두 곡선은 t=1에서 모두 (0,1)을 지나므로 f(1)=g(1)=1이다 u=e^{2x}로 두면 y=e^{2x}-e^{-x}+1은 h(u)=u-u^{-1/2}+1로 정리된다 Q에서는 e^{2x}=t이므로 g(t)=h(t), P에서는 h(f(t))=t이다 9f'(1)-4g'(1)=0이므로 극한은 9f''(1)-4g''(1)로 바뀐다 h'(1)=3/2, h''(1)=-3/4에서 f''(1)=2/9, g''(1)=-3/4를 얻는다

2027학년도 6월 모의고사 미적분 28번 풀이 | 지수함수 치환과 이계도함수 [270628c]

들어가기 앞서…

이 문제는 P와 Q의 $x$ $x$좌표를 직접 구하려고 하면 지수와 로그가 섞여 계산이 길어진다.
실제로 필요한 값은 교점의 $x$ $x$좌표가 아니라, 같은 $x$ $x$에서 읽은 $e^{2x}$ $e^{2x}$의 값이다.

따라서 핵심은 두 곡선을 $u=e^{2x}$ $u=e^{2x}$라는 하나의 높이 변수로 다시 읽는 것이다.
그러면 $g(t)$ $g(t)$는 한 번 보내는 함수, $f(t)$ $f(t)$는 그 과정을 되돌리는 함수로 정리된다.

문제

문제 텍스트 객관식

좌표평면에서 양수 $t$ $t$에 대하여 직선 $y=t$ $y=t$가 두 곡선

y=e^{2x}-e^{-x}+1,\qquad y=e^{2x}

과 만나는 점을 각각 P, Q라 하자.

점 P를 지나고 $x$ $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}$ $y=e^{2x}$과 만나는 점의 $y$ $y$좌표를 $f(t)$ $f(t)$, 점 Q를 지나고 $x$ $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$ $y=e^{2x}-e^{-x}+1$과 만나는 점의 $y$ $y$좌표를 $g(t)$ $g(t)$라 할 때, 두 함수 $f(t)$ $f(t)$, $g(t)$ $g(t)$는 구간 $(0,\infty)$ $(0,\infty)$에서 미분가능한 함수이다.

\lim_{t\to1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}

의 값은?

① $1$ $1$
② $3$ $3$
③ $5$ $5$
④ $7$ $7$
⑤ $9$ $9$

정답

③

풀이

t=1에서 두 점을 먼저 맞춘다

극한이 $t\to1$ $t\to1$로 주어졌으므로, 처음에는 $t=1$ $t=1$일 때 P와 Q가 어디에 있는지 확인한다.
$x=0$ $x=0$을 대입하면

e^{2x}=1,\qquad e^{2x}-e^{-x}+1=1-1+1=1

이다.
따라서 두 곡선은 모두 $(0,1)$ $(0,1)$을 지난다.

즉 $t=1$ $t=1$일 때 P와 Q는 같은 점 $(0,1)$ $(0,1)$이고, 이때 세로로 옮겨 읽은 값도

f(1)=g(1)=1

이다.
여기서 바로 P와 Q의 $x$ $x$좌표를 구하지 않고, 같은 $x$ $x$에서 읽는 $e^{2x}$ $e^{2x}$의 높이를 추적한다.

세로로 옮겨 읽는 과정을 한 함수로 묶는다

$u=e^{2x}$ $u=e^{2x}$라고 두면 $e^{-x}=u^{-1/2}$ $e^{-x}=u^{-1/2}$이다.
그러면 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$ $y=e^{2x}-e^{-x}+1$은 $u$ $u$에 대한 함수로 다음과 같이 읽힌다.

h(u)=u-u^{-1/2}+1

Q는 곡선 $y=e^{2x}$ $y=e^{2x}$와 직선 $y=t$ $y=t$의 교점이므로, Q의 $x$ $x$좌표에서는 $e^{2x}=t$ $e^{2x}=t$이다.
같은 $x$ $x$에서 다른 곡선의 높이를 읽은 것이 $g(t)$ $g(t)$이므로 $g(t)$ $g(t)$는 다음과 같다.

g(t)=h(t)

반대로 P는 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$ $y=e^{2x}-e^{-x}+1$ 위에서 높이가 $t$ $t$인 점이다.
이 점에서 $y=e^{2x}$ $y=e^{2x}$의 높이를 읽은 것이 $f(t)$ $f(t)$이므로 다음 식을 얻는다.

h(f(t))=t

따라서 두 함수는 다음처럼 정리된다.

g(t)=h(t),\qquad h(f(t))=t

말로 하면 $g$ $g$는 $e^{2x}$ $e^{2x}$의 높이를 다른 곡선의 높이로 보내고, $f$ $f$는 그 과정을 되돌린다.
교점의 $x$ $x$좌표를 끝까지 추적할 필요가 없는 이유가 여기에 있다.

