b>1이고 f(x)=b^x, g(x)=-log_b x의 제1사분면 교점이 P(alpha,beta)이다 P가 두 그래프 위에 있으므로 beta=b^alpha, beta=-log_b alpha이다 조건 alpha beta^3=1을 같은 밑 로그식으로 묶어 beta=3 alpha를 얻는다 직선 OP의 기울기 m은 beta/alpha이고, 빈칸 p,q,r로 (pqr)^2를 구한다

6월 모의고사 수학 20번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2027학년도 6월 모의고사 수학 20번 풀이 | 지수로그 교점과 밑변환

정답

핵심 요약

교점 조건을 alpha=log_b beta, log_b alpha=-beta로 바꾸고 alpha beta^3=1을 이용해 m=3, beta=3^(1/4), g(m)=-4·3^(-3/4)을 얻어 (pqr)^2=48을 계산한다.

들어가기 앞서…

이 문제는 $b$ $b$ 자체를 먼저 찾는 문제가 아니다. 점 $P(\alpha,\beta)$ $P(\alpha,\beta)$가 두 그래프 위에 있다는 조건을 로그식으로 바꾸고, 주어진 $\alpha\beta^3=1$ $\alpha\beta^3=1$과 맞물리게 만드는 문제이다.

핵심은 $\alpha$ $\alpha$와 $\beta$ $\beta$를 같은 밑 $b$ $b$의 로그식으로 맞춘 뒤, $\log_b(\alpha\beta^3)$ $\log_b(\alpha\beta^3)$을 만드는 것이다. 그러면 직선 $OP$ $OP$의 기울기 $m$ $m$이 먼저 나오고, 나머지 빈칸은 짧은 변형으로 따라온다.

문제

문제 텍스트 주관식

$1$ $1$보다 큰 실수 $b$ $b$에 대하여 두 함수 $f(x)=b^x$ $f(x)=b^x$와 $g(x)=-\log_b x$ $g(x)=-\log_b x$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점 $P$ $P$의 좌표를 $(\alpha,\beta)$ $(\alpha,\beta)$라 하자.

$\alpha\beta^3=1$ $\alpha\beta^3=1$일 때, 직선 $OP$ $OP$의 기울기 $m$ $m$에 대하여 $g(m)$ $g(m)$의 값을 구하는 과정이다. 단, $O$ $O$는 원점이다.

제1사분면에 있는 점 $P(\alpha,\beta)$ $P(\alpha,\beta)$는 두 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$, $y=g(x)$ $y=g(x)$ 위의 점이므로, 두 양수 $\alpha,\beta$ $\alpha,\beta$가

\beta=b^\alpha,\qquad \beta=-\log_b\alpha

를 만족시킨다. $\alpha\beta^3=1$ $\alpha\beta^3=1$이고 $\alpha=\log_b\beta$ $\alpha=\log_b\beta$, $\beta=-\log_b\alpha$ $\beta=-\log_b\alpha$이므로

3\alpha-\beta =3\log_b\beta+\log_b\alpha =\log_b(\alpha\beta^3)=0

이다. 그러므로

m=\frac{\beta}{\alpha}=(\text{가})

이다.

\beta^4=m\alpha\beta^3=m

이므로 $\beta=(\text{나})$ $\beta=(\text{나})$이다.

b=\alpha^{-\frac1\beta}

이고 $\alpha=\frac{\beta}{m}$ $\alpha=\frac{\beta}{m}$이므로

g(m)=-\log_b m =\frac{\beta}{\log_m\alpha} =\frac{\beta}{-1+\log_m\beta} =(\text{다})

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,q,r$ $p,q,r$이라 할 때, $(p\times q\times r)^2$ $(p\times q\times r)^2$의 값을 구하시오. [4점]

정답

$48$ $48$

풀이

교점 조건을 같은 로그식으로 맞춘다

점 $P(\alpha,\beta)$ $P(\alpha,\beta)$가 두 그래프 위에 있으므로 좌표를 대입하면 다음 두 식을 얻는다.

