들어가기 앞서…
이 문제는 등비수열의 일반항을 바로 세우기보다 절댓값이 붙은 두 급수를 먼저 해석해야 한다.∣ a n ∣ + a n |a_n|+a_n ∣ a n ∣ + a n \(|a_n|+a_n\) 과 ∣ a n ∣ − a n |a_n|-a_n ∣ a n ∣ − a n \(|a_n|-a_n\) 이 어떤 항만 남기는지 보면 공비의 부호와 첫째항의 부호가 빠르게 정리된다.
뒤쪽의 긴 극한합도 마찬가지다.앞의 몇 항을 써서 부호 주기를 확인하는 것 이 계산을 짧게 만든다.
문제
2025학년도 대학수학능력시험 수학 미적분 29번 문제 문제 텍스트 주관식 등비수열 { a n } \{a_n\} { a n } \(\{a_n\}\) 이
∑ n = 1 ∞ ( ∣ a n ∣ + a n ) = 40 3 , ∑ n = 1 ∞ ( ∣ a n ∣ − a n ) = 20 3 \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+a_n)=\frac{40}{3},\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|-a_n)=\frac{20}{3} n = 1 ∑ ∞ ( ∣ a n ∣ + a n ) = 3 40 , n = 1 ∑ ∞ ( ∣ a n ∣ − a n ) = 3 20 \[\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+a_n)=\frac{40}{3},\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|-a_n)=\frac{20}{3}\] 을 만족시킨다. 부등식
lim n → ∞ ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k ( k + 1 ) 2 × a m + k > 1 700 \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}\times a_{m+k}>\frac{1}{700} n → ∞ lim k = 1 ∑ 2 n ( − 1 ) 2 k ( k + 1 ) × a m + k > 700 1 \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}\times a_{m+k}>\frac{1}{700}\] 을 만족시키는 모든 자연수 m m m \(m\) 의 값의 합을 구하시오.
정답
25
풀이
절댓값 두 식을 부호별로 본다
먼저 ∣ a n ∣ + a n |a_n|+a_n ∣ a n ∣ + a n \(|a_n|+a_n\) 과 ∣ a n ∣ − a n |a_n|-a_n ∣ a n ∣ − a n \(|a_n|-a_n\) 이 무엇을 세는지 확인한다.a n > 0 a_n>0 a n > 0 \(a_n>0\) 이면
∣ a n ∣ + a n = 2 a n , ∣ a n ∣ − a n = 0 |a_n|+a_n=2a_n,\qquad |a_n|-a_n=0 ∣ a n ∣ + a n = 2 a n , ∣ a n ∣ − a n = 0 \[|a_n|+a_n=2a_n,\qquad |a_n|-a_n=0\] 이고, a n < 0 a_n<0 a n < 0 \(a_n<0\) 이면
∣ a n ∣ + a n = 0 , ∣ a n ∣ − a n = − 2 a n |a_n|+a_n=0,\qquad |a_n|-a_n=-2a_n ∣ a n ∣ + a n = 0 , ∣ a n ∣ − a n = − 2 a n \[|a_n|+a_n=0,\qquad |a_n|-a_n=-2a_n\] 이다.양수항의 합의 두 배 , 두 번째 급수는 음수항의 절댓값 합의 두 배 를 나타낸다.
문제의 두 조건은 곧 다음 뜻이다.
양수항의 합 = 20 3 , 음수항의 절댓값 합 = 10 3 \text{양수항의 합}=\frac{20}{3},\qquad
\text{음수항의 절댓값 합}=\frac{10}{3} 양수항의 합 = 3 20 , 음수항의 절댓값 합 = 3 10 \[\text{양수항의 합}=\frac{20}{3},\qquad
\text{음수항의 절댓값 합}=\frac{10}{3}\] 절댓값 급수 조건은 양수항과 음수항을 분리하라는 신호다. 공비가 양수이면 모든 항의 부호가 같으므로 두 급수 중 하나는 0 0 0 \(0\) 이 된다.
공비를 − q -q − q \(-q\) 라 두면 무한급수가 수렴해야 하므로 0 < q < 1 0<q<1 0 < q < 1 \(0<q<1\) 이다.a 1 = A ( A > 0 ) a_1=A\,(A>0) a 1 = A ( A > 0 ) \(a_1=A\,(A>0)\) 라 두면 다음과 같다.
