절댓값 적분이 나오면 먼저 적분값을 계산하기보다, 절댓값을 씌우기 전 함수의 부호가 한 구간 안에서 섞이는지 확인한다. 연속함수 g(x)\(g(x)\)가 구간 전체에서 한쪽 부호이면 ∫∣g(x)∣dx=∫g(x)dx\(\int |g(x)|\,dx=\left|\int g(x)\,dx\right|\)이고, 양수 부분과 음수 부분이 함께 있으면 두 값이 달라진다.
따라서 이 문제의 핵심은 절댓값 적분 부등식을 “구간 내부의 부호 변화 근” 조건으로 바꾸는 것이다. 이 전환만 끝나면 조건 (가)는 근의 위치를, 조건 (나)는 그래프를 위로 올렸을 때의 최솟값을 결정한다.
문제
2027학년도 6월 모의고사 수학 공통 15번 문제문제 텍스트객관식
상수항이 0\(0\)인 삼차함수 f(x)\(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)∫pp+3∣f(x)∣dx=∫pp+3f(x)dx\(\displaystyle \int_p^{p+3}|f(x)|\,dx\ne\left|\int_p^{p+3}f(x)\,dx\right|\)가 되도록 하는 모든 실수 p\(p\)의 값의 범위는 0<p<3\(0<p<3\)이다.
(나)∫03∣f(x)+q∣dx=∫03(f(x)+q)dx\(\displaystyle \int_0^3|f(x)+q|\,dx\ne\left|\int_0^3(f(x)+q)\,dx\right|\)가 되도록 하는 모든 실수 q\(q\)의 값의 범위는 0<q<1\(0<q<1\)이다.
f(6)\(f(6)\)의 값은? [4점]
①18\(18\)
②21\(21\)
③24\(24\)
④27\(27\)
⑤30\(30\)
정답
④
풀이
절댓값 적분 부등식을 부호 섞임으로 바꾼다
연속함수 g(x)\(g(x)\)에 대해 한 구간에서 g(x)\(g(x)\)가 계속 0\(0\) 이상이거나 계속 0\(0\) 이하이면 ∫∣g(x)∣dx\(\int |g(x)|\,dx\)와 ∫g(x)dx\(\left|\int g(x)\,dx\right|\)는 같다. 절댓값을 씌워도 넓이의 방향이 바뀌지 않기 때문이다.
반대로 구간 안에 양수 부분과 음수 부분이 함께 있으면 ∫∣g(x)∣dx\(\int |g(x)|\,dx\)는 두 넓이를 모두 더하고, ∫g(x)dx\(\left|\int g(x)\,dx\right|\)는 서로 상쇄된 뒤의 크기를 본다. 이때 두 값은 달라진다.
따라서 조건 (가)는 길이 3\(3\)인 구간 [p,p+3]\([p,p+3]\) 안에서 f(x)\(f(x)\)의 부호가 섞이는 p\(p\)의 범위가 정확히 0<p<3\(0<p<3\)이라는 뜻이다.
어떤 부호 변화 근 r\(r\)이 구간의 내부에 들어오면 p<r<p+3\(p<r<p+3\)이므로, 이를 정리해 r−3<p<r\(r-3<p<r\)을 얻는다. 즉 부호 변화 근 하나는 p\(p\)의 범위 (r−3,r)\((r-3,r)\)을 만든다.
절댓값 적분 부등식은 구간 안의 부호 섞임으로 읽는다.
조건 (가)로 근의 배치를 정한다
상수항이 0\(0\)이므로 f(0)=0\(f(0)=0\)이다. 따라서 x=0\(x=0\)은 근이다. 여기서 중요한 분기는 x=0\(x=0\)에서 그래프가 축을 지나가는지, 아니면 축에 접하는지이다.
만약 x=0\(x=0\)에서 부호가 바뀐다면, 길이 3\(3\)인 구간 [p,p+3]\([p,p+3]\)이 0\(0\)을 내부에 포함하는 −3<p<0\(-3<p<0\)에서도 부호가 섞인다. 하지만 조건 (가)의 범위는 0<p<3\(0<p<3\)뿐이다. 그러므로 x=0\(x=0\)은 부호 변화 근이 아니라 중근이어야 한다.
남은 하나의 근을 r\(r\)이라고 두면, f(x)\(f(x)\)는 f(x)=ax2(x−r)\(f(x)=ax^2(x-r)\) 꼴이다. 이 부호 변화 근 r\(r\)이 만드는 p\(p\)의 범위는 (r−3,r)\((r-3,r)\)이고, 이것이 (0,3)\((0,3)\)과 같아야 한다.
만약 a>0\(a>0\)이면 [0,3]\([0,3]\)에서 f(x)=ah(x)\(f(x)=ah(x)\)는 −4a≤f(x)≤0\(-4a\le f(x)\le0\)을 만족한다. f(x)+q\(f(x)+q\)는 양 끝에서 q>0\(q>0\)이고, 최솟값에서는 q−4a\(q-4a\)이다. 부호가 섞이려면 아래 조건이 필요하다.
q>0,q−4a<0\[q>0,\qquad q-4a<0\]
따라서 실제로 부호가 섞이는 범위는 0<q<4a\(0<q<4a\)이다. 문제에서 이 범위가 0<q<1\(0<q<1\)이므로 4a=1\(4a=1\)이고, a=41\(a=\frac14\)이다.
반대로 a<0\(a<0\)이면 [0,3]\([0,3]\)에서 f(x)≥0\(f(x)\ge0\)이다. 여기에 양수 q\(q\)를 더하면 f(x)+q\(f(x)+q\)는 계속 양수이므로 조건 (나)의 범위를 만들 수 없다. 따라서 a>0\(a>0\)인 경우만 가능하다.
조건 (나)는 위로 q만큼 이동한 그래프의 최솟값 비교로 압축된다.
f(6)을 계산하고 경계값을 확인한다
결국 f(x)=41x2(x−3)\(f(x)=\frac14x^2(x-3)\)이다. 문제에서 묻는 값은 바로 대입하면 된다.
경계도 조건과 맞다. p=0\(p=0\) 또는 p=3\(p=3\)에서는 부호 변화 근 3\(3\)이 구간의 끝점에만 놓이므로, 구간 내부에 양쪽 부호가 함께 들어오지 않는다. 또 q=0\(q=0\)이면 f(x)≤0\(f(x)\le0\)이고, q=1\(q=1\)이면 f(x)+1≥0\(f(x)+1\ge0\)이며 x=2\(x=2\)에서만 0\(0\)이 된다. 그래서 부호가 실제로 섞이는 범위는 열린구간 0<q<1\(0<q<1\)이다.
다시 풀 때는 이 순서만 기억한다
절댓값 적분에서 ∫∣g∣\(\int |g|\)와 ∣∫g∣\(|\int g|\)가 다르다는 조건은 먼저 부호 섞임으로 바꾼다. 특히 길이 L\(L\)인 구간 [p,p+L]\([p,p+L]\)이 움직일 때 부호 변화 근 r\(r\)을 내부에 포함하는 범위는 (r−L,r)\((r-L,r)\)이다.
이 문제에서는 그 판단으로 x=0\(x=0\)은 접점, x=3\(x=3\)은 부호 변화 근이라는 구조가 먼저 정해진다. 그다음 f(x)+q\(f(x)+q\)는 그래프를 위로 올리는 조건으로 보고, 양 끝과 최솟값만 비교하면 계수 a=41\(a=\frac14\)가 결정된다.
