초기 상태는 1,2번 앞면, 3,4,5번 뒷면이다 눈 k<=5는 k번째 동전 하나를 뒤집고, 눈 6은 모든 동전을 뒤집는다 세 번 시행 후 다섯 동전이 모두 앞면이 되어야 한다 필요한 뒤집힘 홀짝 목표는 (0,0,1,1,1)이다

2025학년도 수능 확률과 통계 30번 풀이 | 동전 뒤집기의 홀짝 추적 [251130p]

들어가기 앞서…

이 문제는 동전의 앞뒤 상태를 세 번 모두 직접 추적하는 문제처럼 보이지만, 실제로는 각 동전이 뒤집힌 횟수의 홀짝만 보면 된다.
앞면으로 시작해 앞면으로 끝나야 하는 동전은 짝수 번, 뒷면으로 시작해 앞면으로 끝나야 하는 동전은 홀수 번 뒤집혀야 한다.

눈 $6$ $6$은 모든 동전을 동시에 뒤집는다.
그래서 경우를 나누는 기준은 눈 $6$ $6$이 나온 횟수가 된다.

문제

문제 텍스트 주관식

탁자 위에 $5$ $5$개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 $5$ $5$개의 동전 중 $1$ $1$번째 자리와 $2$ $2$번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 $3$ $3$개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 $5$ $5$개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$ $k$일 때,

$k\le5$ $k\le5$이면 $k$ $k$번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고,
$k=6$ $k=6$이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 $3$ $3$번 반복한 후 이 $5$ $5$개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은 $\frac{q}{p}$ $\frac{q}{p}$이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오.

단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

풀이

목표 상태를 뒤집힘의 홀짝으로 바꾼다

처음 상태와 목표 상태를 나란히 놓고, 각 자리가 몇 번 뒤집혀야 하는지만 본다.

(\text{앞},\text{앞},\text{뒤},\text{뒤},\text{뒤}) \rightarrow (\text{앞},\text{앞},\text{앞},\text{앞},\text{앞})

1번, 2번 동전은 앞면에서 다시 앞면이 되어야 하므로 짝수 번 뒤집혀야 한다.
3번, 4번, 5번 동전은 뒷면에서 앞면이 되어야 하므로 홀수 번 뒤집혀야 한다.

초기 앞, 앞, 뒤, 뒤, 뒤를 모두 앞면으로 만들려면 1,2번은 짝수 번, 3,4,5번은 홀수 번 뒤집혀야 해 목표 홀짝 패턴 (0,0,1,1,1)이 되는 표. — 처음 상태와 목표 상태를 비교하면 필요한 뒤집힘의 홀짝이 바로 정해진다.

짝수를 $0$ $0$, 홀수를 $1$ $1$로 쓰면 목표 패턴은 다음과 같다.

(1\text{번},2\text{번},3\text{번},4\text{번},5\text{번})=(0,0,1,1,1)

이제 앞면과 뒷면을 계속 추적하지 않고, 각 자리가 뒤집힌 횟수의 홀짝만 추적하면 된다.

눈 6의 개수로 경우를 나눈다

주사위 눈이 $1,2,3,4,5$ $1,2,3,4,5$ 중 하나이면 해당 자리 하나만 뒤집힌다.
반면 눈이 $6$ $6$이면 다섯 자리가 모두 한 번씩 뒤집힌다.

즉 $1$ $1$부터 $5$ $5$까지의 눈은 한 자리의 홀짝만 바꾸고, 눈 $6$ $6$은 다섯 자리의 홀짝을 동시에 바꾼다.
따라서 경우 분류의 기준은 눈 $6$ $6$이 나온 횟수이다.

시행은 $3$ $3$번이므로 눈 $6$ $6$이 나온 횟수는 $0,1,2,3$ $0,1,2,3$ 중 하나다.
전체 $6^3=216$ $6^3=216$개의 결과를 직접 나열하지 않고, 이 네 경우에서 목표 패턴 $(0,0,1,1,1)$ $(0,0,1,1,1)$이 가능한지만 확인한다.

가능한 두 경우를 센다

눈 $6$ $6$이 한 번도 나오지 않으면 세 번 모두 한 자리씩만 뒤집는다.
목표 패턴을 만들려면 1번, 2번은 건드리지 않고 3번, 4번, 5번을 각각 한 번씩 뒤집어야 한다.

