모든 b_n>0이고 ∑b_n이 수렴하므로 공비 r은 0 b_2>b_3이므로 등차수열은 감소하고 k>4이다 감소량 비교 b_1-b_2>b_2-b_3을 등차수열 간격으로 바꾸면 k=5 또는 k=6이다 감소량의 비로 r=(k-4)/3이므로 두 경우의 공비는 1/3, 2/3이다 정수 조건에서 a=9t가 나오고, cos(a_nπ)는 a_n의 홀짝에 따라 부호 일정 또는 교대를 만든다 k=6, t 홀수일 때 교대 등비급수 값 27/5가 최솟값이다

2027학년도 6월 모의고사 미적분 29번 풀이 | 등차수열 위치와 교대 등비급수 [270629c]

들어가기 앞서…

이 문제는 등차수열과 등비수열을 각각 따로 계산하면 경우가 늘어난다.
먼저 조건 (가), (나)가 말하는 세 값을 한 줄에 놓고, 등비수열의 감소 구조를 등차수열의 칸수로 바꾸는 것이 빠르다.

핵심은 양수인 등비급수가 수렴한다는 조건이 $0<r<1$ $0<r<1$을 강제한다는 점이다.
이 조건 하나로 $b_1>b_2>b_3$ $b_1>b_2>b_3$과 감소량 비교가 나오고, 자연수 $k$ $k$의 후보가 거의 정리된다.

문제

문제 텍스트 주관식

모든 항이 정수인 등차수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$과 모든 항이 양수인 등비수열 $\{b_n\}$ $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

\text{(가)}\quad a_1=b_1,\qquad a_4=b_2

\text{(나)}\quad \text{어떤 자연수 } k \text{에 대하여 } a_k=b_3 \text{이다.}

급수 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 수렴할 때,

\left|\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n\cos(a_n\pi)\right)\right|

의 최솟값을 $m$ $m$이라 하자. $10\times m$ $10\times m$의 값을 구하시오.

정답

풀이

먼저 세 값을 한 줄에 놓아 본다

조건 (가), (나)를 보면 등비수열의 앞 세 항이 등차수열의 몇 번째 항인지 연결되어 있다.

b_1=a_1,\qquad b_2=a_4,\qquad b_3=a_k

등비급수 $\sum b_n$ $\sum b_n$이 수렴하고 모든 $b_n$ $b_n$이 양수이므로 등비수열의 공비 $r$ $r$은 다음 범위에 있다.

0<r<1

그래서 $b_1>b_2>b_3$ $b_1>b_2>b_3$이고, 연속한 항 사이의 감소량은 점점 작아진다.
실제로 $b_1=a$ $b_1=a$, 공비가 $r$ $r$이면

b_1-b_2=a(1-r),\qquad b_2-b_3=ar(1-r)

이므로 감소량은 다음 부등식을 만족한다.

b_1-b_2>b_2-b_3

이제 이 세 값을 등차수열 위에 표시한다.
등차수열의 첫째항을 $a$ $a$, 공차를 $d$ $d$라 하자.
$b_1=a_1=a$ $b_1=a_1=a$, $b_2=a_4=a+3d$ $b_2=a_4=a+3d$이고 $b_1>b_2$ $b_1>b_2$이므로 $d<0$ $d<0$이다.

또 $b_3<b_2=a_4$ $b_3<b_2=a_4$이므로 $a_k<a_4$ $a_k<a_4$이고, 등차수열이 감소하므로 $k>4$ $k>4$이다.

감소량을 등차수열의 간격으로 바꾸면

b_1-b_2=a_1-a_4=-3d,\qquad b_2-b_3=a_4-a_k=-(k-4)d

이다.
그런데 $b_1-b_2>b_2-b_3$ $b_1-b_2>b_2-b_3$이고 $-d>0$ $-d>0$이므로

3>k-4

이다.
따라서 $k<7$ $k<7$이고, 자연수 $k$ $k$는 다음 두 값뿐이다.

k=5,\quad k=6

처음부터 복잡한 방정식을 세우는 대신, 등비수열의 감소량을 등차수열의 칸수 비교로 바꾼 것이 이 풀이의 출발점이다.

b_1=a_1, b_2=a_4, b_3=a_k를 등차수열 위에 놓고 양수 수렴 등비수열의 감소량 비교로 k=5 또는 6을 얻는 구조. — 양수 수렴 등비수열의 감소량을 등차수열의 칸수로 비교한다.

공비도 같이 정해진다

위의 감소량 비교를 한 번 더 쓰면 공비 $r$ $r$까지 바로 나온다.
등비수열에서는 두 감소량의 비가 다음과 같다.

\frac{b_2-b_3}{b_1-b_2}=r

등차수열의 간격으로는 다음과 같이 계산된다.

