첫째항과 공차가 같으므로 a_n=nd이고 d≠0이다 i=1,2,3 조건은 b_{k+1}, b_{k+2}, b_{k+3}이라는 연속한 세 등비항을 만든다 연속한 세 등비항의 가운데 항 제곱 조건으로 d=1/4, 공비 1/3이 결정된다 b_{k+1}=3에서 b_1=3^{k+1}이고, 부등식은 32/3 < b_1 < 92/3으로 정리된다 짝수 번째 항만 모으면 첫항 b_2=9, 공비 1/9인 등비급수가 된다

수능 미적분 29번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 미적분 29번 풀이 | 등차수열 조건과 등비급수

정답

핵심 요약

a_n=nd로 두고 연속한 세 등비항 조건에서 d=1/4와 공비 1/3을 얻은 뒤, 부등식을 b_1 범위로 바꾸어 b_1=27을 찾고 짝수항 합으로 p+q=97을 계산한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

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들어가기 앞서…

이 문제는 무한급수부터 밀어붙이면 길어진다. 먼저 작은 항을 써서 두 수열의 모양을 줄이고, 부등식은 마지막에 남은 위치 정보 $k$ 를 고르는 조건으로 쓰는 편이 빠르다.

특히 첫째항과 공차가 같다는 조건은 $a_n=nd$ 로 줄이라는 신호이고, $i=1,2,3$ 조건은 등비수열의 연속한 세 항을 만들어 준다.

문제

문제 텍스트 주관식

첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{a_n\}$ 과 등비수열 $\{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

어떤 자연수 $k$ 에 대하여

b_{k+i}=\frac1{a_i}-1\qquad(i=1,2,3)

이다.

부등식

0<\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n-\frac1{a_na_{n+1}}\right)<30

이 성립할 때,

a_2\times\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\frac qp

이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 단, $a_1\ne0$ 이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.

정답

$97$

풀이

작은 항부터 써서 조건의 위치를 본다

첫째항과 공차를 모두 $d$ 라고 두면 $a_1=d$ , $a_2=2d$ , $a_3=3d$ 이다. 따라서 전체 등차수열은

a_n=nd

로 정리된다. 문제에서 $a_1\ne0$ 이므로 $d\ne0$ 이다.

이제 조건

b_{k+i}=\frac1{a_i}-1\qquad(i=1,2,3)

에 $i=1,2,3$ 을 넣으면 $b_{k+1}$ , $b_{k+2}$ , $b_{k+3}$ 이 차례로 나온다. 즉 등비수열 안의 연속한 세 항이 한꺼번에 주어진다.

첫째항과 공차가 모두 d일 때 a_1=d, a_2=2d, a_3=3d가 되고, i=1,2,3 조건이 b_{k+1}, b_{k+2}, b_{k+3}이라는 연속한 세 등비항을 만드는 구조 표. — 등차수열 조건과 i=1,2,3 조건을 작은 항 표로 먼저 구조화한다.

연속한 세 등비항으로 d를 구한다

$a_i=id$ 를 대입하면 세 항은 다음과 같다.

b_{k+1}=\frac1d-1,\quad b_{k+2}=\frac1{2d}-1,\quad b_{k+3}=\frac1{3d}-1

이 세 항이 등비수열의 연속한 세 항이므로 가운데 항의 제곱과 양옆 항의 곱이 같다.

\left(\frac1{2d}-1\right)^2 =\left(\frac1d-1\right)\left(\frac1{3d}-1\right)

정리하면 아래 식을 얻는다.

\frac1{4d^2}-\frac1d+1 =\frac1{3d^2}-\frac4{3d}+1, \qquad \frac1{12d^2}=\frac1{3d}

$d\ne0$ 이므로 양변에 $12d^2$ 을 곱할 수 있고, $1=4d$ 에서 다음 값을 얻는다.

d=\frac14

따라서 수열 $a_n$ 은 다음과 같다.

a_n=\frac n4

다시 세 항에 넣으면 아래와 같다.

b_{k+1}=3,\qquad b_{k+2}=1,\qquad b_{k+3}=\frac13

그러므로 등비수열 $\{b_n\}$ 의 공비는 $\frac13$ 이다.

연속 세 등비항 조건을 전개해 1/(12d^2)=1/(3d)를 얻고 d=1/4, b_{k+1}=3, b_{k+2}=1, b_{k+3}=1/3, 공비 1/3을 확정하는 계산 압축 필기. — 연속한 세 등비항 조건 하나로 d와 공비가 확정된다.

