수선의 발과 접선의 y절편은 모두 y축 위에 있으므로 거리는 y좌표 차이이다 접선의 y절편은 f(s)-s f'(s)이므로 거리 t는 |s f'(s)|이다 s>0에서 f'(s)=s^2/(1+s)>0이어서 t=s^3/(1+s)로 정리된다 h(s)=s^3/(1+s)는 s>0에서 증가하고, 적분 끝값 1/2과 27/4는 각각 s=1,3에 대응한다 t=h(s) 치환으로 원래 적분은 ∫_1^3 s h'(s) ds가 된다

수능 미적분 28번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 미적분 28번 풀이 | 접선의 y절편과 역함수 적분

정답

⑤

핵심 요약

두 y축 위 점의 세로거리에서 t=|s f'(s)|를 얻고, s>0에서 t=s^3/(1+s)임을 이용해 t구간을 s=1부터 3까지로 바꾸어 부분적분한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

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들어가기 앞서…

이 문제는 $g(t)$ 의 식을 직접 구하는 문제가 아니다. 먼저 거리 $t$ 가 원래 변수 $s$ 로 어떻게 표현되는지 잡고, 그 다음 $t$ -구간을 $s$ -구간으로 바꾸어 적분한다.

핵심은 접선이 $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 좌표이다. 이 값만 정확히 쓰면 복잡해 보이는 $f(s)$ 가 거리 계산에서 사라진다.

문제

문제 텍스트 객관식

함수

f(x)=\frac12x^2-x+\ln(1+x)

와 양수 $t$ 에 대하여 점 $(s,f(s))\,(s>0)$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(s,f(s))$ 에서의 접선이 $y$ 축과 만나는 점 사이의 거리가 $t$ 가 되도록 하는 $s$ 의 값을 $g(t)$ 라 하자.

\int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt

의 값은?

① $\frac{161}{12}+\ln 3$
② $\frac{40}{3}+\ln 3$
③ $\frac{53}{4}+\ln 2$
④ $\frac{79}{6}+\ln 2$
⑤ $\frac{157}{12}+\ln 2$

정답

⑤

풀이

두 y축 위 점의 거리부터 구한다

점 $(s,f(s))$ 에서 $y$ 축에 내린 수선의 발은 $(0,f(s))$ 이다. 같은 점에서의 접선은

y=f(s)+f'(s)(x-s)

이므로, 이 접선이 $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 좌표는 $x=0$ 을 넣은 $f(s)-s f'(s)$ 이다.

따라서 두 점 사이의 거리는 가로거리가 아니라 세로거리다. 거리식은 다음과 같이 정리된다.

\left|f(s)-\{f(s)-s f'(s)\}\right|=|s f'(s)|

여기서 복잡한 함수값 $f(s)$ 자체는 소거되고 $f'(s)$ 만 남는다.

점 P(s,f(s))에서 y축으로 내린 수선의 발 H와 접선의 y절편 I를 y축 위에 표시하고 H부터 I까지의 거리 t가 |s f'(s)|가 되는 과정을 보여 주는 필기. — 수선의 발과 접선의 y절편이 모두 y축 위에 있음을 먼저 확인한다.

거리 조건을 t=h(s)로 바꾼다

이제 필요한 것은 $f'(s)$ 이다. 도함수는 다음과 같다.

f'(x)=x-1+\frac1{1+x}=\frac{x^2}{1+x}

문제에서 $s>0$ 이므로 $f'(s)>0$ 이고, 따라서 $s f'(s)>0$ 이다. 거리에서 나온 절댓값은 이 부호 조건 때문에 제거된다.

