m의 최솟값이 3이므로 |a_3|=|a_5|이고 |a_1|은 |a_3|과 다르며 |a_2|는 |a_4|와 달라야 한다 두 칸 뒤 절댓값이 같아지는 a_3 후보는 {-6,-3,0,1,2}뿐이다 다음 항이 z이면 이전 항 후보는 2z이고, z가 짝수일 때 z+3도 가능하다 a_2가 {-6,-3,0,1,2}에 들어가면 m=2가 먼저 성립하므로 제외한다

2025학년도 수능 수학 22번 풀이 | 점화식의 첫 성립 위치와 역추적 [251122]

들어가기 앞서…

이 문제는 초항을 하나씩 넣어 보는 문제가 아니다.
조건 (나)의 “최솟값이 $3$ $3$”이라는 말에서 처음 성립해야 하는 비교는 $|a_3|=|a_5|$ $|a_3|=|a_5|$임을 읽고, 그 위치에서 거꾸로 올라가는 것이 핵심이다.

동시에 $m=1,2$ $m=1,2$에서는 아직 $|a_m|=|a_{m+2}|$ $|a_m|=|a_{m+2}|$가 성립하면 안 된다.
그래서 가능한 $a_3$ $a_3$를 먼저 좁힌 뒤, 역방향 후보를 최솟값 조건으로 걸러야 한다.

문제

문제 텍스트 주관식

모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$에 대하여 $|a_1|$ $|a_1|$의 값의 합을 구하시오.

(가) 모든 자연수 $n$ $n$에 대하여 수열은 다음과 같이 정해진다.

a_{n+1}= \begin{cases} a_n-3 & (|a_n|\text{이 홀수인 경우})\\ \frac{1}{2}a_n & (a_n=0\text{ 또는 }|a_n|\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}

(나) $|a_m|=|a_{m+2}|$ $|a_m|=|a_{m+2}|$인 자연수 $m$ $m$의 최솟값은 $3$ $3$이다.

정답

$64$ $64$

풀이

처음 성립하는 위치를 먼저 번역한다

조건 (나)는 $|a_m|=|a_{m+2}|$ $|a_m|=|a_{m+2}|$가 처음 성립하는 자연수 $m$ $m$이 $3$ $3$이라는 뜻이다.
따라서 우선 봐야 할 식은 $|a_3|=|a_5|$ $|a_3|=|a_5|$이다.

동시에 $m=1,2$ $m=1,2$에서는 아직 이 관계가 성립하면 안 된다.
정리하면 다음 세 조건을 함께 확인해야 한다.

|a_3|=|a_5|,\qquad |a_1|\ne |a_3|,\qquad |a_2|\ne |a_4|

|a_m|=|a_{m+2}|의 최소 m이 3이므로 |a_1|과 |a_3|, |a_2|와 |a_4|는 같지 않고 |a_3|과 |a_5|가 먼저 같아야 함을 보여 주는 두 칸 비교 그림. — 최솟값 3 조건은 두 칸 비교의 첫 성립 위치를 지정한다.

a_3 후보를 두 칸 이동으로 구한다

먼저 $a_3$ $a_3$에서 두 번 움직였을 때 절댓값이 다시 같아지는 값을 찾는다.
점화식은 홀수이면 $3$ $3$을 빼고, 짝수 또는 $0$ $0$이면 절반으로 줄이는 규칙이다.

a_3이 홀수이면 a_5=(a_3-3)/2, 짝수 또는 0이면 두 단계 갱신을 나누어 |a_3|=|a_5|가 되는 a_3 후보 {-6,-3,0,1,2}를 얻는 분류. — a_3의 홀짝과 다음 항의 홀짝에 따라 두 칸 이동을 나눈다.

$a_3$ $a_3$가 홀수이면 $a_4=a_3-3$ $a_4=a_3-3$이고, $a_3-3$ $a_3-3$은 짝수이다.
따라서 $a_5=\frac{a_3-3}{2}$ $a_5=\frac{a_3-3}{2}$이다.
조건 $|a_3|=|a_5|$ $|a_3|=|a_5|$는 다음과 같다.

|a_3|=\left|\frac{a_3-3}{2}\right|

이 경우에는 $a_3=1,-3$ $a_3=1,-3$을 얻는다.

$a_3$ $a_3$가 짝수 또는 $0$ $0$이면 첫 이동은 $a_4=\frac{a_3}{2}$ $a_4=\frac{a_3}{2}$이다.
여기서 $a_4$ $a_4$가 짝수 또는 $0$ $0$이면 $a_5=\frac{a_3}{4}$ $a_5=\frac{a_3}{4}$이므로 $a_3=0$ $a_3=0$이다.
$a_4$ $a_4$가 홀수이면 $a_5=\frac{a_3}{2}-3$ $a_5=\frac{a_3}{2}-3$이므로 다음 조건을 푼다.

|a_3|=\left|\frac{a_3}{2}-3\right|

이 경우에는 $a_3=2,-6$ $a_3=2,-6$을 얻는다.
따라서 가능한 $a_3$ $a_3$는 다음 집합이다.

