최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 f(1)=f(2)=0, f'(0)=-7을 만족한다 P=(3,f(3))이고 선분 OP가 곡선 y=f(x)와 만나는 P가 아닌 점을 Q라 한다 A는 곡선 y=f(x), y축, 선분 OQ로 둘러싸인 넓이이다 B는 곡선 y=f(x)와 선분 PQ로 둘러싸인 넓이이다 B-A에서는 Q의 정확한 좌표보다 두 넓이를 하나의 적분으로 합치는 구조가 핵심이다

2025학년도 수능 수학 13번 풀이 | 정적분과 두 넓이의 차 [251113]

들어가기 앞서…

이 문제는 교점 $Q$ $Q$의 좌표를 끝까지 구하는 문제가 아니다.
먼저 두 근 조건으로 삼차함수를 빠르게 정하고, 선분 $OP$ $OP$를 직선 $y=4x$ $y=4x$의 한 구간으로 읽으면 된다.

핵심은 넓이 $A$ $A$, $B$ $B$를 각각 계산하는 데 있지 않다.
두 영역이 같은 두 그래프 사이에서 $Q$ $Q$를 기준으로 나뉘므로, 넓이의 차에서 중간 경계 $q$ $q$가 사라지는지를 보는 것이 계산을 줄인다.

문제

문제 텍스트 객관식

최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$가

f(1)=f(2)=0,\qquad f'(0)=-7

을 만족시킨다. 원점 $O$ $O$와 점 $P(3,f(3))$ $P(3,f(3))$에 대하여 선분 $OP$ $OP$가 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 만나는 점 중 $P$ $P$가 아닌 점을 $Q$ $Q$라 하자.

곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 $y$ $y$축 및 선분 $OQ$ $OQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$ $A$, 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 선분 $PQ$ $PQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ $B$라 할 때, $B-A$ $B-A$의 값은?

① $\frac{37}{4}$ $\frac{37}{4}$
② $\frac{39}{4}$ $\frac{39}{4}$
③ $\frac{41}{4}$ $\frac{41}{4}$
④ $\frac{43}{4}$ $\frac{43}{4}$
⑤ $\frac{45}{4}$ $\frac{45}{4}$

정답

⑤

풀이

먼저 보이는 두 근을 적는다

조건 $f(1)=f(2)=0$ $f(1)=f(2)=0$을 보면 $x=1$ $x=1$, $x=2$ $x=2$가 근이다.
최고차항의 계수가 $1$ $1$이므로 남은 한 근을 $k$ $k$라고 두면 함수는 다음처럼 쓸 수 있다.

f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)

여기서 $f'(0)=-7$ $f'(0)=-7$은 남은 근 $k$ $k$를 정하는 조건이다.
전개해서 미분해도 되지만, $x=0$ $x=0$에서의 미분값만 필요하므로 곱의 미분을 바로 대입한다.

f(1)=f(2)=0에서 f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)로 두고 f'(0)=3k+2=-7을 풀어 k=-3, f(x)=x^3-7x+6을 얻는 계산. — 두 근 조건에서 삼차함수를 인수 형태로 세우고 남은 근을 구한다.

곱의 미분을 쓰면 다음과 같다.

f'(x)=(x-2)(x-k)+(x-1)(x-k)+(x-1)(x-2)

$x=0$ $x=0$을 대입하면 $f'(0)=2k+k+2=3k+2$ $f'(0)=2k+k+2=3k+2$이다.
따라서 $3k+2=-7$ $3k+2=-7$이므로 $k=-3$ $k=-3$이다.

결국 함수는 다음과 같이 정해진다.

f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)=x^3-7x+6

삼차함수에서 근 두 개와 최고차항의 계수가 함께 주어지면 일반형보다 인수분해 형태로 시작하는 편이 자유도를 가장 빨리 줄인다.

선분 OP를 직선과 구간으로 읽는다

이제 점 $P$ $P$를 확인한다.
$f(3)=27-21+6=12$ $f(3)=27-21+6=12$이므로 $P=(3,12)$ $P=(3,12)$이다.
원점과 $P$ $P$를 잇는 선분 $OP$ $OP$는 직선 $y=4x$ $y=4x$ 위의 $0\le x\le3$ $0\le x\le3$ 부분이다.

따라서 비교해야 할 두 그래프는 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 $y=4x$ $y=4x$이다.
$Q$ $Q$의 $x$ $x$좌표를 $q$ $q$라고 두면 $Q=(q,4q)$ $Q=(q,4q)$이고, 선분 위의 점이므로 $0<q<3$ $0<q<3$이다.

