들어가기 앞서…
이 문제는 도함수 방정식 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 g'(x)g'(x-4)=0 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 \(g'(x)g'(x-4)=0\) 을 그대로 전개하는 문제가 아니다.조각이 바뀌는 점 x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 에서 미분가능 조건으로 오른쪽 이차함수의 모양을 줄이고, 그다음 도함수 근의 배치를 본다.
핵심은 g ′ g' g ′ \(g'\) 의 근 집합과 그 집합을 오른쪽으로 4 4 4 \(4\) 만큼 민 집합의 겹침
문제
2025학년도 대학수학능력시험 수학 공통 15번 문제 문제 텍스트 객관식 상수 a ( a ≠ 3 5 ) a(a\neq3\sqrt5) a ( a = 3 5 ) \(a(a\neq3\sqrt5)\) 와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 f ( x ) f(x) f ( x ) \(f(x)\) 에 대하여 함수
g ( x ) = { x 3 + a x 2 + 15 x + 7 ( x ≤ 0 ) f ( x ) ( x > 0 ) g(x)=
\begin{cases}
x^3+ax^2+15x+7 & (x\le0)\\
f(x) & (x>0)
\end{cases} g ( x ) = { x 3 + a x 2 + 15 x + 7 f ( x ) ( x ≤ 0 ) ( x > 0 ) \[g(x)=
\begin{cases}
x^3+ax^2+15x+7 & (x\le0)\\
f(x) & (x>0)
\end{cases}\] 이 다음 조건을 만족시킨다.
함수 g ( x ) g(x) g ( x ) \(g(x)\) 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
x x x \(x\) 에 대한 방정식 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 g'(x)g'(x-4)=0 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 \(g'(x)g'(x-4)=0\) 의 서로 다른 실근의 개수는 4 4 4 \(4\) 이다. g ( − 2 ) + g ( 2 ) g(-2)+g(2) g ( − 2 ) + g ( 2 ) \(g(-2)+g(2)\) 의 값은? [4점]
① 30 30 30 \(30\) ② 32 32 32 \(32\) ③ 34 34 34 \(34\) ④ 36 36 36 \(36\) ⑤ 38 38 38 \(38\)
정답
②
풀이
x=0에서 오른쪽 조각을 먼저 고정한다
조각이 바뀌는 지점은 x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 이다.g g g \(g\) 가 실수 전체에서 미분가능하므로, 오른쪽 이차함수는 x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 에서 왼쪽 삼차함수와 값과 기울기를 모두 맞춰야 한다.
왼쪽 조각을 h ( x ) = x 3 + a x 2 + 15 x + 7 h(x)=x^3+ax^2+15x+7 h ( x ) = x 3 + a x 2 + 15 x + 7 \(h(x)=x^3+ax^2+15x+7\) 이라 두면 다음과 같다.
h ( 0 ) = 7 , h ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x + 15 , h ′ ( 0 ) = 15 h(0)=7,\qquad h'(x)=3x^2+2ax+15,\qquad h'(0)=15 h ( 0 ) = 7 , h ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x + 15 , h ′ ( 0 ) = 15 \[h(0)=7,\qquad h'(x)=3x^2+2ax+15,\qquad h'(0)=15\] 따라서 오른쪽 이차함수 f ( x ) f(x) f ( x ) \(f(x)\) 는 f ( 0 ) = 7 f(0)=7 f ( 0 ) = 7 \(f(0)=7\) , f ′ ( 0 ) = 15 f'(0)=15 f ′ ( 0 ) = 15 \(f'(0)=15\) 를 만족해야 한다.b < 0 b<0 b < 0 \(b<0\) 에 대하여
f ( x ) = b x 2 + 15 x + 7 f(x)=bx^2+15x+7 f ( x ) = b x 2 + 15 x + 7 \[f(x)=bx^2+15x+7\] 로 쓸 수 있다.
x=0에서 값과 기울기를 맞추면 오른쪽 조각과 도함수 근 위치가 제한된다. 조건 (나)를 근 집합의 이동으로 읽는다
이제 조건 (나)를 본다.
g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 g'(x)g'(x-4)=0 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 \[g'(x)g'(x-4)=0\] 이 식은 g ′ ( x ) = 0 g'(x)=0 g ′ ( x ) = 0 \(g'(x)=0\) 이거나 g ′ ( x − 4 ) = 0 g'(x-4)=0 g ′ ( x − 4 ) = 0 \(g'(x-4)=0\) 이라는 뜻이다.g ′ g' g ′ \(g'\) 의 근 집합을 S S S \(S\) 라고 하면 g ′ ( x − 4 ) = 0 g'(x-4)=0 g ′ ( x − 4 ) = 0 \(g'(x-4)=0\) 의 해는 S S S \(S\) 를 오른쪽으로 4 4 4 \(4\) 만큼 민 집합이다.
