f'(x)=-x+e^{1-x^2}이고 f''(x)=-1-2xe^{1-x^2}이다 t>0이므로 넓이를 보는 구간은 0≤x≤t이다 0≤x≤t에서 f''(x)<0이어서 접선은 곡선 위쪽에 놓인다 g(t)는 접선 T_t(x)에서 f(x)를 뺀 값을 0부터 t까지 적분한 넓이이다 ∫f(x)dx는 부분적분으로 x f'(x)가 들어간 식으로 바꾼다

2025학년도 수능 미적분 28번 풀이 | 접선과 곡선으로 둘러싸인 넓이 [251128c]

들어가기 앞서…

이 문제는 $f(x)$ $f(x)$를 직접 구하는 문제가 아니다.
$f'(x)$ $f'(x)$에 $e^{1-x^2}$ $e^{1-x^2}$가 들어 있어서 원함수를 먼저 찾으려 하면 계산이 막힌다.

먼저 해야 할 일은 접선과 곡선의 위아래를 정하는 것이다.
넓이를 절댓값 없이 적분식으로 쓰려면, 접선이 곡선보다 위에 있는지부터 확인해야 한다.

문제

문제 텍스트 객관식

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ $f'(x)$가

f'(x)=-x+e^{1-x^2}

이다. 양수 $t$ $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$ 위의 점 $(t,f(t))$ $(t,f(t))$에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$ 및 $y$ $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$ $g(t)$라 하자. $g(1)+g'(1)$ $g(1)+g'(1)$의 값은?

① $\frac12e+\frac12$ $\frac12e+\frac12$
② $\frac12e+\frac23$ $\frac12e+\frac23$
③ $\frac12e+\frac56$ $\frac12e+\frac56$
④ $\frac23e+\frac12$ $\frac23e+\frac12$
⑤ $\frac23e+\frac23$ $\frac23e+\frac23$

정답

②

풀이

접선이 곡선의 어느 쪽에 있는지 본다

주어진 도함수를 한 번 더 미분하면 다음과 같다.

f''(x)=-1-2xe^{1-x^2}

$t>0$ $t>0$이고 왼쪽 경계가 $y$ $y$축이므로 넓이를 보는 구간은 $0\le x\le t$ $0\le x\le t$이다.
이 구간에서는 $x\ge0$ $x\ge0$이므로 $f''(x)<0$ $f''(x)<0$이다.

따라서 $0\le x\le t$ $0\le x\le t$에서 그래프는 위로 볼록하지 않고 아래로 휘어 있으며, 접선은 곡선 위쪽에 놓인다.
이제 넓이는 접선에서 곡선을 뺀 값으로 잡을 수 있다.

0≤x≤t에서 f''(x)<0이므로 접선 T_t가 곡선 f보다 위쪽에 놓이고 넓이 g(t)를 T_t(x)-f(x)의 적분으로 잡는 구조 그림. — 이계도함수의 부호로 접선과 곡선의 위치를 먼저 정한다.

넓이를 g(t)로 정리한다

점 $(t,f(t))$ $(t,f(t))$에서의 접선을 $T_t(x)$ $T_t(x)$라고 하면

T_t(x)=f(t)+f'(t)(x-t)

이다.
접선이 곡선 위에 있으므로 넓이는 다음과 같다.

g(t)=\int_0^t\{f(t)+f'(t)(x-t)-f(x)\}\,dx

식을 먼저 $t$ $t$에 대한 함수로 정리해 둔다.
바로 $t=1$ $t=1$을 넣으면 $g(1)$ $g(1)$은 구할 수 있지만, $g'(1)$ $g'(1)$을 다시 계산하기가 불편해진다.

\begin{aligned} g(t) &=\int_0^t\{f(t)+f'(t)(x-t)-f(x)\}\,dx\\ &=-\frac12t^2f'(t)+tf(t)-\int_0^t f(x)\,dx \end{aligned}

남은 핵심은 $\int_0^t f(x)\,dx$ $\int_0^t f(x)\,dx$를 주어진 $f'(x)$ $f'(x)$로 바꾸는 것이다.

f(x) 대신 x f’(x)를 본다

$f(x)$ $f(x)$ 자체는 구하기 어렵지만, 부분적분을 쓰면 $\int f(x)\,dx$ $\int f(x)\,dx$를 $x f'(x)$ $x f'(x)$가 들어간 식으로 바꿀 수 있다.

\int_0^t f(x)\,dx=[xf(x)]_0^t-\int_0^t xf'(x)\,dx

여기서

xf'(x)=-x^2+xe^{1-x^2}

이다.
$xe^{1-x^2}$ $xe^{1-x^2}$는 치환적분이 바로 되는 형태이므로, 이 방향이 계산을 줄인다.
정리하면 다음 값을 얻는다.

\int_0^t f(x)\,dx =tf(t)+\frac13t^3+\frac12e^{1-t^2}-\frac12e

g(t)에 남은 적분을 부분적분으로 x f'(x) 적분으로 바꾸고, f'(x)=-x+e^(1-x^2)를 대입해 g(t)의 명시식을 얻는 계산 흐름. — 부분적분으로 원함수 f(x)를 끝까지 구하지 않는 계산 구조를 만든다.

이 값을 $g(t)$ $g(t)$ 식에 넣으면 $tf(t)$ $tf(t)$가 소거된다.
따라서 $f(x)$ $f(x)$의 원함수를 알 필요 없이 다음 식으로 정리된다.

\begin{aligned} g(t) &=-\frac12t^2f'(t)-\frac13t^3-\frac12e^{1-t^2}+\frac12e\\ &=-\frac12t^2(-t+e^{1-t^2})-\frac13t^3-\frac12e^{1-t^2}+\frac12e\\ &=\frac16t^3-\frac12(t^2+1)e^{1-t^2}+\frac12e \end{aligned}

마지막에 t=1을 넣는다

이제 $g(t)$ $g(t)$가 명시적으로 정리되었으므로 $g(1)$ $g(1)$과 $g'(1)$ $g'(1)$을 계산한다.

g(1)=\frac16-\frac12\cdot2\cdot e^0+\frac12e =\frac12e-\frac56

또 미분하면 다음과 같다.

g'(t)=\frac12t^2+t^3e^{1-t^2}

따라서 $g'(1)=\frac12+1=\frac32$ $g'(1)=\frac12+1=\frac32$이다.
합은 아래와 같다.

g(1)+g'(1) =\left(\frac12e-\frac56\right)+\frac32 =\frac12e+\frac23

따라서 정답은 ②이다.

다시 사용할 판단 기준

접선과 곡선으로 둘러싸인 넓이가 나오면, 먼저 접선과 곡선의 위아래를 확인한다.
이 문제에서는 $t>0$ $t>0$과 $y$ $y$축이 구간을 $[0,t]$ $[0,t]$로 고정했고, 그 구간에서 $f''(x)<0$ $f''(x)<0$이므로 접선이 위에 있음을 빠르게 알 수 있었다.