E=\{-6,-3,0,1,2\}

a_2 후보를 역방향으로 올리고 m=2를 배제한다

이제 $a_3$ $a_3$가 위 값 중 하나가 되도록 한 칸 거꾸로 올라간다.
어떤 값 $z$ $z$가 다음 항으로 나왔다면, 이전 항은 두 방식으로 생길 수 있다.

짝수 또는 $0$ $0$에서 절반이 된 경우는 이전 항이 $2z$ $2z$이다.
홀수에서 $3$ $3$을 뺀 경우는 이전 항이 $z+3$ $z+3$이다.
다만 $z+3$ $z+3$이 홀수여야 하므로 이 두 번째 방식은 $z$ $z$가 짝수일 때만 가능하다.

a_3 후보를 역방향으로 올라가 a_2 후보를 만들고, a_2가 {-6,-3,0,1,2}에 들어가 m=2에서 먼저 성립하는 경우를 제거해 {-12,3,4,5}를 남기는 필터. — 역방향으로 만든 a_2 후보에서 m=2를 먼저 만드는 값을 제거한다.

후보를 표로 정리하면 다음과 같다.

$a_3$ $a_3$	역방향 $a_2$ $a_2$ 후보	$m=2$ $m=2$ 배제 후
$-6$ $-6$	$-12,\ -3$ $-12,\ -3$	$-12$ $-12$
$-3$ $-3$	$-6$ $-6$	없음
$0$ $0$	$0,\ 3$ $0,\ 3$	$3$ $3$
$1$ $1$	$2$ $2$	없음
$2$ $2$	$4,\ 5$ $4,\ 5$	$4,\ 5$ $4,\ 5$

제외 기준은 $m=2$ $m=2$이다.
앞에서 구한 집합 $E$ $E$는 어떤 항이 그 값일 때 두 칸 뒤 절댓값이 같아지는 값들의 집합이다.
따라서 $a_2\in E$ $a_2\in E$이면 이미 $m=2$ $m=2$에서 조건이 성립하므로 제외해야 한다.

결국 가능한 $a_2$ $a_2$는 다음과 같다.

a_2\in\{-12,3,4,5\}

가능한 a_1을 찾는다

이제 한 번 더 거꾸로 올라가 $a_1$ $a_1$을 찾는다.
같은 역방향 규칙을 쓰면 된다.

남은 a_2={-12,3,4,5}에서 역방향으로 a_1={-24,-9,6,7,8,10}을 구하고 |a_1|의 합 64를 계산하는 표. — 남은 a_2에서 가능한 a_1을 역방향으로 찾고 절댓값의 합을 계산한다.

역방향 후보는 다음과 같다.

$a_2$ $a_2$	가능한 $a_1$ $a_1$
$-12$ $-12$	$-24,\ -9$ $-24,\ -9$
$3$ $3$	$6$ $6$
$4$ $4$	$8,\ 7$ $8,\ 7$
$5$ $5$	$10$ $10$

따라서 가능한 $a_1$ $a_1$은 $-24,-9,6,7,8,10$ $-24,-9,6,7,8,10$이다.

같은 두 칸 이동 계산은 어느 항에나 그대로 적용되므로, 두 칸 뒤 절댓값이 같아지는 값은 앞에서 구한 $E=\{-6,-3,0,1,2\}$ $E=\{-6,-3,0,1,2\}$뿐이다.
위 $a_1$ $a_1$들은 모두 $E$ $E$ 밖에 있으므로 $m=1$ $m=1$에서 조건이 먼저 성립하지 않는다.
또 $a_2$ $a_2$도 걸러내어 $m=2$ $m=2$에서 조건이 먼저 성립하지 않게 했다.

그러므로 조건 (나)의 최솟값은 정확히 $3$ $3$이다.

절댓값의 합을 계산한다

구하는 것은 가능한 모든 수열에 대한 $|a_1|$ $|a_1|$의 값의 합이다.
남은 후보를 더하면 다음과 같다.

|-24|+|-9|+|6|+|7|+|8|+|10| =24+9+6+7+8+10 =64

따라서 정답은 $64$ $64$이다.

문항코드: 251122

$a_3$ \(a_3\)	역방향 $a_2$ \(a_2\) 후보	$m=2$ \(m=2\) 배제 후
$-6$ \(-6\)	$-12,\ -3$ \(-12,\ -3\)	$-12$ \(-12\)
$-3$ \(-3\)	$-6$ \(-6\)	없음
$0$ \(0\)	$0,\ 3$ \(0,\ 3\)	$3$ \(3\)
$1$ \(1\)	$2$ \(2\)	없음
$2$ \(2\)	$4,\ 5$ \(4,\ 5\)	$4,\ 5$ \(4,\ 5\)

$a_2$ \(a_2\)	가능한 $a_1$ \(a_1\)
$-12$ \(-12\)	$-24,\ -9$ \(-24,\ -9\)
$3$ \(3\)	$6$ \(6\)
$4$ \(4\)	$8,\ 7$ \(8,\ 7\)
$5$ \(5\)	$10$ \(10\)