X={1,2,3,4,5,6}에서 X로 가는 함수 f의 개수를 센다 f(1)f(6)은 6의 약수이므로 가능한 곱은 1,2,3,6이다 조건 (나)의 양끝에서 f(1)≤f(6)이 필요하다 가운데 네 값 f(2), f(3), f(4), f(5)는 비감소 순서로 정렬되어 있다 함수값은 항상 공역 X의 원소이므로 6을 넘을 수 없다

2025학년도 수능 확률과 통계 28번 풀이 | 함수 개수와 중복조합 [251128p]

들어가기 앞서…

이 문제는 함수 전체를 한꺼번에 세는 문제가 아니다.
두 조건에 반복해서 등장하는 $f(1)$ $f(1)$과 $f(6)$ $f(6)$을 먼저 고정하고, 가운데 네 값을 정렬된 선택으로 바꾸어 세는 문제이다.

특히 $f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$ $f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$가 이미 주어져 있으므로, 가운데 네 값을 독립적으로 뽑는 $m^4$ $m^4$ 계산으로 가면 안 된다.
비감소 순서의 네 칸을 채우는 중복조합으로 바꾸어야 한다.

문제

문제 텍스트 객관식

집합 $X=\{1,2,3,4,5,6\}$ $X=\{1,2,3,4,5,6\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$ $f:X\to X$의 개수는?

\begin{aligned} (\text{가})\quad&f(1)\times f(6)\text{의 값이 }6\text{의 약수이다.}\\ (\text{나})\quad&2f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)\le 2f(6) \end{aligned}

① $166$ $166$
② $171$ $171$
③ $176$ $176$
④ $181$ $181$
⑤ $186$ $186$

정답

②

풀이

양끝값부터 고정한다

처음부터 $f:X\to X$ $f:X\to X$ 전체를 세려고 하면 경우가 너무 넓다.
먼저 두 조건을 훑어 보면 둘 다 $f(1)$ $f(1)$과 $f(6)$ $f(6)$을 중심으로 움직인다.
하나는 곱 $f(1)f(6)$ $f(1)f(6)$을 제한하고, 다른 하나는 $2f(1)$ $2f(1)$과 $2f(6)$ $2f(6)$을 부등식의 양끝에 놓는다.

그래서 $a=f(1),\ b=f(6)$ $a=f(1),\ b=f(6)$으로 둔다.
조건 (나)의 양끝만 먼저 보면 $2a\le f(2)\le\cdots\le f(5)\le2b$ $2a\le f(2)\le\cdots\le f(5)\le2b$이므로, 중간 네 값이 존재하려면 $2a\le2b$ $2a\le2b$, 즉 $a\le b$ $a\le b$이어야 한다.
이 한 줄 때문에 곱이 같은 대칭 쌍을 둘 다 볼 필요가 없어진다.

a=f(1), b=f(6)으로 두면 조건 (나)에서 a<=b가 필요하고, ab가 6의 약수라는 조건과 합쳐 다섯 양끝값만 남기는 필터. — 조건에 반복해서 등장하는 양끝값 f(1), f(6)부터 고정한다.

조건 (가)에서 $ab$ $ab$는 $6$ $6$의 약수이므로 $ab\in\{1,2,3,6\}$ $ab\in\{1,2,3,6\}$이다.
여기에 $a\le b$ $a\le b$를 함께 적용하면 가능한 양끝값은 다음 다섯 가지뿐이다.

$ab$ $ab$	가능한 $(a,b)=(f(1),f(6))$ $(a,b)=(f(1),f(6))$
$1$ $1$	$(1,1)$ $(1,1)$
$2$ $2$	$(1,2)$ $(1,2)$
$3$ $3$	$(1,3)$ $(1,3)$
$6$ $6$	$(1,6),\ (2,3)$ $(1,6),\ (2,3)$

이제 함수 전체의 경우를 세는 문제가 아니라, 위 다섯 가지 양끝값 각각에 대해 가운데 네 칸 $f(2),f(3),f(4),f(5)$ $f(2),f(3),f(4),f(5)$를 채우는 문제로 바뀐다.

가운데 네 칸은 정렬된 선택이다

양끝값 $(a,b)$ $(a,b)$가 정해졌다고 하자.
조건 (나)는 가운데 네 값이 $2a$ $2a$ 이상 $2b$ $2b$ 이하이고, 동시에

f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)

로 정렬되어 있다는 뜻이다.
따라서 네 값을 독립적으로 고르는 문제가 아니다.
가능한 값의 종류가 $m$ $m$개라면, 정렬된 네 칸을 채우는 경우의 수는 중복조합 ${}_mH_4=\binom{m+3}{4}$ ${}_mH_4=\binom{m+3}{4}$이다.