두 곡선과 수평선 y=t에서 P와 Q를 잡고, 같은 x에서 e^(2x)의 높이를 옮겨 읽어 g(t)=h(t), h(f(t))=t를 만드는 구조. — P와 Q의 x좌표 대신 같은 x에서의 e^(2x) 값을 옮겨 읽는다.

먼저 1차 변화가 사라지는지 확인한다

이제 필요한 미분값만 계산한다.
$h(u)=u-u^{-1/2}+1$ $h(u)=u-u^{-1/2}+1$이므로 다음과 같다.

h'(u)=1+\frac12u^{-3/2},\qquad h''(u)=-\frac34u^{-5/2}

따라서 $u=1$ $u=1$에서의 값은 다음과 같다.

h'(1)=\frac32,\qquad h''(1)=-\frac34

$g(t)=h(t)$ $g(t)=h(t)$이므로 $g$ $g$의 미분값은 다음과 같다.

g'(1)=\frac32,\qquad g''(1)=-\frac34

다음으로 $h(f(t))=t$ $h(f(t))=t$를 미분하면 다음 식을 얻는다.

h'(f(t))f'(t)=1

$t=1$ $t=1$에서 $f(1)=1$ $f(1)=1$이므로 다음과 같다.

\frac32 f'(1)=1,\qquad f'(1)=\frac23

주어진 분자의 $t=1$ $t=1$에서의 값을 확인하면 다음과 같다.

9f'(1)-4g'(1)=9\cdot\frac23-4\cdot\frac32=0

따라서 주어진 극한은 $9f'(t)-4g'(t)$ $9f'(t)-4g'(t)$의 $t=1$ $t=1$에서의 미분계수를 묻는 식이다.
즉 1차 미분값에서 멈추면 안 되고, 두 번째 미분값까지 필요하다.

두 번째 미분값만 계산한다

$g''(1)$ $g''(1)$은 이미 다음과 같다.

g''(1)=-\frac34

$f''(1)$ $f''(1)$은 $h'(f(t))f'(t)=1$ $h'(f(t))f'(t)=1$을 한 번 더 미분해서 얻는다.

h''(f(t))(f'(t))^2+h'(f(t))f''(t)=0

$t=1$ $t=1$을 대입하면 다음과 같다.

-\frac34\left(\frac23\right)^2+\frac32 f''(1)=0

따라서 $f''(1)$ $f''(1)$은 다음과 같다.

f''(1)=\frac29

g(t)=h(t), h(f(t))=t에서 1차 도함수 조합이 소거되고 f''(1), g''(1)을 계산해 최종값 5를 얻는 흐름. — 1차 도함수 조합이 0이 되므로 이계도함수 계산으로 넘어간다.

이제 원래 극한값은 다음과 같다.

\begin{aligned} \lim_{t\to1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1} &=9f''(1)-4g''(1)\\ &=9\cdot\frac29-4\left(-\frac34\right)\\ &=5 \end{aligned}

따라서 정답은 ③이다.

원래 조건으로 빠르게 확인한다

Q에서는 $e^{2x}=t$ $e^{2x}=t$가 바로 성립하므로 $g(t)=h(t)$ $g(t)=h(t)$가 된다.
P에서는 $e^{2x}$ $e^{2x}$의 값이 $f(t)$ $f(t)$이고 그때 다른 곡선의 높이가 $t$ $t$이므로 $h(f(t))=t$ $h(f(t))=t$가 된다.

또 $9f'(1)-4g'(1)=0$ $9f'(1)-4g'(1)=0$이므로 원래 극한은 $0/0$ $0/0$형의 변화율이다.
마지막 계산이 $9f''(1)-4g''(1)$ $9f''(1)-4g''(1)$로 넘어가는 것도 이 조건과 일치한다.

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