위아래 관계도 확인해야 한다.
$x=0$ $x=0$에서는 $f(0)=6$ $f(0)=6$이고 $4x=0$ $4x=0$이므로 곡선이 위에 있다.
반면 $x=2$ $x=2$에서는 $f(2)=0$ $f(2)=0$이고 $4x=8$ $4x=8$이므로 직선이 위에 있다.

또 $P=(3,12)$ $P=(3,12)$가 두 그래프의 공통점이므로 $x=3$ $x=3$은 $f(x)-4x$ $f(x)-4x$의 근이다.
실제로 정리하면 다음과 같다.

f(x)-4x=x^3-11x+6=(x-3)(x^2+3x-2)

$x^2+3x-2$ $x^2+3x-2$는 양의 근 하나와 음의 근 하나를 가지므로, $0\le x\le3$ $0\le x\le3$에서 교점은 $x=q$ $x=q$와 $x=3$ $x=3$뿐이다.
따라서 $0\le x\le q$ $0\le x\le q$에서는 곡선이 위, $q\le x\le3$ $q\le x\le3$에서는 직선이 위라는 구조가 중간에 다시 바뀌지 않는다.

A와 B를 따로 계산하지 않는다

넓이를 식으로 바꾸면 $0\le x\le q$ $0\le x\le q$에서는 곡선이 직선보다 위에 있으므로 다음과 같다.

A=\int_0^q \{f(x)-4x\}\,dx

$q\le x\le3$ $q\le x\le3$에서는 선분 $PQ$ $PQ$가 놓인 직선 $y=4x$ $y=4x$가 곡선보다 위에 있다.

B=\int_q^3 \{4x-f(x)\}\,dx

A=∫_0^q(f-4x)dx, B=∫_q^3(4x-f)dx를 빼면 중간 경계 q가 사라져 B-A=∫_0^3(4x-f)dx가 되는 넓이 결합. — A와 B를 따로 구하지 않고 B-A에서 중간 경계 q를 없앤다.

여기서 바로 $A$ $A$, $B$ $B$를 각각 계산하지 않는다.
물어보는 값은 $B-A$ $B-A$이고, 두 넓이는 같은 두 그래프 사이에서 $Q$ $Q$를 기준으로 나뉜 것이다.
두 식을 빼면 다음처럼 중간 경계 $q$ $q$가 최종 구간 안으로 흡수된다.

\begin{aligned} B-A &=\int_q^3 \{4x-f(x)\}\,dx-\int_0^q \{f(x)-4x\}\,dx\\ &=\int_q^3 \{4x-f(x)\}\,dx+\int_0^q \{4x-f(x)\}\,dx\\ &=\int_0^3 \{4x-f(x)\}\,dx \end{aligned}

따라서 $Q$ $Q$의 정확한 좌표는 필요하지 않다.

마지막 적분만 수행한다

$f(x)=x^3-7x+6$ $f(x)=x^3-7x+6$이므로 적분할 함수는 다음과 같다.

4x-f(x)=-x^3+11x-6

이제 $0$ $0$부터 $3$ $3$까지 적분한다.

\begin{aligned} B-A &=\int_0^3(-x^3+11x-6)\,dx\\ &=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{11x^2}{2}-6x\right]_0^3\\ &=-\frac{81}{4}+\frac{99}{2}-18\\ &=\frac{45}{4} \end{aligned}

따라서 $B-A=\frac{45}{4}$ $B-A=\frac{45}{4}$이고, 정답은 ⑤이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

삼차함수에서 근 조건과 최고차항의 계수가 함께 나오면 먼저 인수 형태를 잡는다.
이 문제에서는 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)$ $f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)$가 가장 짧은 출발점이다.

선분이 나오면 직선의 방정식뿐 아니라 그 직선의 구간도 함께 읽어야 한다.
여기서는 선분 $OP$ $OP$가 $y=4x$ $y=4x$의 $0\le x\le3$ $0\le x\le3$ 부분이다.

마지막으로 두 넓이가 같은 두 그래프 사이에서 한 교점을 기준으로 나뉘면, 좌표를 구하기 전에 넓이의 합이나 차에서 경계점이 사라지는지 확인한다.
이 판단 때문에 $Q$ $Q$의 좌표를 구하지 않고도 $B-A$ $B-A$를 바로 계산할 수 있다.

문항코드: 251113