2026학년도 수능 확률과 통계 28번 풀이 | 조건부확률과 델타 추적

들어가기 앞서…

이 문제는 여섯 상자의 공 개수를 모두 추적하는 문제가 아니다. 최종 조건에 필요한 값은 전체 공 수의 홀짝과 $3$번 상자와 $2$번 상자의 개수 차이뿐이다.

문제의 $16$개 공은 네 번 모두 $6$이 나와도 시행에 필요한 공이 충분하다는 조건이다. 실제 확률 계산에서는 각 시행에서 몇 개가 들어가는지의 홀짝과 두 상자의 차이만 남기면 된다.

문제

정답

②

풀이

한 시행에서 바뀌는 두 값만 적는다

끝까지 필요한 정보는 두 가지다. 하나는 네 번 시행한 뒤 모든 공의 개수 합이 홀수인지이고, 다른 하나는 $3$번 상자의 공 개수가 $2$번 상자보다 정확히 $1$개 많은지이다.

그래서

로 두고, 주사위 눈 하나가 만드는 변화를 정리한다.

여기서 눈의 홀짝만 보면 안 된다. 눈 $4$는 짝수 눈이지만 공이 $3$개 들어가므로 전체 공 수에는 홀수 역할을 한다. 눈 $6$은 $2$번과 $3$번 상자에 모두 공이 들어가므로 두 상자의 차이를 바꾸지 않는다.

같은 역할을 하는 눈끼리 묶는다

이제 실제 눈을 그대로 들고 가기보다, 조건에 대해 같은 역할을 하는 것끼리 묶는다. 조건부확률에서는 이때 실제 눈이 몇 개인지도 같이 남겨야 한다.

이 표를 만들면 문제는 상자 여섯 개의 공 개수 문제가 아니라 네 글자 $A,B,C,D$의 배열 문제가 된다.

전체 공 수가 홀수라는 조건은 $A,B$가 나온 횟수가 홀수라는 뜻이다. 네 번 시행하므로 그 횟수는 $1$번 또는 $3$번이다. 또한 $3$번 상자가 $2$번보다 $1$개 많다는 조건은 네 번의 $\Delta$ 합이 $1$이라는 뜻이다.

조건부확률의 분모부터 센다

조건부확률이므로 분모는 전체 경우 $6^4$가 아니다. 먼저 전체 공 수가 홀수인 시행열만 세야 한다.

한 번의 시행에서 전체 공 수를 홀수로 만드는 눈은 $1,3,4,5$로 $4$개이고, 짝수로 만드는 눈은 $2,6$으로 $2$개이다. 네 번 중 홀수 역할 시행이 $1$번 또는 $3$번이면 전체 합이 홀수이다.

조건 사건의 경우의 수는 다음과 같다.

따라서 분모는 $640$이다. 남은 일은 이 $640$가지 안에서 $\Delta$ 합이 $1$이 되는 배열만 고르는 것이다.

홀수 역할이 한 번인 경우를 센다

먼저 $A$ 또는 $B$가 한 번만 나오는 경우를 본다. 나머지 세 번은 $C$ 또는 $D$이다.

목표는 $\Delta$ 합이 $1$이 되는 것이다. 한 번 나온 홀수 역할이 $A$라면 이미 $\Delta=+1$을 만들었다. 그러면 나머지 세 번에서는 이 차이를 깎으면 안 된다. $C$는 $\Delta=-1$이고 $D$는 $\Delta=0$이므로, 나머지 세 번은 모두 $D$여야 한다.

가능한 구조는 $A,D,D,D$이다. $A$의 위치는 $4$가지이고, $A$에 해당하는 실제 눈은 $1,3,5$의 $3$가지이므로 경우의 수는 다음과 같다.

반대로 한 번 나온 홀수 역할이 $B$라면 처음부터 $\Delta=-1$이다. 나머지 $C,D$는 $\Delta$를 올릴 수 없으므로 합을 $1$로 만들 수 없다.

홀수 역할이 세 번인 경우를 센다

이번에는 $A$ 또는 $B$가 세 번 나오고, $C$ 또는 $D$가 한 번 나오는 경우이다. 여기서 짝수 역할이 $D$인지 $C$인지에 따라 가능성이 갈린다.

짝수 역할이 $D$이면 $\Delta$에 영향을 주지 않는다. 그러면 세 번의 홀수 역할만으로 $\Delta$ 합이 $1$이어야 한다. $A$는 $+1$, $B$는 $-1$이므로 세 번 중 $A$가 두 번, $B$가 한 번이면 $+1+1-1=1$이다.

가능한 구조는 $A,A,B,D$이다. 네 자리에 $A,A,B,D$를 배열하는 경우는 $\frac{4!}{2!1!1!}=12$가지이고, 두 번 나오는 $A$는 각각 실제 눈 $1,3,5$ 중 하나가 될 수 있다. 따라서 이 경우의 수는 다음과 같다.

짝수 역할이 $C$이면 $\Delta=-1$이 추가된다. 전체 합이 $1$이 되려면 세 번의 홀수 역할에서 합이 $2$가 되어야 한다. 하지만 $+1$과 $-1$ 세 개를 더해서 만들 수 있는 값은 $3,1,-1,-3$뿐이므로 $2$는 불가능하다.

살아남은 두 구조를 더한다

조건을 만족하는 구조는 결국 두 가지이다.

• $A,D,D,D$: 경우의 수 $12$
• $A,A,B,D$: 경우의 수 $108$

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 $12+108=120$이다. 구하는 조건부확률은 다음과 같다.

따라서 정답은 ② $\dfrac{3}{16}$이다.

원래 주사위 눈으로 돌아가 확인한다

$A,D,D,D$는 원래 눈으로 보면 홀수 눈이 $1$번, 눈 $6$이 $3$번 나온 경우이다. 이때 전체 공 수는 홀수이고, $3$번 상자만 $2$번 상자보다 $1$개 더 많아진다.

$A,A,B,D$는 원래 눈으로 보면 홀수 눈이 $2$번, 눈 $4$가 $1$번, 눈 $6$이 $1$번 나온 경우이다. 홀수 눈 두 번이 차이를 $+2$로 만들고, 눈 $4$가 차이를 $1$만큼 줄이며, 눈 $6$은 차이를 바꾸지 않는다. 그래서 최종 차이는 $1$이다.

눈 $2$가 들어가는 경우는 차이를 $-1$만큼 줄이면서도 이를 다시 올려 줄 시행이 부족해진다. 그래서 분자에는 남지 않는다.

다시 풀 때는 필요한 값만 남긴다

확률 문제에서 시행 규칙이 복잡해 보이면, 모든 결과를 그대로 들고 가지 말고 최종 조건에 필요한 값만 골라 추적한다. 이 문제에서는 전체 공 수의 홀짝과 $3$번 상자 $-$ $2$번 상자만 남기면 충분했다.

조건부확률에서는 분모를 먼저 조심해야 한다. 전체 경우 $6^4$가 아니라, 조건 사건인 전체 공 수가 홀수인 경우 $640$이 분모이다.

마지막으로 기호로 묶은 뒤에는 실제 눈의 개수를 잊지 않아야 한다. $A$는 하나의 기호이지만 실제로는 $1,3,5$의 세 가지이므로, $A$가 두 번 나오면 $3^2$이 곱해진다.