2025학년도 수능 수학 22번 풀이 | 점화식의 첫 성립 위치와 역추적

들어가기 앞서…

이 문제는 초항을 하나씩 넣어 보는 문제가 아니다. 조건 (나)의 “최솟값이 $3$”이라는 말에서 처음 성립해야 하는 비교는 $|a_3|=|a_5|$임을 읽고, 그 위치에서 거꾸로 올라가는 것이 핵심이다.

동시에 $m=1,2$에서는 아직 $|a_m|=|a_{m+2}|$가 성립하면 안 된다. 그래서 가능한 $a_3$를 먼저 좁힌 뒤, 역방향 후보를 최솟값 조건으로 걸러야 한다.

문제

정답

$64$

풀이

처음 성립하는 위치를 먼저 번역한다

조건 (나)는 $|a_m|=|a_{m+2}|$가 처음 성립하는 자연수 $m$이 $3$이라는 뜻이다. 따라서 우선 봐야 할 식은 $|a_3|=|a_5|$이다.

동시에 $m=1,2$에서는 아직 이 관계가 성립하면 안 된다. 정리하면 다음 세 조건을 함께 확인해야 한다.

a_3 후보를 두 칸 이동으로 구한다

먼저 $a_3$에서 두 번 움직였을 때 절댓값이 다시 같아지는 값을 찾는다. 점화식은 홀수이면 $3$을 빼고, 짝수 또는 $0$이면 절반으로 줄이는 규칙이다.

$a_3$가 홀수이면 $a_4=a_3-3$이고, $a_3-3$은 짝수이다. 따라서 $a_5=\frac{a_3-3}{2}$이다. 조건 $|a_3|=|a_5|$는 다음과 같다.

이 경우에는 $a_3=1,-3$을 얻는다.

$a_3$가 짝수 또는 $0$이면 첫 이동은 $a_4=\frac{a_3}{2}$이다. 여기서 $a_4$가 짝수 또는 $0$이면 $a_5=\frac{a_3}{4}$이므로 $a_3=0$이다. $a_4$가 홀수이면 $a_5=\frac{a_3}{2}-3$이므로 다음 조건을 푼다.

이 경우에는 $a_3=2,-6$을 얻는다. 따라서 가능한 $a_3$는 다음 집합이다.

a_2 후보를 역방향으로 올리고 m=2를 배제한다

이제 $a_3$가 위 값 중 하나가 되도록 한 칸 거꾸로 올라간다. 어떤 값 $z$가 다음 항으로 나왔다면, 이전 항은 두 방식으로 생길 수 있다.

짝수 또는 $0$에서 절반이 된 경우는 이전 항이 $2z$이다. 홀수에서 $3$을 뺀 경우는 이전 항이 $z+3$이다. 다만 $z+3$이 홀수여야 하므로 이 두 번째 방식은 $z$가 짝수일 때만 가능하다.

후보를 표로 정리하면 다음과 같다.

제외 기준은 $m=2$이다. 앞에서 구한 집합 $E$는 어떤 항이 그 값일 때 두 칸 뒤 절댓값이 같아지는 값들의 집합이다. 따라서 $a_2\in E$이면 이미 $m=2$에서 조건이 성립하므로 제외해야 한다.

결국 가능한 $a_2$는 다음과 같다.

가능한 a_1을 찾는다

이제 한 번 더 거꾸로 올라가 $a_1$을 찾는다. 같은 역방향 규칙을 쓰면 된다.

역방향 후보는 다음과 같다.

따라서 가능한 $a_1$은 $-24,-9,6,7,8,10$이다.

같은 두 칸 이동 계산은 어느 항에나 그대로 적용되므로, 두 칸 뒤 절댓값이 같아지는 값은 앞에서 구한 $E=\{-6,-3,0,1,2\}$뿐이다. 위 $a_1$들은 모두 $E$ 밖에 있으므로 $m=1$에서 조건이 먼저 성립하지 않는다. 또 $a_2$도 걸러내어 $m=2$에서 조건이 먼저 성립하지 않게 했다.

그러므로 조건 (나)의 최솟값은 정확히 $3$이다.

절댓값의 합을 계산한다

구하는 것은 가능한 모든 수열에 대한 $|a_1|$의 값의 합이다. 남은 후보를 더하면 다음과 같다.

따라서 정답은 $64$이다.