\frac{b_2-b_3}{b_1-b_2} =\frac{-(k-4)d}{-3d} =\frac{k-4}{3}

따라서 공비는 다음과 같다.

r=\frac{k-4}{3}

특히 $k=5,6$ $k=5,6$에서는 다음과 같다.

k=5\Rightarrow r=\frac13,\qquad k=6\Rightarrow r=\frac23

이제 남은 일은 두 경우에서 등차수열의 공차가 정수라는 조건과 $\cos(a_n\pi)$ $\cos(a_n\pi)$의 홀짝 효과를 확인하는 것이다.

k=5, k=6 및 t의 홀짝 조건에 따라 cos(a_n pi)의 부호가 일정하거나 교대하는 급수 최솟값 후보를 비교한 표. — k와 t의 홀짝에 따라 급수값 후보를 나누어 비교한다.

k=5인 경우

$k=5$ $k=5$이면 $r=\frac13$ $r=\frac13$이다.
조건 $a_4=b_2$ $a_4=b_2$는 $a+3d=ar$ $a+3d=ar$이므로 다음과 같다.

3d=a\left(\frac13-1\right)=-\frac{2a}{3}

따라서 $d$ $d$는 다음과 같다.

d=-\frac{2a}{9}

$a,d$ $a,d$가 정수이고 $a>0$ $a>0$이므로 $a=9t$ $a=9t$라 둘 수 있고, 이때 $d=-2t$ $d=-2t$이다.

그러면

a_n=9t+(n-1)(-2t)=t(11-2n)

이다.
여기서 $11-2n$ $11-2n$은 항상 홀수이므로 $a_n$ $a_n$의 홀짝은 모든 $n$ $n$에서 같다.
따라서 $\cos(a_n\pi)$ $\cos(a_n\pi)$는 계속 같은 부호이고, 절댓값을 취하면 일반 등비급수의 합만 남는다.

이 경우의 값은

\frac{a}{1-r} =\frac{9t}{1-\frac13} =\frac{27t}{2}

이고, 최솟값은 $t=1$ $t=1$일 때 $\frac{27}{2}$ $\frac{27}{2}$이다.

k=6인 경우

$k=6$ $k=6$이면 $r=\frac23$ $r=\frac23$이다.
마찬가지로 $a+3d=ar$ $a+3d=ar$에서 다음 식을 얻는다.

3d=a\left(\frac23-1\right)=-\frac{a}{3}

따라서 $d$ $d$는 다음과 같다.

d=-\frac{a}{9}

따라서 $a=9t$ $a=9t$, $d=-t$ $d=-t$라 둘 수 있다.

이때 등차수열은 다음과 같다.

a_n=9t-(n-1)t=t(10-n)

이제 $t$ $t$의 홀짝에 따라 $\cos(a_n\pi)$ $\cos(a_n\pi)$의 부호 변화가 달라진다.

$t$ $t$가 짝수이면 모든 $a_n$ $a_n$이 짝수이므로 부호가 일정하다.
이때 값은 다음과 같다.

\frac{9t}{1-\frac23}=27t

짝수 $t$ $t$에서의 최소는 $t=2$ $t=2$일 때 $54$ $54$이다.

$t$ $t$가 홀수이면 $a_n=t(10-n)$ $a_n=t(10-n)$의 홀짝이 한 항씩 바뀐다.
따라서 $\cos(a_n\pi)$ $\cos(a_n\pi)$의 부호도 번갈아 바뀌고, 절댓값은 교대 등비급수의 합이 된다.
이때 값은 다음과 같다.

\frac{9t}{1+\frac23} =\frac{27t}{5}

홀수 $t$ $t$에서의 최소는 $t=1$ $t=1$일 때 $\frac{27}{5}$ $\frac{27}{5}$이다.
이 경우가 전체 후보 중 가장 작은 값을 만든다.

최솟값을 비교한다

가능한 최소 후보는 다음 세 가지이다.

\frac{27}{2},\qquad 54,\qquad \frac{27}{5}

이 중 가장 작은 값은 다음과 같다.

m=\frac{27}{5}

따라서 $10m$ $10m$은 다음과 같다.

10m=10\cdot\frac{27}{5}=54

원래 조건으로 빠르게 확인한다

최솟값은 $k=6$ $k=6$, $t=1$ $t=1$일 때 나온다.
이때 $a=9$ $a=9$, $d=-1$ $d=-1$, $r=\frac23$ $r=\frac23$이므로 수열은 다음과 같다.

a_n=10-n,\qquad b_n=9\left(\frac23\right)^{n-1}

조건 (나)를 확인하면 다음과 같다.

b_3=9\left(\frac23\right)^2=4,\qquad a_6=4

또 $0<r<1$ $0<r<1$이므로 등비급수 $\sum b_n$ $\sum b_n$은 수렴한다.

마지막 합은 $a_n=10-n$ $a_n=10-n$의 홀짝이 번갈아 바뀌므로

\left|\sum_{n=1}^{\infty} b_n\cos(a_n\pi)\right| =\left|-9+9\cdot\frac23-9\left(\frac23\right)^2+\cdots\right| =\frac{9}{1+\frac23} =\frac{27}{5}

이다.
따라서 $10m=54$ $10m=54$가 맞다.

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