P(X =40-x)는 X의 대칭축이 20임을 뜻한다 P(Y<=x)=P(X<=x+10)는 Y가 X-10과 같은 분포임을 뜻한다 두 확률구간은 표준화 후 [0,5/sigma]와 [5/sigma,10/sigma]로 이어진다 표준정규분포표에서 P(0<=Z<=2.0)=0.4772를 사용한다

2025학년도 수능 확률과 통계 29번 풀이 | 정규분포의 대칭과 표준화 [251129p]

들어가기 앞서…

이 문제는 정규분포 두 개를 바로 표준화하는 문제처럼 보이지만, 먼저 누적확률 조건이 분포의 위치를 어떻게 정하는지 읽어야 한다.
첫 조건은 $X$ $X$의 중심이 어디인지를 알려 주고, 둘째 조건은 $Y$ $Y$가 $X$ $X$를 평행이동한 분포임을 알려 준다.

두 분포의 평균과 표준편차 관계가 정해지면 마지막 확률 계산은 표준정규분포표의 한 구간으로 정리된다.

문제

문제 텍스트 주관식

정규분포 $\mathrm{N}(m_1,\sigma_1^2)$ $\mathrm{N}(m_1,\sigma_1^2)$을 따르는 확률변수 $X$ $X$와 정규분포 $\mathrm{N}(m_2,\sigma_2^2)$ $\mathrm{N}(m_2,\sigma_2^2)$을 따르는 확률변수 $Y$ $Y$가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $x$ $x$에 대하여 다음 두 식이 성립한다.

P(X \le x)=P(X \ge 40-x)

P(Y \le x)=P(X \le x+10)

$P(15 \le X \le 20)+P(15 \le Y \le 20)$ $P(15 \le X \le 20)+P(15 \le Y \le 20)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 $0.4772$ $0.4772$일 때, $m_1+\sigma_2$ $m_1+\sigma_2$의 값을 구하시오.

단, $\sigma_1$ $\sigma_1$과 $\sigma_2$ $\sigma_2$는 양수이다.

$z$ $z$	$P(0 \le Z \le z)$ $P(0 \le Z \le z)$
$0.5$ $0.5$	$0.1915$ $0.1915$
$1.0$ $1.0$	$0.3413$ $0.3413$
$1.5$ $1.5$	$0.4332$ $0.4332$
$2.0$ $2.0$	$0.4772$ $0.4772$

정답

풀이

x=20으로 X의 중심을 찾는다

첫 번째 조건에서 바로 넣어 볼 값은 $x=20$ $x=20$이다.
이때 $x$ $x$와 $40-x$ $40-x$가 같은 값이 되므로 조건이 가장 단순해진다.

P(X\le20)=P(X\ge20)

정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭이고, 연속확률변수에서는 한 점의 확률이 $0$ $0$이다.
따라서 $20$ $20$을 기준으로 왼쪽 확률과 오른쪽 확률이 같다는 말은 $20$ $20$이 $X$ $X$의 중심이라는 뜻이다.

P(X<=x)=P(X>=40-x)에서 x와 40-x의 중점이 20이므로 X의 대칭축과 평균이 m_1=20임을 보여 주는 정규분포 그림. — 첫 조건은 X의 정규분포 곡선이 20을 중심으로 대칭임을 알려 준다.

전체 조건으로 보아도 같은 결론이 나온다.
임의의 $x$ $x$에 대해 $x$ $x$와 $40-x$ $40-x$의 중점은 항상 $20$ $20$이다.
그러므로 첫 번째 조건은 확률값을 바로 구하라는 조건이 아니라 $X$ $X$의 정규분포 곡선의 대칭축을 주는 조건이다.

따라서 $m_1=20$ $m_1=20$이다.

Y는 X-10과 같은 분포다

두 번째 조건은 다음과 같다.

P(Y\le x)=P(X\le x+10)

오른쪽의 $P(X\le x+10)$ $P(X\le x+10)$은 $P(X-10\le x)$ $P(X-10\le x)$와 같다.
따라서 모든 실수 $x$ $x$에 대해 아래 식이 성립한다.

P(Y\le x)=P(X-10\le x)

누적확률이 모든 $x$ $x$에서 같으므로 $Y$ $Y$는 $X-10$ $X-10$과 같은 분포를 가진다.
앞에서 $X\sim\mathrm{N}(20,\sigma_1^2)$ $X\sim\mathrm{N}(20,\sigma_1^2)$임을 알았으므로, $X-10\sim\mathrm{N}(10,\sigma_1^2)$ $X-10\sim\mathrm{N}(10,\sigma_1^2)$이다.