\beta=b^\alpha,\qquad \beta=-\log_b\alpha

첫 번째 식은 $\alpha=\log_b\beta$ $\alpha=\log_b\beta$로 바뀌고, 두 번째 식은 $\log_b\alpha=-\beta$ $\log_b\alpha=-\beta$로 바뀐다. 즉 $\alpha$ $\alpha$와 $\beta$ $\beta$가 모두 밑이 $b$ $b$인 로그식으로 연결된다.

이제 조건 $\alpha\beta^3=1$ $\alpha\beta^3=1$을 보면 $\beta^3$ $\beta^3$이 보인다. 따라서 $\log_b\alpha$ $\log_b\alpha$와 $3\log_b\beta$ $3\log_b\beta$를 묶으면 조건이 바로 들어간다. 처음 할 일은 $b$ $b$를 찾는 것이 아니라, $\alpha$ $\alpha$와 $\beta$ $\beta$의 비를 찾는 것이다.

교점 조건을 beta=b^alpha, beta=-log_b alpha로 세우고 같은 밑 로그식으로 바꾸어 m=3을 찾는 구조화 그림. — 교점 조건을 같은 밑 로그식으로 맞추면 기울기 m이 바로 나온다.

(가): alpha beta^3=1로 기울기를 구한다

$\alpha=\log_b\beta$ $\alpha=\log_b\beta$이고 $\log_b\alpha=-\beta$ $\log_b\alpha=-\beta$이므로 다음 계산을 만들 수 있다.

\begin{aligned} 3\alpha-\beta &=3\log_b\beta+\log_b\alpha\\ &=\log_b(\alpha\beta^3)\\ &=\log_b1=0 \end{aligned}

따라서 $\beta=3\alpha$ $\beta=3\alpha$이다. 직선 $OP$ $OP$의 기울기는 $m=\frac{\beta}{\alpha}$ $m=\frac{\beta}{\alpha}$이므로

m=3

이다. 그러므로 (가)에 들어갈 값은 $p=3$ $p=3$이다.

여기서 실수하기 쉬운 지점은 부호이다. $\beta=-\log_b\alpha$ $\beta=-\log_b\alpha$이므로 $\log_b\alpha=-\beta$ $\log_b\alpha=-\beta$이다. 이 음수 부호가 있어야 $3\alpha-\beta$ $3\alpha-\beta$가 만들어진다.

(나): beta^4=m으로 압축한다

이미 $m=\frac{\beta}{\alpha}$ $m=\frac{\beta}{\alpha}$이므로 $m\alpha=\beta$ $m\alpha=\beta$이다. 양변에 $\beta^3$ $\beta^3$을 곱하면 아래처럼 정리된다.

m\alpha\beta^3=\beta^4

그런데 문제에서 $\alpha\beta^3=1$ $\alpha\beta^3=1$을 주었으므로

\beta^4=m\alpha\beta^3=m

이다. 앞에서 $m=3$ $m=3$을 얻었으니 $\beta^4=3$ $\beta^4=3$이다.

점 $P$ $P$는 제1사분면에 있으므로 $\beta>0$ $\beta>0$이다. 따라서 네제곱근 중 양수만 선택해 다음 값을 얻는다.

\beta=3^{1/4}

그러므로 (나)에 들어갈 값은 $q=3^{1/4}$ $q=3^{1/4}$이다.

m alpha=beta와 alpha beta^3=1을 이용해 beta^4=m=3, beta=3^{1/4}를 얻는 계산 압축 그림. — m과 alpha beta^3=1을 결합하면 beta^4=m으로 압축된다.

(다): b를 직접 구하지 않고 g(m)을 계산한다

마지막 빈칸은 $g(m)=-\log_b m$ $g(m)=-\log_b m$이다. 여기서도 $b$ $b$ 자체를 구할 필요는 없다. 이미 $\log_b\alpha=-\beta$ $\log_b\alpha=-\beta$를 알고 있으므로, $\alpha$ $\alpha$를 중간에 두고 밑변환을 사용하면 된다.