앞으로

h(s)=\frac{s^3}{1+s}

라고 두면 거리 조건은 $t=h(s)$ 가 된다. 즉 $g(t)$ 는 $t=h(s)$ 를 만든 $s$ 를 되돌려 주는 함수이다.

t구간을 s구간으로 바꾼다

$g(t)$ 의 닫힌식을 구하려면 3차방정식을 풀어야 한다. 하지만 정적분 구간의 끝값이 어떤 $s$ 에서 나오는지 먼저 대입해 보면 계산 방향이 보인다.

h(1)=\frac12,\qquad h(3)=\frac{27}{4}

따라서 적분 구간 $\left[\frac12,\frac{27}{4}\right]$ 은 $s=1$ 부터 $s=3$ 까지 움직이는 구간일 가능성이 있다. 이 대응을 확정하려면 $h$ 가 중간에서 되돌아가지 않는지 확인하면 된다.

h'(s)=\frac{3s^2(1+s)-s^3}{(1+s)^2} =\frac{s^2(2s+3)}{(1+s)^2}

$s>0$ 에서 $h'(s)>0$ 이므로 $h$ 는 증가함수이다. 그러므로 이 구간에서 $t$ 하나는 $s$ 하나에만 대응한다.

h(s)=s^3/(1+s)의 증가성과 h(1)=1/2, h(3)=27/4 대응을 수직선으로 정리하여 g(1/2)=1, g(27/4)=3임을 보여 주는 필기. — 끝값 대입과 증가성으로 t구간을 s구간으로 바꾼다.

g(t) 대신 s를 적분한다

앞에서 $h$ 가 증가함을 확인했으므로 $t=h(s)$ 로 놓고 움직일 때 그 $t$ 에 대응하는 값은 바로 $g(h(s))=s$ 이다. 또한 $dt=h'(s)\,ds$ 이므로 원래 적분은 다음과 같이 바뀐다.

\int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt =\int_1^3 g(h(s))h'(s)\,ds =\int_1^3 s h'(s)\,ds

이 적분은 부분적분으로 줄이면 계산이 짧다.

\int_1^3 s h'(s)\,ds =\left[s h(s)\right]_1^3-\int_1^3 h(s)\,ds

경계항은 다음과 같다.

\left[s h(s)\right]_1^3 =3\cdot\frac{27}{4}-1\cdot\frac12 =\frac{79}{4}

t=h(s) 치환으로 원래 적분을 int_1^3 s h'(s) ds로 바꾸고 부분적분, s^3/(1+s) 나눗셈, 최종값 157/12+ln2까지 압축한 계산 필기. — 치환과 부분적분을 쓰면 g(t)의 식을 직접 풀지 않아도 된다.

남은 적분 하나만 정리한다

이제 남은 적분은 $\int_1^3 h(s)\,ds$ 이다. 분수식을 나누면 다음과 같다.

\frac{s^3}{1+s}=s^2-s+1-\frac1{s+1}

따라서 남은 적분값은 다음과 같다.

\begin{aligned} \int_1^3 h(s)\,ds &=\int_1^3\left(s^2-s+1-\frac1{s+1}\right)\,ds\\ &=\left[\frac{s^3}{3}-\frac{s^2}{2}+s-\ln(s+1)\right]_1^3\\ &=\frac{20}{3}-\ln 2 \end{aligned}

그러므로 원래 적분값은 다음과 같다.

\int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt =\frac{79}{4}-\left(\frac{20}{3}-\ln 2\right) =\frac{157}{12}+\ln 2

따라서 정답은 ⑤이다.

원래 조건으로 빠르게 확인한다

$s=1$ 이면 $t=\frac{1^3}{1+1}=\frac12$ 이고, $s=3$ 이면 $t=\frac{3^3}{1+3}=\frac{27}{4}$ 이다. 적분 구간의 양 끝이 정확히 맞는다.

또 $h'(s)>0$ 이므로 $1\le s\le3$ 에서 같은 $t$ 를 만드는 다른 $s$ 가 끼어들지 않는다. 마지막으로 결과는 선택지 ⑤의 $\frac{157}{12}+\ln 2$ 와 일치한다.