P(Y<=x)=P(X<=x+10)=P(X-10<=x)이므로 Y가 X를 왼쪽으로 10 옮긴 분포라 m_2=10, sigma_2=sigma_1임을 나타내는 그림. — 둘째 조건은 Y가 X를 왼쪽으로 10만큼 옮긴 분포임을 뜻한다.

따라서 $Y\sim\mathrm{N}(10,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathrm{N}(10,\sigma_1^2)$이고, 원래 $Y\sim\mathrm{N}(m_2,\sigma_2^2)$ $Y\sim\mathrm{N}(m_2,\sigma_2^2)$였으므로 $m_2=10$ $m_2=10$, $\sigma_2=\sigma_1$ $\sigma_2=\sigma_1$이다.

이제 구해야 하는 값은 $m_1+\sigma_2$ $m_1+\sigma_2$이다.
이미 $m_1=20$ $m_1=20$이고 $\sigma_2=\sigma_1$ $\sigma_2=\sigma_1$이므로, 공통 표준편차를 $\sigma$ $\sigma$라 두면 된다.

X\sim \mathrm{N}(20,\sigma^2),\qquad Y\sim \mathrm{N}(10,\sigma^2)

표준화하면 두 구간이 이어진다

표준정규분포표는 $P(0\le Z\le z)$ $P(0\le Z\le z)$ 꼴의 값을 준다.
그러므로 두 확률을 따로 표에서 찾기보다, 표준화한 뒤 $0$ $0$에서 시작하는 하나의 구간으로 붙는지를 확인한다.

$X$ $X$의 평균은 $20$ $20$이다.
구간 $[15,20]$ $[15,20]$은 평균의 왼쪽에서 평균까지 오는 구간이므로 다음과 같이 표준화된다.

P(15\le X\le20) =P\left(-\frac5\sigma\le Z\le0\right) =P\left(0\le Z\le\frac5\sigma\right)

$Y$ $Y$의 평균은 $10$ $10$이다.
같은 구간 $[15,20]$ $[15,20]$은 평균에서 오른쪽으로 $5$ $5$부터 $10$ $10$까지 떨어진 구간이다.

P(15\le Y\le20) =P\left(\frac5\sigma\le Z\le\frac{10}{\sigma}\right)

두 구간은 $\frac5\sigma$ $\frac5\sigma$에서 바로 이어진다.
한 점의 확률은 $0$ $0$이므로 중복을 걱정하지 않아도 된다.

P(15\le X\le20)+P(15\le Y\le20) =P\left(0\le Z\le\frac{10}{\sigma}\right)

P(15<=X<=20)=P(0<=Z<=5/sigma), P(15<=Y<=20)=P(5/sigma<=Z<=10/sigma)로 이어져 P(0<=Z<=10/sigma)=0.4772가 되는 표준화 그림. — 두 확률구간은 표준화 후 하나의 표준정규분포 구간으로 붙는다.

표에서 sigma를 결정한다

문제에서 두 확률의 합이 $0.4772$ $0.4772$라고 했다.
표준정규분포표에서 $P(0\le Z\le2.0)=0.4772$ $P(0\le Z\le2.0)=0.4772$이므로 $\frac{10}{\sigma}=2$ $\frac{10}{\sigma}=2$이다.

따라서 $\sigma=5$ $\sigma=5$이고, $\sigma_2=5$ $\sigma_2=5$이다.
그러므로 $m_1+\sigma_2=20+5=25$ $m_1+\sigma_2=20+5=25$이다.

정답은 25이다.

값이 맞는지 다시 확인한다

$\sigma=5$ $\sigma=5$일 때 첫 확률은 다음과 같다.

P(15\le X\le20)=P(-1\le Z\le0)=0.3413

둘째 확률은 $P(1\le Z\le2)=0.4772-0.3413=0.1359$ $P(1\le Z\le2)=0.4772-0.3413=0.1359$이다.
두 값을 더하면 $0.3413+0.1359=0.4772$ $0.3413+0.1359=0.4772$로 문제의 조건과 일치한다.

다시 풀 때는 표준화 계산보다 분포의 위치 관계를 먼저 본다.
모든 실수 $x$ $x$에 대한 누적확률 조건은 한 점의 확률 계산보다 대칭축이나 평행이동을 말하는 경우가 많다.

문항코드: 251129p

$z$ \(z\)	$P(0 \le Z \le z)$ \(P(0 \le Z \le z)\)
$0.5$ \(0.5\)	$0.1915$ \(0.1915\)
$1.0$ \(1.0\)	$0.3413$ \(0.3413\)
$1.5$ \(1.5\)	$0.4332$ \(0.4332\)
$2.0$ \(2.0\)	$0.4772$ \(0.4772\)