여기서 범위를 한 번 더 확인해야 한다.
공역이 $X=\{1,2,3,4,5,6\}$ $X=\{1,2,3,4,5,6\}$이므로 함수값은 항상 $6$ $6$ 이하이다.
따라서 가운데 네 값이 실제로 고를 수 있는 값은 $2a$ $2a$부터 $\min(2b,6)$ $\min(2b,6)$까지이다.

(a,b)별 가운데 네 값 f(2), f(3), f(4), f(5)를 2a부터 min(2b,6)까지의 비감소 수열로 보고 중복조합으로 세어 171을 합산하는 계산. — 가운데 네 칸은 가능한 값의 종류 m개에서 고르는 비감소 수열이다.

특히 $(a,b)=(1,6)$ $(a,b)=(1,6)$일 때 부등식의 오른쪽은 $12$ $12$처럼 보이지만, 함수값으로는 $7,8,\ldots,12$ $7,8,\ldots,12$를 쓸 수 없다.
실제 상한은 $2b$ $2b$와 공역의 최댓값 $6$ $6$ 중 작은 값이다.

남은 다섯 경우만 계산한다

각 경우마다 가능한 값의 종류 $m$ $m$만 세면 된다.

$(a,b)$ $(a,b)$	가운데 네 값의 후보	$m$ $m$	경우의 수
$(1,1)$ $(1,1)$	$\{2\}$ $\{2\}$	$1$ $1$	$\binom44=1$ $\binom44=1$
$(1,2)$ $(1,2)$	$\{2,3,4\}$ $\{2,3,4\}$	$3$ $3$	$\binom64=15$ $\binom64=15$
$(1,3)$ $(1,3)$	$\{2,3,4,5,6\}$ $\{2,3,4,5,6\}$	$5$ $5$	$\binom84=70$ $\binom84=70$
$(1,6)$ $(1,6)$	$\{2,3,4,5,6\}$ $\{2,3,4,5,6\}$	$5$ $5$	$\binom84=70$ $\binom84=70$
$(2,3)$ $(2,3)$	$\{4,5,6\}$ $\{4,5,6\}$	$3$ $3$	$\binom64=15$ $\binom64=15$

따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 다음과 같다.

1+15+70+70+15=171

조건을 만족시키는 함수의 개수는 $171$ $171$이므로 선택지는 ②이다.

다시 풀 때는 양끝값과 정렬 조건을 분리한다

이 문제에서 가장 먼저 볼 것은 함수 전체가 아니라 조건에 반복해서 등장하는 특수한 함수값이다.
$f(1)$ $f(1)$과 $f(6)$ $f(6)$이 곱 조건과 부등식의 양끝에 동시에 등장하므로, 양끝값을 먼저 고정해야 한다.

또 $f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$ $f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$처럼 순서가 이미 정해져 있으면 네 값을 독립 선택으로 세지 않는다.
가능한 값의 종류를 세고, 정렬된 네 칸을 채우는 중복조합으로 바꾼다.

마지막으로 공역 제한을 끝까지 유지해야 한다.
부등식에 $2f(6)$ $2f(6)$이 있어도 함수값은 $X$ $X$의 원소이므로 $6$ $6$을 넘을 수 없다.

문항코드: 251128p

$ab$ \(ab\)	가능한 $(a,b)=(f(1),f(6))$ \((a,b)=(f(1),f(6))\)
$1$ \(1\)	$(1,1)$ \((1,1)\)
$2$ \(2\)	$(1,2)$ \((1,2)\)
$3$ \(3\)	$(1,3)$ \((1,3)\)
$6$ \(6\)	$(1,6),\ (2,3)$ \((1,6),\ (2,3)\)

$(a,b)$ \((a,b)\)	가운데 네 값의 후보	$m$ \(m\)	경우의 수
$(1,1)$ \((1,1)\)	$\{2\}$ \(\{2\}\)	$1$ \(1\)	$\binom44=1$ \(\binom44=1\)
$(1,2)$ \((1,2)\)	$\{2,3,4\}$ \(\{2,3,4\}\)	$3$ \(3\)	$\binom64=15$ \(\binom64=15\)
$(1,3)$ \((1,3)\)	$\{2,3,4,5,6\}$ \(\{2,3,4,5,6\}\)	$5$ \(5\)	$\binom84=70$ \(\binom84=70\)
$(1,6)$ \((1,6)\)	$\{2,3,4,5,6\}$ \(\{2,3,4,5,6\}\)	$5$ \(5\)	$\binom84=70$ \(\binom84=70\)
$(2,3)$ \((2,3)\)	$\{4,5,6\}$ \(\{4,5,6\}\)	$3$ \(3\)	$\binom64=15$ \(\binom64=15\)