따라서 조건 (나)의 해 집합은 S ∪ ( S + 4 ) S\cup(S+4) S ∪ ( S + 4 ) \(S\cup(S+4)\) 이다.그 근들이 4 4 4 \(4\) 만큼 이동했을 때 얼마나 겹치는지 보는 문제 이다.
g’의 근이 몇 개일 수 있는지 정리한다
g ′ g' g ′ \(g'\) 는 구간에 따라 다음과 같다.
g ′ ( x ) = { 3 x 2 + 2 a x + 15 ( x < 0 ) 15 ( x = 0 ) 2 b x + 15 ( x > 0 ) g'(x)=
\begin{cases}
3x^2+2ax+15 & (x<0)\\
15 & (x=0)\\
2bx+15 & (x>0)
\end{cases} g ′ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x 2 + 2 a x + 15 15 2 b x + 15 ( x < 0 ) ( x = 0 ) ( x > 0 ) \[g'(x)=
\begin{cases}
3x^2+2ax+15 & (x<0)\\
15 & (x=0)\\
2bx+15 & (x>0)
\end{cases}\] 특히 g ′ ( 0 ) = 15 g'(0)=15 g ′ ( 0 ) = 15 \(g'(0)=15\) 이므로 x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 은 근이 아니다.
오른쪽에서는 2 b x + 15 = 0 2bx+15=0 2 b x + 15 = 0 \(2bx+15=0\) 을 본다.b < 0 b<0 b < 0 \(b<0\) 이므로 이 방정식은 x > 0 x>0 x > 0 \(x>0\) 에서 근 하나를 갖는다.r r r \(r\) 이라 하자.
왼쪽에서는 3 x 2 + 2 a x + 15 = 0 3x^2+2ax+15=0 3 x 2 + 2 a x + 15 = 0 \(3x^2+2ax+15=0\) 의 음의 근 만 의미가 있다.15 3 = 5 > 0 \frac{15}{3}=5>0 3 15 = 5 > 0 \(\frac{15}{3}=5>0\) 이므로, 서로 다른 두 실근이 있으면 두 근의 부호는 같다.
문제에서 a = 3 5 a=3\sqrt5 a = 3 5 \(a=3\sqrt5\) 를 제외했기 때문에 왼쪽에서 의미 있는 음의 근은 0 0 0 \(0\) 개 또는 2 2 2 \(2\) 개이다.S S S \(S\) 는 오른쪽 근 r r r \(r\) 하나뿐이고, S ∪ ( S + 4 ) S\cup(S+4) S ∪ ( S + 4 ) \(S\cup(S+4)\) 는 두 점에 그친다.
따라서 왼쪽에서 음의 근 두 개가 반드시 생긴다.
u < v < 0 < r u<v<0<r u < v < 0 < r \[u<v<0<r\] 라 두면 S = { u , v , r } S=\{u,v,r\} S = { u , v , r } \(S=\{u,v,r\}\) 이다.
네 근 조건은 4 간격 사슬을 강제한다
S S S \(S\) 에 원소가 세 개이므로, S S S \(S\) 와 S + 4 S+4 S + 4 \(S+4\) 를 겹침 없이 합치면 후보가 여섯 개다.
가능한 겹침은 u + 4 = v u+4=v u + 4 = v \(u+4=v\) , u + 4 = r u+4=r u + 4 = r \(u+4=r\) , v + 4 = r v+4=r v + 4 = r \(v+4=r\) 뿐이다.u + 4 = r u+4=r u + 4 = r \(u+4=r\) 이 다른 겹침과 동시에 성립하면 u = v u=v u = v \(u=v\) 또는 v = r v=r v = r \(v=r\) 이 되어 불가능하다.
따라서 가능한 구조는 하나뿐이다.
v = u + 4 , r = v + 4 v=u+4,\qquad r=v+4 v = u + 4 , r = v + 4 \[v=u+4,\qquad r=v+4\] 세 근이 4 4 4 \(4\) 간격으로 이어져야 한다.
S와 S+4가 두 번 겹치려면 세 근이 4 간격 사슬을 이룬다. 왼쪽 두 근 u , v u,v u , v \(u,v\) 는 3 x 2 + 2 a x + 15 = 0 3x^2+2ax+15=0 3 x 2 + 2 a x + 15 = 0 \(3x^2+2ax+15=0\) 의 두 근이므로 u v = 15 3 = 5 uv=\frac{15}{3}=5 uv = 3 15 = 5 \(uv=\frac{15}{3}=5\) 이다.v = u + 4 v=u+4 v = u + 4 \(v=u+4\) 이므로 정리하면 다음과 같다.
u ( u + 4 ) = 5 , u 2 + 4 u − 5 = 0 , ( u + 5 ) ( u − 1 ) = 0 u(u+4)=5,\qquad u^2+4u-5=0,\qquad (u+5)(u-1)=0 u ( u + 4 ) = 5 , u 2 + 4 u − 5 = 0 , ( u + 5 ) ( u − 1 ) = 0 \[u(u+4)=5,\qquad u^2+4u-5=0,\qquad (u+5)(u-1)=0\] u u u \(u\) 는 음수이므로 u = − 5 u=-5 u = − 5 \(u=-5\) 이다.S S S \(S\) 의 세 근은 다음과 같다.
