2026학년도 수능 수학 21번 풀이 | 조각함수의 연속성과 우극한 부호

들어가기 앞서…

삼차함수의 일반형을 바로 전개하면 계산이 넓어진다. 이 문제는 먼저 분모가 0이 되는 자리와 조각이 바뀌는 자리를 표시해서 함수의 근을 좁히는 것이 출발점이다.

조건 (나)의 집합도 값을 곧장 계산하기보다, 먼저 “서로 다른 두 자연수”라는 사실을 읽어야 한다. 이 부호 정보가 $m=1$을 제외하고 $t$의 후보를 줄이는 핵심 단서가 된다.

문제

정답

$65$

풀이

분모의 위험점과 연속 조건으로 f의 근을 잡는다

먼저 $\frac{g(x)}{x(x-2)}$의 분모를 본다. 분모 $x(x-2)$는 $x=0,2$에서만 $0$이 된다. $a\ne0,2$에서는 분모가 $0$이 아니므로 오른쪽 극한이 자연스럽게 존재한다.

따라서 조건 (가)는 $x=0,2$에서 분자도 함께 $0$이 되어야 한다는 뜻이다. $g$는 연속이고 $f$에 부호만 붙인 함수이므로 $f(0)=0$, $f(2)=0$이다.

또 조각이 바뀌는 $x=t$에서 $g$가 연속이려면 왼쪽값 $-f(t)$와 오른쪽값 $f(t)$가 같아야 한다. 즉 $-f(t)=f(t)$이고, 따라서 $f(t)=0$이다.

이제 $f$는 $0$, $2$, 그리고 나머지 한 근 $r$을 갖는 삼차함수로 둘 수 있다. 최고차항의 계수를 $\alpha$라고 하면 $\alpha>0$이고, 식은 다음과 같다.

또한 $t$도 $f$의 근이어야 하므로 $t$는 $0,2,r$ 중 하나이다.

조건 (나)의 집합에서 부호를 먼저 읽는다

조건 (나)의 왼쪽은 자연수 $m$들의 집합이다. 오른쪽은 $\{g(-1),-\frac72g(1)\}$이고, 두 값이 서로 다르다고 했으므로 이 집합은 서로 다른 두 자연수로 이루어진다.

따라서 $g(-1)>0$이고 $-\frac72g(1)>0$이다. 여기서 바로 $g(1)<0$을 얻는다.

이 부호는 $m=1$을 빠르게 제외한다. $x=1$ 근처에서 분모 $x(x-2)$는 음수이다. 따라서

이 되려면 $g(1)>0$이어야 한다. 그런데 실제로는 $g(1)<0$이므로 $m=1$은 조건을 만족시키는 자연수가 될 수 없다.

t의 후보를 부호로 줄인다

앞에서 $t$는 $0,2,r$ 중 하나라고 했다. 조건 (나)에서 얻은 $g(1)<0$과 $m=1$ 제외를 이용해 후보를 줄인다.

먼저 $t=r$이면 $m<r$에서는 $g(x)=-f(x)$ 쪽을 보므로 극한값이 $-\alpha(m-r)>0$이고, $m\ge r$에서는 $g(x)=f(x)$ 쪽을 보므로 극한값이 $\alpha(m-r)\ge0$이다. 음수가 되는 자연수 $m$이 없으므로 불가능하다.

다음으로 $t=0$이면 $1\ge t$이므로 $g(1)=f(1)=\alpha(r-1)$이다. 앞에서 $g(1)<0$을 얻었으므로 $r<1$이다. 그런데 $m\ge2$이면 극한값이 $\alpha(m-r)>0$이 되고, $m=1$도 이미 제외되었다. 이 경우도 음수가 되는 자연수 $m$이 없다.

따라서 남는 후보는 $t=2$뿐이다.

t=2에서 음수가 되는 자연수를 센다

$t=2$이면 $x<2$에서는 $g(x)=-f(x)$이고, $x\ge2$에서는 $g(x)=f(x)$이다. 특히 $m=2$는 오른쪽 극한이므로 $x\to2+$에서 $x\ge2$ 쪽 식을 써야 한다.

$\frac{f(x)}{x(x-2)}=\alpha(x-r)$이므로 자연수 $m$에 대한 오른쪽 극한은 다음과 같다.

$m=1$은 이미 제외되었다. 따라서 음수가 되는 자연수는 $m\ge2$에서 찾아야 하고, 이때 극한값은 $\alpha(m-r)$이다. $\alpha>0$이므로 음수가 되려면 $m<r$이어야 한다.

조건 (나)는 음수가 되는 자연수 $m$이 정확히 두 개라고 말한다. $m=1$은 제외되었으므로 그 두 자연수는 $2,3$이어야 한다. 따라서 조건은 다음과 같이 정리된다.

두 값을 비교해 3과 대응시킨다

이제 조건 (나)의 오른쪽 집합도 $\{2,3\}$이어야 한다. $t=2$이고 $-1<2$, $1<2$이므로 두 값은 모두 $g(x)=-f(x)$ 쪽에서 계산한다.

먼저

이므로 $g(-1)=3\alpha(r+1)$이다. 또

이므로 $g(1)=-\alpha(r-1)$이고, $-\frac72g(1)=\frac72\alpha(r-1)$이다.

따라서 두 값의 집합은 정확히 다음과 같아야 한다.

두 값을 각각 $A=3\alpha(r+1)$, $B=\frac72\alpha(r-1)$이라고 하자. $3<r\le4$이므로

따라서 큰 값인 $A$가 $3$, 작은 값인 $B$가 $2$에 대응된다.

즉 두 식을 얻는다.

첫 식에서 $\alpha=\frac1{r+1}$이고, 이를 둘째 식에 대입하면 다음과 같다.

정리하면 $7(r-1)=4(r+1)$이므로 $3r=11$이고, $r=\frac{11}{3}$이다. 따라서 $\alpha=\frac1{r+1}=\frac3{14}$이다.

마지막 값은 정의된 쪽을 확인하고 대입한다

지금까지 얻은 값은 다음과 같다.

구하려는 값은 $g(-5)$이고 $-5<2$이므로 $g(-5)=-f(-5)$이다.

계산하면 다음과 같다.

따라서 $g(-5)=65$이다.

조건에 다시 넣어 확인한다

구한 값은 $t=2$, $r=\frac{11}{3}$, $\alpha=\frac3{14}$이다. 이때 $3<r\le4$이므로 음수 극한을 만드는 자연수는 $2,3$뿐이다.

또 $g(-1)=3$이고 $-\frac72g(1)=2$이므로 조건 (나)의 오른쪽 집합은 실제로 $\{2,3\}$이다. 원래 조건과 최종 계산이 모두 맞으므로 정답은 $65$이다.