2026학년도 수능 수학 13번 풀이 | 접선의 방정식과 삼각형 넓이

들어가기 앞서…

이 문제는 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구하는 문제가 아니다. 실제로 도형을 만드는 선은 두 곡선이 아니라 두 접선과 $y$축이다.

그래서 곡선 전체를 그리기보다, 먼저 두 접선의 방정식을 구한 뒤 $y$축 위의 밑변과 교점에서 $y$축까지의 높이를 찾으면 된다.

문제

정답

⑤

풀이

주어진 점이 접점을 바로 정해 주는지 확인한다

먼저 주어진 두 점이 실제로 각 곡선 위의 점인지 확인한다. $f(1)=1-4-3=-6$이므로 $(1,-6)$은 $y=f(x)$ 위의 점이다.

또 $g(1)=(1^3-2\cdot1)f(1)=(-1)(-6)=6$이므로 $(1,6)$도 $y=g(x)$ 위의 점이다. 따라서 두 접선은 모두 접점의 $x$좌표가 $1$인 접선이다.

그림처럼 넓이를 만드는 대상은 곡선 전체가 아니라 접선 두 개와 $y$축이다. 결국 필요한 값은 두 접선의 $y$절편과 두 접선의 교점의 $x$좌표로 줄어든다.

첫 번째 접선은 f의 미분계수로 바로 정한다

$f(x)=x^2-4x-3$이므로 $f'(x)=2x-4$이다. 따라서 $f'(1)=-2$이다.

점 $(1,-6)$을 지나고 기울기가 $-2$인 직선이므로 접선 $\ell$의 방정식은 다음과 같다.

따라서 $\ell$의 $y$절편은 $-4$이다.

두 번째 접선은 g를 전개하지 않고 필요한 값만 모은다

$g(x)=(x^3-2x)f(x)$는 전개하면 식이 길어진다. 하지만 접선에는 $g'(1)$만 필요하므로, 전체 전개보다 $x=1$에서 필요한 값과 미분계수만 모으는 편이 빠르다.

$h(x)=x^3-2x$로 두면 $g(x)=h(x)f(x)$이다. 곱의 미분을 적용하면 다음과 같다.

$x=1$에서 $h(1)=-1$, $h'(1)=1$, $f(1)=-6$, $f'(1)=-2$이므로 $g'(1)$은 아래와 같이 계산된다.

따라서 점 $(1,6)$을 지나고 기울기가 $-4$인 접선 $m$의 방정식은 다음과 같다.

이 직선의 $y$절편은 $10$이다.

두 직선을 놓고 밑변과 높이만 찾는다

이제 넓이를 둘러싸는 두 직선은 다음 두 개이다.

$y$축과 만나는 두 점의 $y$좌표는 각각 $-4$, $10$이다. 따라서 $y$축 위에 놓인 밑변의 길이는 $10-(-4)=14$이다.

남은 것은 두 접선의 교점이 $y$축에서 얼마나 떨어져 있는지이다. 두 직선의 $y$값을 같게 두면 교점의 $x$좌표가 나온다.

여기서 높이는 교점의 $y$좌표가 아니라 교점에서 $y$축까지의 가로 거리이다. 따라서 높이는 $7$이다.

삼각형의 넓이는 $\frac12\cdot14\cdot7=49$이므로, 정답은 ⑤이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

접선과 넓이가 함께 나오면, 실제로 넓이를 만드는 대상이 곡선인지 접선인지부터 확인한다. 이 문제에서는 곡선은 접선을 구하기 위한 재료이고, 넓이를 만드는 선은 두 접선과 $y$축이다.

$g(x)$처럼 식이 길어 보여도 접선이 $x=1$에서만 필요하다면 전체 전개를 하지 않는다. 특정 점에서의 값과 미분계수만 모아 $g'(1)$을 구하면 충분하다.

마지막으로 $y$축을 삼각형의 밑변으로 잡으면 높이는 세로 길이가 아니라 가로 거리다. 그래서 교점 $P(7,-18)$에서 필요한 값은 $-18$이 아니라 $x$좌표 $7$이다.