a_1=7이고 n>=2에서 부분합 S_n과 일반항 a_n 사이의 관계가 주어진다 S_{n+1}-S_n=a_{n+1}로 부분합 조건을 항 사이 관계로 바꾼다 최종 합에서 a_3, a_5, a_7, a_9, a_11만 한 번 더 더해진다 새 관계식은 n>=2에서만 얻었으므로 a_2는 원래 조건에 n=2를 넣어 구한다

수능 수학 20번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 수학 20번 풀이 | 부분합 차분과 항 묶음

정답

130

핵심 요약

최종 합을 먼저 펼쳐 2a_{2k+1}+a_{2k+2} 묶음을 찾고, 부분합 차분으로 2a_n+a_{n+1}=n을 얻어 p=10, q=52, 최종값 130을 계산한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

0 / 300

들어가기 앞서…

이 문제는 수열의 항을 전부 구하는 문제가 아니다. 마지막에 필요한 합을 먼저 펼쳐 보면, 개별 항이 아니라 반복되는 항 묶음이 보인다.

주어진 부분합 조건은 $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ 로 두고 한 칸 밀어 빼면 다룰 수 있다. 핵심은 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 로 합 조건을 항 사이의 관계식으로 바꾸는 것이다.

문제

문제 텍스트 주관식

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

$a_1=7$
$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여

\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10

이다.

다음은

\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}

의 값을 구하는 과정이다.

$2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여

a_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k

이므로

a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+(\text{가})

이고, 이 식을 정리하면

2a_n+a_{n+1}=3\times(\text{가}) \tag{1}

이다.

\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\qquad(n\ge2)

에서 양변에 $n=2$ 를 대입하면

a_2=(\text{나}) \tag{2}

이다. (1)과 (2)에 의하여

\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1} =a_1+a_2+ \sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2}) =(\text{다})

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$ 이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p,q$ 라 할 때,

\frac{p\times q}{f(12)}

의 값을 구하시오.

정답

$130$

풀이

마지막 합에서 필요한 묶음을 먼저 찾는다

구하려는 값은 $\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}$ 이다. 두 번째 합은 $a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}$ 을 한 번 더 더한다는 뜻이므로 전체 합은 다음처럼 펼쳐진다.

a_1+a_2+2a_3+a_4+2a_5+a_6+\cdots+2a_{11}+a_{12}

처음 두 항을 제외하면 계속 $2a_{2k+1}+a_{2k+2}$ 꼴로 묶인다. 따라서 이 문제에서 필요한 것은 $a_3$ 부터 $a_{12}$ 까지를 하나씩 구하는 계산이 아니라, $2a_n+a_{n+1}$ 을 바로 계산하는 관계식이다.

최종 합을 펼쳐 홀수항 a3, a5, a7, a9, a11에만 계수 2가 붙고 필요한 묶음이 2a_{2k+1}+a_{2k+2}임을 보여 주는 필기. — 마지막 합을 펼치면 필요한 묶음이 먼저 보인다.

식으로 쓰면 최종 합은 아래와 같이 정리된다.

\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1} =a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})

부분합 조건을 한 칸 밀어 뺀다

$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ 라고 두자. 주어진 조건은 다음과 같다.

S_n=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\qquad(n\ge2)

연속한 두 부분합의 차는 한 항만 남기므로 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 이다.

조건식을 $n+1$ 과 $n$ 에 대해 빼면 다음과 같다.

\begin{aligned} a_{n+1} &=S_{n+1}-S_n\\ &=\left\{\frac23a_{n+1}+\frac16(n+1)^2-\frac16(n+1)+10\right\} -\left\{\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\right\}\\ &=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac n3 \end{aligned}

따라서 빈칸 (가)에 들어갈 식은 $f(n)=\frac n3$ 이다.

부분합 조건에서 S_{n+1}-S_n을 계산해 a_{n+1}=2/3(a_{n+1}-a_n)+n/3, f(n)=n/3, 2a_n+a_{n+1}=n을 얻는 필기. — 부분합 조건을 한 칸 밀어 빼면 빈칸 (가)와 핵심 관계식이 나온다.

이 식을 문제의 형태로 정리한다. $a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac n3$ 의 양변에 $3$ 을 곱하면 다음과 같다.

3a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+n

따라서 다음 관계식을 얻는다.

2a_n+a_{n+1}=n\qquad(n\ge2)

이 관계식이 바로 앞에서 찾은 묶음 $2a_{2k+1}+a_{2k+2}$ 에 들어맞는다.

a_2는 원래 조건에 n=2를 넣어 구한다

여기서 조심해야 한다. 방금 얻은 $2a_n+a_{n+1}=n$ 은 $n\ge2$ 에서만 만든 관계식이다. 그러므로 $a_2$ 를 구하기 위해 이 식에 $n=1$ 을 넣으면 안 된다.

$a_2$ 는 원래 부분합 조건에 $n=2$ 를 대입해서 구한다. $a_1=7$ 이므로 $S_2=7+a_2$ 이고, 조건식의 오른쪽은 다음과 같다.

S_2=\frac23a_2+\frac16\cdot2^2-\frac16\cdot2+10 =\frac23a_2+\frac{31}{3}

따라서 $7+a_2=\frac23a_2+\frac{31}{3}$ 이고, 정리하면 $a_2=10$ 이다.

그러므로 빈칸 (나)의 값은 $p=10$ 이다.

묶음에 바로 대입해 q를 구한다

이제 마지막 합으로 돌아간다.

\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1} =a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})

앞에서 얻은 $2a_n+a_{n+1}=n$ 에 $n=2k+1$ 을 넣으면 아래와 같다.

2a_{2k+1}+a_{2k+2}=2k+1

$k=1,2,3,4,5$ 이면 오른쪽 값은 $3,5,7,9,11$ 이다.

관계식 2a_n+a_{n+1}=n에 n=2k+1을 대입해 다섯 묶음이 3, 5, 7, 9, 11이 되고 q=52가 되는 과정을 정리한 표. — 핵심 관계식을 다섯 묶음에 바로 적용한다.

따라서 빈칸 (다)의 값 $q$ 는 다음과 같다.

\begin{aligned} q &=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2k+1)\\ &=7+10+(3+5+7+9+11)\\ &=52 \end{aligned}

f(12)까지 넣어 최종값을 계산한다

$f(n)=\frac n3$ 이므로 $f(12)=4$ 이다. 또 $p=10$ , $q=52$ 이므로 문제에서 요구한 값은 다음과 같다.

\frac{p\times q}{f(12)} =\frac{10\cdot52}{4} =130

따라서 정답은 $130$ 이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

부분합과 일반항이 함께 있는 조건은 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 로 한 칸 밀어 빼면 항 사이 관계식이 나온다.

다만 계산을 시작하기 전에 최종 합을 먼저 펼쳐 보아야 한다. 이 문제에서는 홀수항 $a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}$ 만 한 번 더 더해져서 $2a_{2k+1}+a_{2k+2}$ 묶음이 필요했고, 그 묶음이 차분으로 얻은 $2a_n+a_{n+1}=n$ 과 정확히 맞아떨어졌다.

마지막으로 관계식의 적용 범위를 확인한다. $2a_n+a_{n+1}=n$ 은 $n\ge2$ 에서 나온 식이므로, $a_2$ 는 원래 조건의 $n=2$ 대입으로 따로 구해야 한다.