곡선 y=5^{3-x}와 직선 y=x의 교점 x좌표 k는 2 k이므로 f(12)=5^{-9}와 f(f(12))=3·12를 사용할 수 있다

수능 수학 20번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2025학년도 수능 수학 20번 풀이 | 지수함수 교점과 합성함수

정답

핵심 요약

2<k<3으로 12>k를 확보한 뒤, 교점식 k5^k=5^3으로 목표 입력값을 5^-9로 정리하고 이를 f(12)로 바꾸어 합성 조건 f(f(12))=36을 적용한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

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들어가기 앞서…

이 문제는 $k$ 를 직접 구하는 문제가 아니다. 교점 조건을 식으로 남긴 뒤, 구하려는 입력값을 $f(12)$ 꼴로 바꾸는 문제다.

처음부터 함수 $f$ 의 전체 식을 찾으려고 하면 조건이 부족해 보인다. 하지만 실제로 필요한 것은 작은 입력값 $5^{-9}$ 를 큰 입력 $12$ 의 함수값으로 되돌리는 연결이다.

문제

문제 텍스트 주관식

곡선 $y=\left(\frac15\right)^{x-3}$ 과 직선 $y=x$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표를 $k$ 라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

$x>k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여

f(x)=\left(\frac15\right)^{x-3}

이고

f(f(x))=3x

이다.

f\left(\frac{1}{k^3\times5^{3k}}\right)

의 값을 구하시오. [4점]

정답

풀이

그래프에서 먼저 확인할 것

처음에는 $k$ 를 직접 구하려고 하지 말고, 두 그래프가 만나는 위치만 대략 본다. 곡선 $y=\left(\frac15\right)^{x-3}=5^{3-x}$ 는 감소하고, 직선 $y=x$ 는 증가한다.

$x=2$ 와 $x=3$ 을 넣어 비교하면 다음과 같다.

5^{3-2}=5>2,\qquad 5^{3-3}=1<3

따라서 교점의 $x$ 좌표는 $2<k<3$ 이다. 이 문제에서 나중에 $x=12$ 를 써야 하므로, $12>k$ 를 바로 확보하는 것이 첫 손동작이다.

y=5^(3-x)와 y=x의 교점 k가 2<k<3에 있어 12>k가 확정되고, x=12를 f(x)=5^(3-x)와 f(f(x))=3x 조건에 넣을 수 있음을 보이는 그래프. — 교점 k의 정확한 값보다 2<k<3, 즉 12>k라는 위치 정보가 먼저 필요하다.

교점 조건 자체는 수치보다 식으로 남기는 것이 좋다. 교점에서 $y=x$ 와 $y=5^{3-x}$ 가 같으므로

k=5^{3-k}

이다. 양변에 $5^k$ 를 곱하면 다음 식을 얻는다.

k5^k=5^3

이 식은 구하려는 입력값의 $k^3 5^{3k}$ 를 정리하기 위한 장치이다.

구하려는 입력값을 먼저 단순하게 만든다

문제에서 묻는 입력값은 $\frac{1}{k^3\cdot5^{3k}}$ 이다. 방금 얻은 $k5^k=5^3$ 을 세제곱하면 다음과 같다.

k^3 5^{3k}=5^9

따라서 목표 입력값은 아래처럼 바뀐다.

\frac{1}{k^3\cdot5^{3k}}=5^{-9}

문제는 결국 $f(5^{-9})$ 를 구하는 문제이다.

여기서 바로 $f(x)=5^{3-x}$ 를 대입하면 안 된다. 그 식은 $x>k$ 일 때만 주어진 식인데, $5^{-9}$ 는 아주 작은 양수라 $x>k$ 쪽의 입력이 아니다. 대신 $5^{-9}$ 가 어떤 큰 수의 $f$ 값으로 나오는지 찾아야 한다.

작은 입력값을 f(12) 꼴로 만든다

$x>k$ 에서는 $f(x)=5^{3-x}$ 이다. 앞에서 $12>k$ 를 확인했으므로 $x=12$ 를 이 식에 넣을 수 있다.

f(12)=5^{3-12}=5^{-9}

즉 구하려는 값은 다음처럼 바뀐다.

f(5^{-9})=f(f(12))

이 변환이 핵심이다. 작은 입력 $5^{-9}$ 에 직접 함숫값을 구하는 대신, 그것을 $x>k$ 에서 이미 알고 있는 함수값 $f(12)$ 로 만든 것이다.

합성 조건으로 마무리한다

문제 조건은 $x>k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(f(x))=3x$ 라고 했다. $12>k$ 이므로 이 조건에 $x=12$ 를 바로 대입할 수 있다.

f(f(12))=3\cdot12=36

따라서

f\left(\frac{1}{k^3\cdot5^{3k}}\right)=36

이다.

k5^k=5^3에서 1/(k^3 5^(3k))=5^-9이고, 12>k라서 f(12)=5^-9, 따라서 f(5^-9)=f(f(12))=36으로 이어지는 계산. — 목표 입력값을 f(12) 꼴로 바꾸면 합성 조건에 바로 연결된다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

먼저 $x=2,3$ 을 대입해 $2<k<3$ 을 확인한다. 그래서 $12>k$ 를 사용할 수 있다.

그다음 교점 조건에서 $k=5^{3-k}$ , 즉 $k5^k=5^3$ 을 얻고, 목표 입력값을 $\frac{1}{k^3 5^{3k}}=5^{-9}$ 로 정리한다.

마지막으로 $f(12)=5^{3-12}=5^{-9}$ 이므로 $f(5^{-9})=f(f(12))$ 로 바꾸고, 합성 조건에서 $f(f(12))=3\cdot12=36$ 을 얻는다. $5^{-9}$ 에 $f(x)=5^{3-x}$ 를 직접 적용하지 않는 것이 가장 중요한 오답 차단점이다.