2025학년도 수능 수학 21번 풀이 | 유리식 극한과 실근 이동

들어가기 앞서…

이 문제는 계수 $a,b$를 먼저 전개해서 맞추는 문제가 아니다. 핵심은 모든 실수에서 극한이 존재한다는 조건을 분모의 실근이 다시 실근으로 이동해야 한다는 조건으로 바꾸어 읽는 것이다.

분모가 $0$이 아닌 곳에서는 유리식 극한이 자연스럽게 존재한다. 따라서 처음 볼 곳은 분모가 $0$이 되는 실근이고, 그 실근을 $x\mapsto 2x+1$로 보냈을 때도 분자가 함께 $0$이 되어야 한다.

문제

정답

$16$

풀이

분모가 0이 되는 곳부터 확인한다

분모 $f(x)$가 $0$이 아닌 점에서는 $\frac{f(2x+1)}{f(x)}$가 자연스럽게 값을 가진다. 따라서 극한이 깨질 수 있는 곳은 $f(\alpha)=0$인 실수 $\alpha$뿐이다.

만약 $f(\alpha)=0$인데 $f(2\alpha+1)\ne0$이면, $x\to\alpha$에서 분모만 $0$으로 가고 분자는 $0$으로 가지 않는다. 그러면 극한값이 존재할 수 없다.

따라서 모든 실근 $\alpha$에 대하여 다음 조건이 필요하다.

즉 $f$의 실근 하나를 잡으면, 그 실근을 $x\mapsto 2x+1$로 보낸 값도 다시 $f$의 실근이어야 한다.

실근을 반복해서 추적한다

3차함수 $f$는 적어도 하나의 실근을 가진다. 그 실근을 $\beta$라고 하자. 위 조건에 의해 $\beta$가 근이면 $2\beta+1$도 근이고, 같은 논리를 반복하면 $4\beta+3$, $8\beta+7$도 모두 근이다.

정리하면 다음 네 값이 모두 방정식 $f(x)=0$의 실근이어야 한다.

여기서 $\beta=-1$이면 네 값이 모두 $-1$로 같다. 반대로 $\beta\ne-1$이면 네 값에 각각 $1$을 더했을 때 다음과 같이 서로 다른 값이 된다.

3차방정식은 서로 다른 네 실근을 가질 수 없다. 또 $\beta$는 임의로 잡은 실근이므로 같은 논리는 모든 실근에 적용된다. 따라서 $-1$이 아닌 실근은 존재할 수 없고, 가능한 실근은 $-1$뿐이다.

실근 조건을 계수와 판별식으로 바꾼다

$-1$이 근이므로 $f(-1)=0$이다. 대입하면 $-1+a-b+4=0$이므로 $b=a+3$이다.

이를 $f(x)$에 넣으면 다음과 같이 인수분해된다.

앞에서 얻은 결론은 $f(x)=0$의 실근이 $-1$뿐이어야 한다는 것이다. 이미 $x+1$에서 $-1$이 한 번 나왔으므로, 남은 이차식 $x^2+(a-1)x+4$는 실근을 가지면 안 된다.

따라서 판별식이 음수여야 한다.

$a$는 정수이므로 가능한 값은 $-2,-1,0,1,2,3,4$이고, 이때 $b=a+3$이다.

f(1)의 최댓값을 계산한다

구하는 값은 $f(1)$이다. $b=a+3$을 넣으면 다음과 같다.

가능한 $a$ 중 가장 큰 값은 $4$이므로 $f(1)$의 최댓값은 $2\cdot4+8=16$이다.

마지막 후보를 확인한다

$a=4,\ b=7$이면 $f(x)$는 다음과 같이 인수분해된다.

이차식 $x^2+3x+4$의 판별식은 $9-16=-7<0$이므로 다른 실근이 없다.

분모가 $0$이 되는 실수는 $x=-1$뿐이고, $2(-1)+1=-1$이므로 분자도 같은 지점에서 함께 $0$이 된다. 실제로 $f(2x+1)$에는 $2x+2=2(x+1)$이 인수로 들어가므로, $x=-1$에서 분자와 분모의 공통인자 $x+1$이 소거된다.

그 밖의 실수에서는 분모가 $0$이 아니므로 극한이 존재한다. 따라서 정답은 $16$이다.