삼각형 ABC에서 D는 AB 위에 있고 AD:DB=3:2이다 점 A를 중심으로 하고 D를 지나는 원 O가 선분 AC와 만나는 점을 E라 한다 sin A:sin C=8:5이고, 삼각형 ADE와 삼각형 ABC의 넓이비가 9:35이다 삼각형 ABC의 외접원의 반지름은 7이고 AB<AC이다 원 O 위의 점 P에 대해 삼각형 PBC의 넓이 최댓값을 구한다

2025학년도 수능 수학 14번 풀이 | 사인비와 외접원 반지름 [251114]

들어가기 앞서…

이 문제는 각을 직접 구하는 계산보다, 원의 반지름 하나를 기준으로 길이를 정리하는 첫 손동작이 중요하다.
작은 원의 반지름을 $r$ $r$로 두면 넓이비와 사인비가 차례로 세 변의 길이를 정해 준다.

마지막 최댓값도 점 $P$ $P$의 좌표를 찾는 문제가 아니다.
밑변 $BC$ $BC$가 고정되어 있으므로, 원 위의 점에서 직선 $BC$ $BC$까지의 최대 거리를 구하는 문제로 바꾸면 된다.

문제

문제 텍스트 객관식

그림과 같이 삼각형 $ABC$ $ABC$에서 선분 $AB$ $AB$ 위에 $AD:DB=3:2$ $AD:DB=3:2$인 점 $D$ $D$를 잡고, 점 $A$ $A$를 중심으로 하고 점 $D$ $D$를 지나는 원을 $O$ $O$, 원 $O$ $O$와 선분 $AC$ $AC$가 만나는 점을 $E$ $E$라 하자.

\sin A:\sin C=8:5

이고, 삼각형 $ADE$ $ADE$와 삼각형 $ABC$ $ABC$의 넓이의 비가 $9:35$ $9:35$이다. 삼각형 $ABC$ $ABC$의 외접원의 반지름의 길이가 $7$ $7$일 때, 원 $O$ $O$ 위의 점 $P$ $P$에 대하여 삼각형 $PBC$ $PBC$의 넓이의 최댓값은?

단, $AB<AC$ $AB<AC$이다.

① $18+15\sqrt3$ $18+15\sqrt3$
② $24+20\sqrt3$ $24+20\sqrt3$
③ $30+25\sqrt3$ $30+25\sqrt3$
④ $36+30\sqrt3$ $36+30\sqrt3$
⑤ $42+35\sqrt3$ $42+35\sqrt3$

정답

④

풀이

원의 반지름을 먼저 표시한다

점 $A$ $A$가 원 $O$ $O$의 중심이고 원이 점 $D$ $D$를 지난다.
또 원 $O$ $O$가 선분 $AC$ $AC$와 만나는 점이 $E$ $E$이므로 $AD$ $AD$와 $AE$ $AE$는 같은 반지름이다.

원의 반지름을 $r$ $r$이라 두면 다음과 같다.

AD=AE=r

$AD:DB=3:2$ $AD:DB=3:2$이므로 $DB=\frac23r$ $DB=\frac23r$이고, 따라서 $AB=\frac53r$ $AB=\frac53r$이다.

AD=AE=r, AD:DB=3:2에서 AB=5r/3을 두고 넓이비로 AC=7r/3, 사인비로 BC=8r/3을 얻는 길이 구조화. — 작은 원의 반지름 r을 기준으로 주변 길이를 정리한다.

남은 길이 $AC$ $AC$도 같은 기준으로 표현한다.
점 $E$ $E$가 선분 $AC$ $AC$ 위에 있으므로 $CE=x$ $CE=x$라고 두면 $AC=r+x$ $AC=r+x$이다.

삼각형 $ADE$ $ADE$와 삼각형 $ABC$ $ABC$는 둘 다 끼인각이 $\angle A$ $\angle A$이다.
같은 각을 끼고 있는 두 변의 곱이 넓이를 결정하므로 다음과 같다.