u = − 5 , v = − 1 , r = 3 u=-5,\qquad v=-1,\qquad r=3 u = − 5 , v = − 1 , r = 3 \[u=-5,\qquad v=-1,\qquad r=3\] 계수를 정하고 필요한 값만 계산한다
왼쪽 도함수 3 x 2 + 2 a x + 15 3x^2+2ax+15 3 x 2 + 2 a x + 15 \(3x^2+2ax+15\) 의 두 근이 − 5 , − 1 -5,-1 − 5 , − 1 \(-5,-1\) 이므로 아래 식이 성립한다.
3 x 2 + 2 a x + 15 = 3 ( x + 5 ) ( x + 1 ) = 3 x 2 + 18 x + 15 3x^2+2ax+15=3(x+5)(x+1)=3x^2+18x+15 3 x 2 + 2 a x + 15 = 3 ( x + 5 ) ( x + 1 ) = 3 x 2 + 18 x + 15 \[3x^2+2ax+15=3(x+5)(x+1)=3x^2+18x+15\] 따라서 2 a = 18 2a=18 2 a = 18 \(2a=18\) , 즉 a = 9 a=9 a = 9 \(a=9\) 이다.
오른쪽 도함수 2 b x + 15 2bx+15 2 b x + 15 \(2bx+15\) 의 근은 r = 3 r=3 r = 3 \(r=3\) 이다.2 b ⋅ 3 + 15 = 0 2b\cdot3+15=0 2 b ⋅ 3 + 15 = 0 \(2b\cdot3+15=0\) 이고, b = − 5 2 b=-\frac52 b = − 2 5 \(b=-\frac52\) 이다.
f ( x ) = − 5 2 x 2 + 15 x + 7 f(x)=-\frac52x^2+15x+7 f ( x ) = − 2 5 x 2 + 15 x + 7 \[f(x)=-\frac52x^2+15x+7\] − 2 -2 − 2 \(-2\) 는 왼쪽 조각에 넣고, 2 2 2 \(2\) 는 오른쪽 조각에 넣는다.
g ( − 2 ) = ( − 2 ) 3 + 9 ( − 2 ) 2 + 15 ( − 2 ) + 7 = 5 g(-2)=(-2)^3+9(-2)^2+15(-2)+7=5 g ( − 2 ) = ( − 2 ) 3 + 9 ( − 2 ) 2 + 15 ( − 2 ) + 7 = 5 \[g(-2)=(-2)^3+9(-2)^2+15(-2)+7=5\] g ( 2 ) = − 5 2 ⋅ 2 2 + 15 ⋅ 2 + 7 = 27 g(2)=-\frac52\cdot2^2+15\cdot2+7=27 g ( 2 ) = − 2 5 ⋅ 2 2 + 15 ⋅ 2 + 7 = 27 \[g(2)=-\frac52\cdot2^2+15\cdot2+7=27\] 따라서 g ( − 2 ) + g ( 2 ) = 5 + 27 = 32 g(-2)+g(2)=5+27=32 g ( − 2 ) + g ( 2 ) = 5 + 27 = 32 \(g(-2)+g(2)=5+27=32\)
다시 풀 때는 이 순서만 기억한다
조각함수의 미분가능 조건은 조각이 바뀌는 점의 값과 기울기를 먼저 고정한다.x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 에서 f ( x ) = b x 2 + 15 x + 7 f(x)=bx^2+15x+7 f ( x ) = b x 2 + 15 x + 7 \(f(x)=bx^2+15x+7\) , b < 0 b<0 b < 0 \(b<0\) 까지 오른쪽 조각이 줄어든다.
그다음 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 g'(x)g'(x-4)=0 g ′ ( x ) g ′ ( x − 4 ) = 0 \(g'(x)g'(x-4)=0\) 을 S ∪ ( S + 4 ) S\cup(S+4) S ∪ ( S + 4 ) \(S\cup(S+4)\) 의 원소 개수로 읽는다.4 4 4 \(4\) 간격 사슬이 강제되고, 도함수의 근은 − 5 , − 1 , 3 -5,-1,3 − 5 , − 1 , 3 \(-5,-1,3\) 으로 정해진다.
검산할 때는 이동 후 근이 − 1 , 3 , 7 -1,3,7 − 1 , 3 , 7 \(-1,3,7\) 이 되어 합집합 원소가 − 5 , − 1 , 3 , 7 -5,-1,3,7 − 5 , − 1 , 3 , 7 \(-5,-1,3,7\) 네 개로 맞는지 보면 된다.x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 은 g ′ ( 0 ) = 15 g'(0)=15 g ′ ( 0 ) = 15 \(g'(0)=15\) 이므로 근으로 세면 안 된다.
문항코드: 251115