여기서는 $\log_b m=\frac{\log_b\alpha}{\log_m\alpha}$ $\log_b m=\frac{\log_b\alpha}{\log_m\alpha}$라는 밑변환 공식을 쓴다. 따라서

\begin{aligned} g(m) &=-\log_b m\\ &=-\frac{\log_b\alpha}{\log_m\alpha}\\ &=\frac{\beta}{\log_m\alpha} \end{aligned}

이제 $\alpha=\frac{\beta}{m}$ $\alpha=\frac{\beta}{m}$이므로 $\log_m\alpha=\log_m\beta-1$ $\log_m\alpha=\log_m\beta-1$이다. 또 $\beta^4=m$ $\beta^4=m$이므로 $\beta=m^{1/4}$ $\beta=m^{1/4}$이고, $\log_m\beta=\frac14$ $\log_m\beta=\frac14$이다. 따라서

\log_m\alpha=\frac14-1=-\frac34

이다.

그러므로

\begin{aligned} g(m) &=\frac{\beta}{-\frac34}\\ &=-\frac43\beta\\ &=-\frac43\cdot3^{1/4}\\ &=-4\cdot3^{-3/4} \end{aligned}

이다. 따라서 (다)에 들어갈 값은 $r=-4\cdot3^{-3/4}$ $r=-4\cdot3^{-3/4}$이다.

b를 직접 구하지 않고 로그 밑변환으로 g(m)=-log_b m을 계산해 r=-4·3^{-3/4}를 얻는 흐름 그림. — b를 직접 구하지 않고 alpha를 중간 기준으로 밑변환한다.

최종값을 계산한다

세 빈칸의 값을 정리하면 다음과 같다.

p=3,\qquad q=3^{1/4},\qquad r=-4\cdot3^{-3/4}

따라서 문제에서 요구한 값은

\begin{aligned} (pqr)^2 &=\left(3\cdot3^{1/4}\cdot(-4\cdot3^{-3/4})\right)^2\\ &=(-4\sqrt3)^2\\ &=48 \end{aligned}

이다. 정답은 $48$ $48$이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

이 문제는 교점의 좌표나 $b$ $b$를 직접 구하는 문제가 아니다. 조건 $\alpha\beta^3=1$ $\alpha\beta^3=1$을 로그로 바꾸었을 때 $\log_b\alpha+3\log_b\beta$ $\log_b\alpha+3\log_b\beta$가 한 덩어리가 된다는 점을 먼저 보는 문제이다.

처음에는 $\beta=b^\alpha$ $\beta=b^\alpha$, $\beta=-\log_b\alpha$ $\beta=-\log_b\alpha$를 각각 $\alpha=\log_b\beta$ $\alpha=\log_b\beta$, $\log_b\alpha=-\beta$ $\log_b\alpha=-\beta$로 바꾼다. 그다음 $\log_b(\alpha\beta^3)=0$ $\log_b(\alpha\beta^3)=0$을 이용해 $\beta=3\alpha$ $\beta=3\alpha$를 얻으면 $m=3$ $m=3$이 바로 나온다. 이후에는 $\beta^4=m$ $\beta^4=m$과 $g(m)=\frac{\beta}{\log_m\alpha}$ $g(m)=\frac{\beta}{\log_m\alpha}$만 처리하면 된다.

마지막 검산은 부호이다. $b>1$ $b>1$이고 $m=3>1$ $m=3>1$이므로 $\log_b m>0$ $\log_b m>0$이다. 따라서 $g(m)=-\log_b m$ $g(m)=-\log_b m$은 음수여야 한다. 실제로 $r=-4\cdot3^{-3/4}<0$ $r=-4\cdot3^{-3/4}<0$이므로 방향이 맞다.

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