[ADE]=\frac12 r^2\sin A,\qquad [ABC]=\frac12\cdot\frac53r\cdot(r+x)\sin A

넓이의 비가 $9:35$ $9:35$이므로 다음 식을 얻는다.

\frac{\frac12r^2\sin A}{\frac12\cdot\frac53r(r+x)\sin A} =\frac9{35}

정리하면 $x=\frac43r$ $x=\frac43r$이고, 따라서 $AC=r+x=\frac73r$ $AC=r+x=\frac73r$이다.
넓이비 조건은 넓이를 직접 구하라는 조건이 아니라, $AC$ $AC$를 반지름 $r$ $r$의 배수로 정해 주는 조건이다.

사인비로 세 번째 변을 정한다

이제 $\sin A:\sin C=8:5$ $\sin A:\sin C=8:5$를 본다.
실제 각을 먼저 구하려고 하지 말고, 사인법칙으로 각의 사인비를 대변의 비로 바꾼다.

$\angle A$ $\angle A$의 대변은 $BC$ $BC$이고, $\angle C$ $\angle C$의 대변은 $AB$ $AB$이다.
따라서 다음이 성립한다.

\frac{BC}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}=\frac85

앞에서 $AB=\frac53r$ $AB=\frac53r$였으므로 $BC=\frac83r$ $BC=\frac83r$이다.
이제 삼각형 $ABC$ $ABC$의 세 변은 모두 $r$ $r$의 배수로 정해졌다.

AB=\frac53r,\qquad AC=\frac73r,\qquad BC=\frac83r

문제의 조건 $AB<AC$ $AB<AC$도 $\frac53r<\frac73r$ $\frac53r<\frac73r$이므로 이 배치와 맞다.
이 시점에서 실제 크기 $r$ $r$은 아직 모르지만, 삼각형의 모양은 $5:7:8$ $5:7:8$로 확정되어 있다.

외접원의 반지름 7로 r을 구한다

외접원의 반지름을 쓰려면 한 변과 그 대각의 사인값이 필요하다.
여기서는 $AB=\frac53r$ $AB=\frac53r$이고, $AB$ $AB$의 대각은 $\angle C$ $\angle C$이다.

세 변이 모두 $r$ $r$의 배수로 정해졌으므로 $\angle C$ $\angle C$는 코사인법칙으로 구한다.
$\angle C$ $\angle C$는 변 $AC$ $AC$와 $BC$ $BC$ 사이의 각이고, 그 대변은 $AB$ $AB$이다.

AB:AC:BC=5:7:8에서 cos C=11/14, sin C=5√3/14를 구하고 AB/sin C=2R=14로 r=3√3과 실제 변 길이를 정하는 계산. — 외접원의 반지름 7을 이용해 작은 원의 반지름 r을 정한다.

코사인법칙을 적용하면 다음과 같다.

\cos C =\frac{\left(\frac83r\right)^2+\left(\frac73r\right)^2-\left(\frac53r\right)^2} {2\cdot\frac83r\cdot\frac73r} =\frac{11}{14}

따라서 $\sin C$ $\sin C$는 다음과 같다.

\sin C=\sqrt{1-\left(\frac{11}{14}\right)^2} =\frac{5\sqrt3}{14}

삼각형 $ABC$ $ABC$의 외접원의 반지름이 $7$ $7$이므로 $2R=14$ $2R=14$이다.
사인법칙을 $AB$ $AB$와 $\angle C$ $\angle C$에 적용한다.

\frac{AB}{\sin C}=14

즉 다음 식에서 $r$ $r$이 정해진다.

\frac{\frac53r}{\frac{5\sqrt3}{14}}=14

따라서 $r=3\sqrt3$ $r=3\sqrt3$이다.
실제 길이는 다음과 같다.

AB=5\sqrt3,\qquad AC=7\sqrt3,\qquad BC=8\sqrt3

점 P의 문제는 거리 최댓값이다

이제 원 $O$ $O$ 위의 점 $P$ $P$에 대하여 삼각형 $PBC$ $PBC$의 넓이를 최대로 해야 한다.
밑변 $BC$ $BC$는 고정되어 있으므로 넓이는 점 $P$ $P$에서 직선 $BC$ $BC$까지의 거리에 의해 결정된다.