a n = A ( − q ) n − 1 a_n=A(-q)^{n-1} a n = A ( − q ) n − 1 \[a_n=A(-q)^{n-1}\] 양수항과 음수항 절댓값의 합을 쓰면
A 1 − q 2 = 20 3 , A q 1 − q 2 = 10 3 \frac{A}{1-q^2}=\frac{20}{3},\qquad
\frac{Aq}{1-q^2}=\frac{10}{3} 1 − q 2 A = 3 20 , 1 − q 2 A q = 3 10 \[\frac{A}{1-q^2}=\frac{20}{3},\qquad
\frac{Aq}{1-q^2}=\frac{10}{3}\] 이다.q = 1 2 q=\frac12 q = 2 1 \(q=\frac12\) 이고, 다시 대입하면 A = 5 A=5 A = 5 \(A=5\) 이다.
a n = 5 ( − 1 2 ) n − 1 a_n=5\left(-\frac12\right)^{n-1} a n = 5 ( − 2 1 ) n − 1 \[a_n=5\left(-\frac12\right)^{n-1}\] 긴 합은 부호 주기부터 확인한다
이제 남은 부등식의 왼쪽을 m m m \(m\) 에 대한 식으로 바꾼다.( − 1 ) k ( k + 1 ) 2 (-1)^{\frac{k(k+1)}2} ( − 1 ) 2 k ( k + 1 ) \((-1)^{\frac{k(k+1)}2}\) 의 부호를 앞에서부터 쓰면 다음과 같다.
k 1 2 3 4 5 6 7 8 ( − 1 ) k ( k + 1 ) 2 − − + + − − + + \begin{array}{c|cccccccc}
k&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
(-1)^{\frac{k(k+1)}2}&-&-&+&+&-&-&+&+
\end{array} k ( − 1 ) 2 k ( k + 1 ) 1 − 2 − 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + 8 + \[\begin{array}{c|cccccccc}
k&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
(-1)^{\frac{k(k+1)}2}&-&-&+&+&-&-&+&+
\end{array}\] 부호가 − − + + --++ − − + + \(--++\) 로 네 항마다 반복된다.
a m + k = 5 ( − 1 2 ) m − 1 ( − 1 2 ) k a_{m+k}=5\left(-\frac12\right)^{m-1}\left(-\frac12\right)^k a m + k = 5 ( − 2 1 ) m − 1 ( − 2 1 ) k \[a_{m+k}=5\left(-\frac12\right)^{m-1}\left(-\frac12\right)^k\] 이므로, m m m \(m\) 에만 관계되는 부분을 밖으로 빼면 다음과 같다.
lim n → ∞ ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k ( k + 1 ) 2 a m + k = 5 ( − 1 2 ) m − 1 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) 2 ( − 1 2 ) k \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}a_{m+k}
=5\left(-\frac12\right)^{m-1}
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}\left(-\frac12\right)^k n → ∞ lim k = 1 ∑ 2 n ( − 1 ) 2 k ( k + 1 ) a m + k = 5 ( − 2 1 ) m − 1 k = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) 2 k ( k + 1 ) ( − 2 1 ) k \[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}a_{m+k}
=5\left(-\frac12\right)^{m-1}
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}\left(-\frac12\right)^k\] 원래 위끝은 2 n 2n 2 n \(2n\) 이지만 항의 절댓값이 등비적으로 줄어드는 수렴급수이므로, 극한에서는 같은 무한급수로 정리된다.
네 항 블록 하나만 계산한다
이제 내부 급수만 계산하면 된다.− − + + --++ − − + + \(--++\) 와 ( − 1 2 ) k \left(-\frac12\right)^k ( − 2 1 ) k \(\left(-\frac12\right)^k\) 가 함께 곱해져 다음 값을 만든다.
1 2 − 1 4 − 1 8 + 1 16 = 3 16 \frac12-\frac14-\frac18+\frac1{16}=\frac3{16} 2 1 − 4 1 − 8 1 + 16 1 = 16 3 \[\frac12-\frac14-\frac18+\frac1{16}=\frac3{16}\] 다음 네 항은 모두 앞 네 항에 ( − 1 2 ) 4 = 1 16 \left(-\frac12\right)^4=\frac1{16} ( − 2 1 ) 4 = 16 1 \(\left(-\frac12\right)^4=\frac1{16}\) 을 곱한 것이므로, 내부 급수는 등비급수이다.
3 16 ( 1 + 1 16 + 1 16 2 + ⋯ ) = 3 16 ⋅ 16 15 = 1 5 \frac3{16}\left(1+\frac1{16}+\frac1{16^2}+\cdots\right)
=\frac3{16}\cdot\frac{16}{15}
=\frac15 16 3 ( 1 + 16 1 + 1 6 2 1 + ⋯ ) = 16 3 ⋅ 15 16 = 5 1 \[\frac3{16}\left(1+\frac1{16}+\frac1{16^2}+\cdots\right)
=\frac3{16}\cdot\frac{16}{15}
=\frac15\] 긴 합은 네 항 블록 하나를 계산한 뒤 등비급수로 처리한다. 따라서 극한합은 다음과 같이 단순해진다.
