주사위 눈이 a 이하이면 동전을 5번 던지고, a보다 크면 동전을 3번 던진다 X는 19200번 반복 중 기록값이 3인 시행의 횟수이다 E(X)=4800이므로 먼저 a를 결정해야 한다 표준정규분포표는 P(0<=Z<=z)를 제공한다

수능 확률과 통계 29번 4점 일반

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 확률과 통계 29번 풀이 | 이항분포와 정규근사

정답

977

핵심 요약

한 시행에서 기록값이 3일 확률을 p=(a+4)/32로 구하고, E(X)=4800에서 a=4를 확정한다. 이후 X를 B(19200,1/4)로 보아 z=2.0을 읽으면 k=0.977이다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

0 / 300

들어가기 앞서…

이 문제에서 $X$ 는 동전을 던졌을 때 나온 앞면의 횟수 자체가 아니다. $X$ 는 19200번 반복 중에서 기록값이 $3$ 인 시행의 횟수이다. 그래서 먼저 한 번의 시행을 성공과 실패로 바꾸어 보고, 그 성공확률을 구해야 한다.

평균 조건 $E(X)=4800$ 은 최종 확률값을 바로 주는 조건이 아니라, 성공확률 안에 들어 있는 $a$ 를 정하는 조건이다. $a$ 가 정해진 뒤에야 정규근사를 적용할 수 있다.

문제

문제 텍스트 주관식

$6$ 이하의 자연수 $a$ 에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $a$ 보다 작거나 같으면 동전을 $5$ 번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고, 나온 눈의 수가 $a$ 보다 크면 동전을 $3$ 번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.

이 시행을 $19200$ 번 반복하여 기록한 수가 $3$ 인 횟수를 확률변수 $X$ 라 하자. $E(X)=4800$ 일 때,

P(X\le4800+30a)

의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$ 이다. $1000\times k$ 의 값을 구하시오.

$z$	$P(0\le Z\le z)$
$0.5$	$0.191$
$1.0$	$0.341$
$1.5$	$0.433$
$2.0$	$0.477$
$2.5$	$0.494$
$3.0$	$0.499$

정답

$977$

풀이

한 시행에서 기록값 3이 되는 경우를 먼저 나눈다

$19200$ 번 반복이라는 말이 먼저 눈에 들어오지만, 처음부터 전체 반복을 계산할 필요는 없다. $X$ 는 반복 전체에서 기록값이 $3$ 인 횟수이므로, 먼저 한 시행에서 기록값 $3$ 이 나오는 경우만 나누면 된다.

주사위 눈이 $a$ 이하이면 동전을 $5$ 번 던지고, $a$ 보다 크면 동전을 $3$ 번 던진다. 따라서 기록값 $3$ 이 성공이 되는 경로는 두 가지다.

주사위 눈	동전 던지는 횟수	기록값이 $3$ 일 확률
$a$ 이하	$5$ 번	$\binom{5}{3}\left(\frac12\right)^5=\frac{10}{32}$
$a$ 초과	$3$ 번	$\left(\frac12\right)^3=\frac18=\frac{4}{32}$

이 분기를 그림으로 정리하면 다음과 같다.

한 시행에서 주사위가 a 이하이면 동전 5번으로 앞면 3번 확률 10/32, a 초과이면 동전 3번으로 앞면 3번 확률 4/32가 되어 성공확률 p=(a+4)/32로 합쳐지는 분기 그림. — 한 시행에서 기록값 3이 되는 두 경로를 성공확률 하나로 묶는다.

주사위 눈이 $a$ 이하일 확률은 $\frac a6$ 이고, $a$ 보다 클 확률은 $\frac{6-a}{6}$ 이다. 한 시행에서 기록값이 $3$ 일 확률을 $p$ 라 하면 다음과 같다.

\begin{aligned} p &=\frac a6\cdot\frac{10}{32}+\frac{6-a}{6}\cdot\frac{4}{32}\\ &=\frac{a+4}{32} \end{aligned}

따라서 $X$ 는 성공확률이 $\frac{a+4}{32}$ 인 이항분포를 따른다.

X\sim B\left(19200,\frac{a+4}{32}\right)

평균 조건으로 a를 먼저 확정한다

최종적으로 구해야 할 식은 $P(X\le4800+30a)$ 이다. 이 확률을 계산하기 전에, 평균 조건으로 $a$ 부터 정한다.

이항분포의 평균은 $np$ 이므로 $E(X)=4800$ 에서 아래 식을 얻는다.

19200\cdot\frac{a+4}{32}=4800

$19200\div32=600$ 이므로 $600(a+4)=4800$ 이고, 따라서 $a+4=8$ , $a=4$ 이다. 구한 $a=4$ 는 $6$ 이하의 자연수 조건에도 맞다.

이제 문제는 $a$ 가 들어 있는 확률 문제가 아니라, 성공확률이 $\frac14$ 인 이항분포 문제로 정리된다.

X\sim B\left(19200,\frac14\right)

정규근사에 필요한 평균과 표준편차를 계산한다

시행 횟수 $19200$ 이 충분히 크고 문제에서 표준정규분포표를 주었으므로, 이항분포를 정규분포로 근사해 읽는다.

평균은 이미 $E(X)=4800$ 이다. 분산은 다음과 같다.

V(X)=19200\cdot\frac14\cdot\frac34=3600

따라서 표준편차는 $\sigma(X)=60$ 이고, $X$ 는 근사적으로 $N(4800,60^2)$ 을 따른다고 볼 수 있다.

구하려는 경계에는 $a=4$ 를 대입한다. 즉 $4800+30a=4800+120=4920$ 이므로 $P(X\le4920)$ 를 구하면 된다.

a=4에서 X가 이항분포 B(19200,1/4)를 따르고 표준편차가 60이며, 정규근사에서 경계 4920이 평균 4800보다 2표준편차 오른쪽에 있어 P(X≤4920)을 P(Z≤2.0)으로 읽는 계산 필기. — 평균 4800에서 경계 4920까지의 거리는 표준편차 2개이다.

표준정규분포표를 왼쪽 누적확률로 바꾸어 읽는다

경계값 $4920$ 은 평균 $4800$ 보다 $120$ 만큼 크고, 표준편차는 $60$ 이다. 표준화하면 아래와 같다.

z=\frac{4920-4800}{60}=2

따라서 $P(X\le4920)\approx P(Z\le2.0)$ 이다.

표준정규분포표는 $P(0\le Z\le z)$ 를 주고 있다. 표에서 $P(0\le Z\le2.0)=0.477$ 이므로, 왼쪽 절반의 넓이 $0.5$ 를 더해야 한다.

P(Z\le2.0)=0.5+0.477=0.977

따라서 $k=0.977$ 이고, $1000k=977$ 이다.

다시 풀 때는 X의 의미부터 확인한다

이 문제의 첫 분기점은 $X$ 의 의미다. $X$ 를 동전 앞면의 횟수로 보면 안 되고, 기록값이 $3$ 인 시행의 횟수로 보아야 한다.

그다음에는 한 시행의 성공확률 $p$ 를 만들고, $E(X)=np$ 로 $a$ 를 확정한다. 마지막으로 표준편차를 계산해 경계값을 표준화하면 된다. 표가 $0$ 부터 $z$ 까지의 넓이를 주기 때문에, 마지막에는 $0.477$ 에 $0.5$ 를 더해 누적확률로 바꾸는 것도 잊지 않아야 한다.