고정된 밑변 BC=8√3에서 원 위 점 P까지의 최대 높이가 PH=AH+r=15/2+3√3이 되어 삼각형 PBC의 넓이 최댓값 36+30√3을 얻는 도형 관계. — 고정된 밑변 BC에서 원 위 점 P까지의 최대 높이를 구한다.

원의 중심은 $A$ $A$이고 반지름은 $r$ $r$이다.
그러므로 직선 $BC$ $BC$에서 가장 먼 원 위의 점은, $A$ $A$에서 $BC$ $BC$에 내린 수선 방향으로 바깥쪽에 있는 점이다.

먼저 점 $A$ $A$에서 직선 $BC$ $BC$까지의 거리를 구한다.
$\angle C$ $\angle C$를 이미 구했으므로, $A$ $A$에서 $BC$ $BC$에 내린 높이는 $AC\sin C$ $AC\sin C$이다.

AC\sin C =7\sqrt3\cdot\frac{5\sqrt3}{14} =\frac{15}{2}

원 $O$ $O$의 반지름은 $r=3\sqrt3$ $r=3\sqrt3$이므로, 점 $P$ $P$에서 직선 $BC$ $BC$까지의 최대 거리는 다음과 같다.

\frac{15}{2}+3\sqrt3

따라서 삼각형 $PBC$ $PBC$의 넓이 최댓값은 아래와 같다.

\begin{aligned} \frac12\cdot BC\cdot\left(\frac{15}{2}+3\sqrt3\right) &=\frac12\cdot8\sqrt3\left(\frac{15}{2}+3\sqrt3\right)\\ &=36+30\sqrt3 \end{aligned}

따라서 최댓값은 $36+30\sqrt3$ $36+30\sqrt3$이고, 정답은 ④이다.

막히기 쉬운 지점과 검산

$\sin A:\sin C=8:5$ $\sin A:\sin C=8:5$를 $AB:BC=8:5$ $AB:BC=8:5$로 뒤집으면 안 된다.
$\angle A$ $\angle A$의 대변은 $BC$ $BC$이고, $\angle C$ $\angle C$의 대변은 $AB$ $AB$이므로 $BC:AB=8:5$ $BC:AB=8:5$이다.

삼각형 $ADE$ $ADE$와 삼각형 $ABC$ $ABC$를 닮음으로 보면 안 된다.
두 삼각형은 같은 끼인각 $\angle A$ $\angle A$를 공유하지만, 대응변의 비가 같다고 주어진 것이 아니다.
이 조건은 닮음이 아니라 넓이비를 두 변의 곱의 비로 바꾸는 데 쓰인다.

또 외접원의 반지름 $7$ $7$과 원 $O$ $O$의 반지름 $r$ $r$을 구분해야 한다.
원 $O$ $O$의 반지름은 $AD=AE=r$ $AD=AE=r$이고, 외접원의 반지름은 삼각형 $ABC$ $ABC$ 전체에 대한 값이다.

검산도 간단하다.
$r=3\sqrt3$ $r=3\sqrt3$을 넣으면 $AB=5\sqrt3$ $AB=5\sqrt3$, $AC=7\sqrt3$ $AC=7\sqrt3$, $BC=8\sqrt3$ $BC=8\sqrt3$이므로 $AB<AC$ $AB<AC$가 맞다.
또한

\sin A:\sin C=BC:AB=8\sqrt3:5\sqrt3=8:5

이고, 넓이비도 다음처럼 돌아온다.

\frac{[ADE]}{[ABC]} =\frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC} =\frac{(3\sqrt3)(3\sqrt3)}{(5\sqrt3)(7\sqrt3)} =\frac9{35}

모든 조건이 원래 문제와 맞으므로 최댓값 $36+30\sqrt3$ $36+30\sqrt3$이 확정된다.

문항코드: 251114