5 ( − 1 2 ) m − 1 ⋅ 1 5 = ( − 1 2 ) m − 1 5\left(-\frac12\right)^{m-1}\cdot\frac15
=\left(-\frac12\right)^{m-1} 5 ( − 2 1 ) m − 1 ⋅ 5 1 = ( − 2 1 ) m − 1 \[5\left(-\frac12\right)^{m-1}\cdot\frac15
=\left(-\frac12\right)^{m-1}\] 원래 부등식은 아래 하나로 바뀐다.
( − 1 2 ) m − 1 > 1 700 \left(-\frac12\right)^{m-1}>\frac1{700} ( − 2 1 ) m − 1 > 700 1 \[\left(-\frac12\right)^{m-1}>\frac1{700}\] 부호로 먼저 m을 줄인다
오른쪽은 양수다.m − 1 m-1 m − 1 \(m-1\) 은 짝수이고, m m m \(m\) 은 홀수다.짝수 m m m \(m\) 은 크기 비교를 할 필요 없이 제외된다.
m m m \(m\) 이 홀수이면
( − 1 2 ) m − 1 = 1 2 m − 1 \left(-\frac12\right)^{m-1}=\frac1{2^{m-1}} ( − 2 1 ) m − 1 = 2 m − 1 1 \[\left(-\frac12\right)^{m-1}=\frac1{2^{m-1}}\] 이므로 부등식은 다음과 같다.
1 2 m − 1 > 1 700 \frac1{2^{m-1}}>\frac1{700} 2 m − 1 1 > 700 1 \[\frac1{2^{m-1}}>\frac1{700}\] 양수의 역수끼리 비교하면 2 m − 1 < 700 2^{m-1}<700 2 m − 1 < 700 \(2^{m-1}<700\) 이다.
2 9 = 512 < 700 , 2 10 = 1024 > 700 2^9=512<700,\qquad 2^{10}=1024>700 2 9 = 512 < 700 , 2 10 = 1024 > 700 \[2^9=512<700,\qquad 2^{10}=1024>700\] 따라서 가능한 홀수 자연수는 m = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 m=1,3,5,7,9 m = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \(m=1,3,5,7,9\) 이다.
양수 조건과 2의 거듭제곱 경계로 가능한 m을 거른다. 구하는 합은 다음과 같다.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 1+3+5+7+9=25 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 \[1+3+5+7+9=25\] 따라서 정답은 25 25 25 \(25\) 이다.
검산과 다시 사용할 판단 기준
a n = 5 ( − 1 2 ) n − 1 a_n=5\left(-\frac12\right)^{n-1} a n = 5 ( − 2 1 ) n − 1 \(a_n=5\left(-\frac12\right)^{n-1}\) 을 처음 조건에 넣으면 양수항의 합은 5 + 5 4 + 5 16 + ⋯ = 20 3 5+\frac54+\frac5{16}+\cdots=\frac{20}{3} 5 + 4 5 + 16 5 + ⋯ = 3 20 \(5+\frac54+\frac5{16}+\cdots=\frac{20}{3}\) 이고, 음수항의 절댓값 합은 5 2 + 5 8 + 5 32 + ⋯ = 10 3 \frac52+\frac58+\frac5{32}+\cdots=\frac{10}{3} 2 5 + 8 5 + 32 5 + ⋯ = 3 10 \(\frac52+\frac58+\frac5{32}+\cdots=\frac{10}{3}\) 이다.40 3 \frac{40}{3} 3 40 \(\frac{40}{3}\) , 20 3 \frac{20}{3} 3 20 \(\frac{20}{3}\) 이 된다.
마지막 경계도 맞다.m = 9 m=9 m = 9 \(m=9\) 이면 왼쪽은 1 256 \frac1{256} 256 1 \(\frac1{256}\) 으로 1 700 \frac1{700} 700 1 \(\frac1{700}\) 보다 크고, 다음 홀수인 m = 11 m=11 m = 11 \(m=11\) 이면 1 1024 \frac1{1024} 1024 1 \(\frac1{1024}\) 로 1 700 \frac1{700} 700 1 \(\frac1{700}\) 보다 작다.m m m \(m\) 은 없다.
이 문제에서 남길 판단 기준은 두 가지다.∣ a n ∣ + a n |a_n|+a_n ∣ a n ∣ + a n \(|a_n|+a_n\) 과 ∣ a n ∣ − a n |a_n|-a_n ∣ a n ∣ − a n \(|a_n|-a_n\) 이 동시에 나오면 전체합이 아니라 양수항과 음수항을 분리한다.( − 1 ) 식 (-1)^{\text{식}} ( − 1 ) 식 \((-1)^{\text{식}}\) 이 붙으면 먼저 부호 주기를 확인한다.
문항코드: 251129c
