따라서 교점의 x\(x\)좌표는 2<k<3\(2<k<3\)이다. 이 문제에서 나중에 x=12\(x=12\)를 써야 하므로, 12>k\(12>k\)를 바로 확보하는 것이 첫 손동작이다.
교점 k의 정확한 값보다 2<k<3, 즉 12>k라는 위치 정보가 먼저 필요하다.
교점 조건 자체는 수치보다 식으로 남기는 것이 좋다. 교점에서 y=x\(y=x\)와 y=53−x\(y=5^{3-x}\)가 같으므로
k=53−k\[k=5^{3-k}\]
이다. 양변에 5k\(5^k\)를 곱하면 다음 식을 얻는다.
k5k=53\[k5^k=5^3\]
이 식은 구하려는 입력값의 k353k\(k^3 5^{3k}\)를 정리하기 위한 장치이다.
구하려는 입력값을 먼저 단순하게 만든다
문제에서 묻는 입력값은 k3⋅53k1\(\frac{1}{k^3\cdot5^{3k}}\)이다. 방금 얻은 k5k=53\(k5^k=5^3\)을 세제곱하면 다음과 같다.
k353k=59\[k^3 5^{3k}=5^9\]
따라서 목표 입력값은 아래처럼 바뀐다.
k3⋅53k1=5−9\[\frac{1}{k^3\cdot5^{3k}}=5^{-9}\]
문제는 결국 f(5−9)\(f(5^{-9})\)를 구하는 문제이다.
여기서 바로 f(x)=53−x\(f(x)=5^{3-x}\)를 대입하면 안 된다. 그 식은 x>k\(x>k\)일 때만 주어진 식인데, 5−9\(5^{-9}\)는 아주 작은 양수라 x>k\(x>k\) 쪽의 입력이 아니다. 대신 5−9\(5^{-9}\)가 어떤 큰 수의 f\(f\)값으로 나오는지 찾아야 한다.
작은 입력값을 f(12) 꼴로 만든다
x>k\(x>k\)에서는 f(x)=53−x\(f(x)=5^{3-x}\)이다. 앞에서 12>k\(12>k\)를 확인했으므로 x=12\(x=12\)를 이 식에 넣을 수 있다.
f(12)=53−12=5−9\[f(12)=5^{3-12}=5^{-9}\]
즉 구하려는 값은 다음처럼 바뀐다.
f(5−9)=f(f(12))\[f(5^{-9})=f(f(12))\]
이 변환이 핵심이다. 작은 입력 5−9\(5^{-9}\)에 직접 함숫값을 구하는 대신, 그것을 x>k\(x>k\)에서 이미 알고 있는 함수값 f(12)\(f(12)\)로 만든 것이다.
합성 조건으로 마무리한다
문제 조건은 x>k\(x>k\)인 모든 실수 x\(x\)에 대해 f(f(x))=3x\(f(f(x))=3x\)라고 했다. 12>k\(12>k\)이므로 이 조건에 x=12\(x=12\)를 바로 대입할 수 있다.
f(f(12))=3⋅12=36\[f(f(12))=3\cdot12=36\]
따라서 구하려는 값은 다음과 같다.
f(k3⋅53k1)=36\[f\left(\frac{1}{k^3\cdot5^{3k}}\right)=36\]목표 입력값을 f(12) 꼴로 바꾸면 합성 조건에 바로 연결된다.
다시 풀 때는 이 순서만 기억한다
먼저 x=2,3\(x=2,3\)을 대입해 2<k<3\(2<k<3\)을 확인한다. 그래서 12>k\(12>k\)를 사용할 수 있다.
그다음 교점 조건에서 k=53−k\(k=5^{3-k}\), 즉 k5k=53\(k5^k=5^3\)을 얻고, 목표 입력값을 k353k1=5−9\(\frac{1}{k^3 5^{3k}}=5^{-9}\)로 정리한다.
마지막으로 f(12)=53−12=5−9\(f(12)=5^{3-12}=5^{-9}\)이므로 f(5−9)=f(f(12))\(f(5^{-9})=f(f(12))\)로 바꾸고, 합성 조건에서 f(f(12))=3⋅12=36\(f(f(12))=3\cdot12=36\)을 얻는다. 5−9\(5^{-9}\)에 f(x)=53−x\(f(x)=5^{3-x}\)를 직접 적용하지 않는 것이 가장 중요한 오답 차단점이다.
