A(a,b)를 y=x에 대하여 대칭한 점은 C=(b,a)이다 C가 직선 OB 위에 있으므로 B는 C와 같은 원점 반직선 위의 점이다 A가 로그 곡선 위에 있다는 식 16^b=8a+2에서 2C=(2b,2a)가 지수 곡선 위에 있음을 확인한다 원점 양의 반직선은 y=4^(x-1)-1/2와 제1사분면에서 많아야 한 번 만난다 중점 조건은 a+2b=77/4, 2a+b=133/4로 바뀐다

수능 수학 22번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 수학 22번 풀이 | 로그 지수 대칭과 중점 조건

정답

457

핵심 요약

대칭점 C=(b,a)가 OB 위에 있다는 조건을 B=tC로 바꾸고, 첫 곡선 조건에서 2C가 두 번째 곡선 위에 있음을 보여 B=2C로 확정한 뒤 중점 조건으로 a,b를 구한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

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들어가기 앞서…

이 문제는 로그식과 지수식을 길게 연립해서 푸는 문제가 아니다. 먼저 $A(a,b)$ 를 $y=x$ 에 대하여 대칭한 점을 적고, 그 점이 원점에서 어떤 배수 관계를 만드는지 읽어야 한다.

핵심은 대칭점 $C=(b,a)$ 를 두 배 한 점 $2C$ 가 두 번째 곡선 위에 놓인다는 사실이다. 그 뒤에는 중점 조건이 짧은 연립일차방정식으로 내려간다.

문제

문제 텍스트 주관식

곡선

y=\log_{16}(8x+2)

위의 점 $A(a,b)$ 와 곡선

y=4^{x-1}-\frac12

위의 점 $B$ 가 제1사분면에 있다. 점 $A$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점이 직선 $OB$ 위에 있고 선분 $AB$ 의 중점의 좌표가

\left(\frac{77}{8},\frac{133}{8}\right)

일 때,

a\times b=\frac{q}{p}

이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. 단, $O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.

정답

$457$

풀이

대칭한 점을 원점 기준 배수 관계로 읽는다

$A(a,b)$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭하면 좌표가 서로 바뀐다. 대칭한 점을 $C$ 라 두면 $C=(b,a)$ 이다.

문제에서 이 점 $C$ 가 직선 $OB$ 위에 있다고 했다. $A$ 와 $B$ 가 제1사분면에 있으므로 $C$ 도 제1사분면에 있고, $C$ 와 $B$ 는 원점에서 같은 방향의 반직선 위에 있다. 따라서 아직 배수는 모르지만 다음과 같이 둘 수 있다.

B=tC=(tb,ta)\qquad(t>0)

이제 할 일은 두 곡선 조건이 이 배수 $t$ 를 정해 주는지 확인하는 것이다.

두 곡선 식을 같은 모양으로 바꾼다

첫 번째 곡선은 로그식이므로 $A=(a,b)$ 를 대입하면 $16^b=8a+2$ 이다. 이 식을 두 번째 곡선에 맞춰 보자.

대칭점 $C=(b,a)$ 를 두 배 한 점은 $2C=(2b,2a)$ 이다. 이 점의 $x$ 좌표 $2b$ 를 두 번째 곡선에 넣으면 다음과 같다.

4^{2b-1}-\frac12 =\frac{16^b}{4}-\frac12 =\frac{8a+2}{4}-\frac12 =2a

따라서 $2C=(2b,2a)$ 는 두 번째 곡선 위의 점이다. 즉 $B$ 가 될 강한 후보는 $2C$ 이다.

A(a,b)를 y=x에 대칭한 C(b,a), 같은 원점 반직선 위의 B=tC, 그리고 2C=(2b,2a)가 두 번째 곡선 위에 놓이는 관계를 정리한 필기. — 대칭점과 원점 배수 관계를 잡으면 2C가 두 번째 곡선 위에 있음을 볼 수 있다.

같은 반직선의 다른 교점 가능성을 지운다

$2C$ 가 두 번째 곡선 위에 있다는 사실만으로는 아직 $B=2C$ 라고 확정할 수 없다. 같은 원점 반직선이 두 번째 곡선과 제1사분면에서 두 번 만난다면, 다른 점이 $B$ 가 될 수도 있기 때문이다.

이미 $2C$ 가 한 교점이라는 사실은 찾았으므로, 이제는 같은 원점 반직선 위에서 다른 교점이 생길 수 있는지만 확인하면 된다. 원점 반직선을 $y=mx$ 라 하고

f(x)=4^{x-1}-\frac12

라고 두자. $f(0)=-\frac14$ 이므로 그래프는 원점보다 아래에서 시작한다.

