f(x)$와 $g(x)$ $g(x)$가 모든 실수 $x$ $x$에 대하여 $f(x)>g(x)$ $f(x)>g(x)$를 만족시키고, $f(1)=g(1)+1$ $f(1)=g(1)+1$이다. 양수 $t$ $t$에 대하여 두 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$, $y=g(x)$ $y=g(x)$와 두 직선 $x=0$ $x=0$, $x=t$ $x=t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$ $S(t)$라 할 때,

S'(t)=t^2-2t+a

이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 단, $a$ $a$는 상수이다.

<보기>

ㄱ. $a=1$ $a=1$

ㄴ. $S(3)=6$ $S(3)=6$

ㄷ. 두 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$, $y=g(x)$ $y=g(x)$와 두 직선 $x=-2$ $x=-2$, $x=2$ $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S(4)$ $S(4)$의 값과 같다.

① ㄴ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄷ

정답

⑤

풀이

두 곡선 사이의 간격을 하나로 둔다

두 곡선 사이의 세로 길이를

h(x)=f(x)-g(x)

라고 두자. 문제에서 모든 실수 $x$ $x$에 대해 $f(x)>g(x)$ $f(x)>g(x)$라고 했으므로 $h(x)>0$ $h(x)>0$이다. 따라서 $x=0$ $x=0$부터 $x=t$ $x=t$까지의 넓이는 절댓값 없이 다음과 같이 쓸 수 있다.

S(t)=\int_0^t h(x)\,dx

미적분의 기본정리에 의해 $S'(t)=h(t)$ $S'(t)=h(t)$이다. 즉 문제의 식 $S'(t)=t^2-2t+a$ $S'(t)=t^2-2t+a$는 끝점 $t$ $t$에서 두 곡선 사이의 높이를 알려 주는 식이다.

두 곡선 사이의 간격 h(x)=f(x)-g(x)와 넓이 함수 S(t)의 도함수 S'(t)=h(t)를 연결해 a=2를 구하는 그림. — 넓이 함수의 도함수는 오른쪽 끝에서의 두 곡선 사이 높이다.

양수 $t$ $t$에 대해 $h(t)=t^2-2t+a$ $h(t)=t^2-2t+a$이고, $h$ $h$도 다항함수이다. 두 다항식이 양수 구간 전체에서 같으므로 같은 다항식으로 보아

h(x)=x^2-2x+a

라고 둘 수 있다.

f(1)=g(1)+1로 a를 결정한다

조건 $f(1)=g(1)+1$ $f(1)=g(1)+1$은 간격 함수로 바꾸면 $f(1)-g(1)=1$ $f(1)-g(1)=1$, 즉 $h(1)=1$ $h(1)=1$이다.

따라서 다음 식을 얻는다.

h(1)=1^2-2\cdot1+a=a-1=1

그러므로 $a=2$ $a=2$이다. ㄱ의 $a=1$ $a=1$은 거짓이다.

S(3)은 높이 함수를 적분해 확인한다

이제 간격 함수는 다음과 같이 정해진다.

h(x)=x^2-2x+2

따라서 ㄴ의 $S(3)$ $S(3)$은 바로 적분하면 된다.

\begin{aligned} S(3) &=\int_0^3 (x^2-2x+2)\,dx\\ &=\left[\frac{x^3}{3}-x^2+2x\right]_0^3\\ &=9-9+6\\ &=6 \end{aligned}

따라서 ㄴ은 참이다.

ㄷ은 계산보다 대칭으로 판단한다

ㄷ에서 묻는 넓이는 $x=-2$ $x=-2$부터 $x=2$ $x=2$까지의 두 곡선 사이 넓이이다. 간격 함수가 항상 양수이므로 이 넓이는

\int_{-2}^{2} h(x)\,dx

이다. 한편 $S(4)=\int_0^4 h(x)\,dx$ $S(4)=\int_0^4 h(x)\,dx$이다.

여기서

h(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1

이므로 그래프의 대칭축은 $x=1$ $x=1$이다. 구간 $[0,4]$ $[0,4]$를 대칭축 $x=1$ $x=1$에 대해 반사하면 $[-2,2]$ $[-2,2]$가 된다. 즉 같은 높이들을 순서만 바꾸어 더하는 두 넓이이다.

h(x)=(x-1)^2+1의 대칭축 x=1을 기준으로 구간 [0,4]와 [-2,2]의 넓이가 같음을 보여 주는 그림. — 간격 함수 h(x)의 대칭축 x=1이 두 구간의 넓이를 대응시킨다.

식으로도 $h(2-x)=h(x)$ $h(2-x)=h(x)$이다. 치환 $u=2-x$ $u=2-x$를 쓰면 다음처럼 확인된다.

\begin{aligned} \int_0^4 h(x)\,dx &=\int_{-2}^{2} h(2-u)\,du\\ &=\int_{-2}^{2} h(u)\,du \end{aligned}

따라서 ㄷ도 참이다.

결국 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

$f(x)>g(x)$ $f(x)>g(x)$가 주어졌으므로 먼저 $h(x)=f(x)-g(x)$ $h(x)=f(x)-g(x)$를 둔다. 그러면 $S(t)=\int_0^t h(x)\,dx$ $S(t)=\int_0^t h(x)\,dx$이고, $S'(t)=h(t)$ $S'(t)=h(t)$로 바로 연결된다.

그다음 $f(1)=g(1)+1$ $f(1)=g(1)+1$을 $h(1)=1$ $h(1)=1$로 바꾸어 $a=2$ $a=2$를 정한다. ㄷ은 새로 넓이를 길게 계산하기보다, $h(x)=(x-1)^2+1$ $h(x)=(x-1)^2+1$의 대칭축을 보는 편이 빠르다.

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