부등식은 b1의 후보를 거르는 조건이다

여기까지는 $a_n$ 의 모양과 $\{b_n\}$ 의 공비를 정한 단계이다. 아직 $k$ 는 정해지지 않았다. $k$ 는 세 항 $3,1,\frac13$ 이 등비수열 안에서 어디에 놓이는지를 나타내는 위치 정보이다.

$b_{k+1}=3$ 이고 공비가 $\frac13$ 이므로, 한 칸 앞으로 거슬러 올라갈 때마다 $3$ 을 곱한다. $b_{k+1}$ 에서 $b_1$ 까지는 $k$ 칸을 거슬러 올라가므로 다음과 같다.

b_1=3\cdot3^k=3^{k+1}

$k$ 가 자연수이므로 가능한 $b_1$ 의 값은 $9,27,81,\cdots$ 처럼 $3^2$ 부터 시작한다.

이제 부등식을 $b_1$ 의 범위로 바꾼다. 먼저 $a_n=\frac n4$ 이므로

\frac1{a_na_{n+1}}=\frac{16}{n(n+1)}

망원급수에 의해 다음 합을 얻는다.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_na_{n+1}}=16

또 $\{b_n\}$ 은 첫째항 $b_1$ , 공비 $\frac13$ 인 등비수열이므로 합은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^{\infty}b_n =\frac{b_1}{1-\frac13} =\frac32 b_1

따라서 원래 부등식은 아래와 같이 바뀐다.

0<\frac32 b_1-16<30

이를 정리하면 다음과 같다.

\frac{32}{3}<b_1<\frac{92}{3}

공비 1/3인 등비수열에서 b_{k+1}=3을 기준으로 앞쪽으로 갈 때마다 3을 곱해 b_1=3^{k+1}이 되고, 부등식 범위 안의 3의 거듭제곱 후보가 27뿐임을 보여 주는 수직선 필터. — b1은 3의 거듭제곱 후보이고, 부등식 범위 안에는 27만 남는다.

범위와 거듭제곱 후보를 비교하면 다음과 같다.

9<\frac{32}{3}<27<\frac{92}{3}<81

따라서 조건을 만족하는 첫째항은 $b_1=27$ 뿐이다. 이때 $b_1=3^{k+1}=3^3$ 이므로 $k=2$ 이다.

짝수 번째 항만 모아 새 등비급수로 계산한다

문제의 최종 목표는 전체 등비급수가 아니라 $a_2\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}$ 이다. 이미 $b_1=27$ 이고 공비가 $\frac13$ 이므로 $b_2=9$ 이다.

짝수 번째 항만 모으면 $b_2,b_4,b_6,\cdots$ 가 된다. 두 칸씩 건너뛰므로 새 공비는 $\frac13$ 이 아니라 $\left(\frac13\right)^2=\frac19$ 이다.

b_1=27, b_2=9, b_3=3, b_4=1 흐름에서 짝수항 b_2,b_4,b_6만 선택하면 첫항 9, 공비 1/9인 등비급수가 되어 합 81/8과 최종값 81/16이 나오는 필기. — 짝수항만 뽑으면 첫항 9, 공비 1/9인 새 등비급수가 된다.

따라서 짝수 번째 항들의 합은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n} =\frac9{1-\frac19} =\frac{81}{8}

또한 $a_2=\frac24=\frac12$ 이므로 최종 곱은 다음과 같다.

a_2\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n} =\frac12\cdot\frac{81}{8} =\frac{81}{16}

문제에서 이 값을 $\frac qp$ 라고 했고 $p,q$ 는 서로소인 자연수이므로 $q=81$ , $p=16$ 이다. 따라서 $p+q=97$ 이다.

원래 조건으로 빠르게 확인한다

$d=\frac14$ , $k=2$ 이면 $a_1=\frac14$ , $a_2=\frac12$ , $a_3=\frac34$ 이다. 따라서

\frac1{a_1}-1=3,\qquad \frac1{a_2}-1=1,\qquad \frac1{a_3}-1=\frac13

이고, 실제로 $b_3=3$ , $b_4=1$ , $b_5=\frac13$ 이 되어 첫 조건과 일치한다.

또

\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\frac32\cdot27=\frac{81}{2}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_na_{n+1}}=16

이므로 차는 다음과 같다.

\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n-\frac1{a_na_{n+1}}\right) =\frac{81}{2}-16 =\frac{49}{2}

$0<\frac{49}{2}<30$ 이므로 부등식도 만족한다.