만약 $y=mx$ 와 $f(x)$ 가 서로 다른 두 양수 $x_1<x_2$ 에서 만난다고 가정하자. 그러면 $F(x)=f(x)-mx$ 는 $F(0)<0$ , $F(x_1)=F(x_2)=0$ 을 만족한다. 그런데 $F$ 는 아래로 볼록한 함수이므로, 볼록함수의 할선 기울기는 오른쪽으로 갈수록 커져야 한다.

하지만 $[0,x_1]$ 에서의 할선 기울기는 양수이고, $[x_1,x_2]$ 에서의 할선 기울기는 $0$ 이다. 이는 볼록함수의 기울기 증가 성질과 맞지 않는다. 따라서 원점에서 출발하는 양의 반직선은 두 번째 곡선과 제1사분면에서 많아야 한 번 만난다.

원점 O=(0,0)을 지나는 직선 y=mx와 지수 그래프 y=4^{x-1}-1/2가 제1사분면에서 2C=(2b,2a) 하나에서만 교차해 B=2C가 확정되는 그래프. — 같은 원점 반직선 위의 두 번째 곡선 교점은 제1사분면에서 하나뿐이다.

이미 그 하나의 교점이 $2C$ 임을 찾았으므로 $B$ 의 좌표는 다음과 같다.

B=2C=(2b,2a)

중점 조건은 좌표 합으로 바뀐다

이제 $B$ 의 좌표가 $a,b$ 로 표현되었다. 선분 $AB$ 의 중점이 $\left(\frac{77}{8},\frac{133}{8}\right)$ 이므로 두 끝점의 좌표 합은 다음과 같다.

A+B=\left(\frac{77}{4},\frac{133}{4}\right)

$A=(a,b)$ , $B=(2b,2a)$ 를 대입하면

(a+2b,\ b+2a)=\left(\frac{77}{4},\frac{133}{4}\right)

이므로 다음 연립방정식을 얻는다.

a+2b=\frac{77}{4},\qquad 2a+b=\frac{133}{4}

남은 연립방정식만 풀면 된다

첫째 식을 두 배 한 뒤 둘째 식을 빼면 $3b=\frac{77}{2}-\frac{133}{4}=\frac{21}{4}$ 이므로 $b=\frac74$ 이다.

다시 $a+2b=\frac{77}{4}$ 에 넣으면 $a=\frac{77}{4}-2\cdot\frac74=\frac{63}{4}$ 이다.

따라서

a\times b =\frac{63}{4}\cdot\frac74 =\frac{441}{16}

이므로 $p=16$ , $q=441$ 이다. 구하는 값은 $p+q=457$ 이다.

원래 조건에 다시 넣어 확인한다

구한 점은 $A=\left(\frac{63}{4},\frac74\right)$ 이다. 첫 번째 곡선 조건은 $8a+2=128$ , $16^b=16^{7/4}=128$ 로 맞다.

또 $B=(2b,2a)=\left(\frac72,\frac{63}{2}\right)$ 이고, 두 번째 곡선에 넣으면 아래와 같다.

4^{\frac72-1}-\frac12 =4^{5/2}-\frac12 =32-\frac12 =\frac{63}{2}

중점도

\left( \frac{\frac{63}{4}+\frac72}{2}, \frac{\frac74+\frac{63}{2}}{2} \right) =\left(\frac{77}{8},\frac{133}{8}\right)

으로 문제의 조건과 일치한다. 마지막으로 $A$ 의 대칭점은 $C=\left(\frac74,\frac{63}{4}\right)$ 이고 $B=2C$ 이므로, 대칭점은 직선 $OB$ 위에 있다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

로그함수와 지수함수가 함께 나오면 먼저 식을 같은 모양으로 바꾸어 본다. 이 문제에서는 $A$ 가 첫 번째 곡선 위에 있다는 조건이 $16^b=8a+2$ 가 되고, 이것이 $2C=(2b,2a)$ 를 두 번째 곡선 위에 올려 준다.

또 “대칭한 점이 직선 $OB$ 위에 있다”는 말은 좌표를 바꾼 뒤 원점 기준의 배수 관계로 읽는 조건이다. 이 배수 관계와 두 곡선의 맞물림을 결합하면 $B=2C$ 가 나오고, 이후에는 중점 조건만 풀면 된다.

주의할 점은 $C=(b,a)$ 자체가 두 번째 곡선 위에 있는 것이 아니라는 점이다. 두 번째 곡선 위에 자동으로 올라가는 점은 $2C$ 이다.