따라서 세 번의 주사위 눈은 $3,4,5$ $3,4,5$가 각각 한 번씩 나와야 한다.
순서가 있는 세 번의 시행이므로 가능한 결과는 $3!=6$ $3!=6$가지이다.

눈 $6$ $6$이 한 번 나오면 다섯 자리가 모두 한 번씩 뒤집힌다.
이때 뒤집힘의 홀짝은 일단 $(1,1,1,1,1)$ $(1,1,1,1,1)$이 된다.
목표 패턴 $(0,0,1,1,1)$ $(0,0,1,1,1)$과 비교하면 3번, 4번, 5번은 이미 맞고, 1번과 2번만 한 번씩 더 뒤집어야 한다.

따라서 남은 두 번의 주사위 눈은 $1,2$ $1,2$가 각각 한 번씩이어야 한다.
이 경우에는 세 번의 눈이 $1,2,6$ $1,2,6$으로 한 번씩 나와야 하므로 가능한 결과는 $3!=6$ $3!=6$가지이다.

눈 6이 0번이면 3,4,5가 각각 한 번, 눈 6이 1번이면 1,2,6이 각각 한 번 나와야 하므로 가능한 순서가 3!+3!=12개임을 세는 그림. — 눈 6이 0번 또는 1번인 경우만 목표 홀짝 패턴을 만들 수 있다.

지금까지 가능한 결과는 $6+6=12$ $6+6=12$가지이다.

불가능한 두 경우를 제거한다

눈 $6$ $6$이 두 번 나오면 전체 뒤집기가 두 번 일어나므로 다섯 자리 전체에 대한 홀짝 변화는 사라진다.
남는 것은 개별 뒤집기 한 번뿐이다.

그런데 목표 패턴 $(0,0,1,1,1)$ $(0,0,1,1,1)$은 3번, 4번, 5번 세 자리가 홀수 번 뒤집혀야 한다.
개별 뒤집기 한 번으로 세 자리를 동시에 홀수로 만들 수 없으므로 이 경우는 불가능하다.

눈 $6$ $6$이 세 번 나오면 모든 자리가 세 번씩 뒤집힌다.
그러면 홀짝 패턴은 $(1,1,1,1,1)$ $(1,1,1,1,1)$이 된다.
목표 패턴과 비교하면 1번, 2번이 맞지 않으므로 이 경우도 불가능하다.

눈 6이 두 번이면 전체 뒤집기가 상쇄되어 개별 한 번으로 홀수 세 칸을 만들 수 없고, 눈 6이 세 번이면 (1,1,1,1,1)이 되어 1,2번이 목표와 달라 불가능함을 보이는 그림. — 눈 6이 두 번 또는 세 번 나온 경우는 목표 패턴과 충돌한다.

확률을 계산한다

가능한 경우는 두 종류뿐이다.

눈 $6$ $6$이 한 번도 나오지 않고 $3,4,5$ $3,4,5$가 각각 한 번씩 나오는 경우: $6$ $6$가지
눈 $6$ $6$이 한 번 나오고 $1,2,6$ $1,2,6$이 각각 한 번씩 나오는 경우: $6$ $6$가지

따라서 조건을 만족하는 순서 있는 주사위 결과는 $12$ $12$가지이다.
전체 경우의 수는 주사위를 $3$ $3$번 던지는 것이므로 $6^3=216$ $6^3=216$가지이다.

구하는 확률은 $\frac{12}{216}=\frac1{18}$ $\frac{12}{216}=\frac1{18}$이다.
문제에서 이 확률을 $\frac{q}{p}$ $\frac{q}{p}$라 했으므로 $q=1$ $q=1$, $p=18$ $p=18$이다.

따라서 $p+q=19$ $p+q=19$이다.
정답은 19이다.

다시 풀 때는 홀짝만 남긴다

동전을 여러 번 뒤집는 문제에서는 앞면과 뒷면을 끝까지 따라가는 것보다, 각 대상이 뒤집힌 횟수의 홀짝을 보는 편이 빠르다.
처음 상태와 목표 상태를 비교하면 어떤 자리가 짝수 번, 어떤 자리가 홀수 번 뒤집혀야 하는지가 바로 정해진다.

또 한 시행이 여러 대상을 동시에 바꾸면, 그 시행이 몇 번 일어났는지를 먼저 나누어야 한다.
이 문제에서는 눈 $6$ $6$이 다섯 동전을 동시에 뒤집으므로 눈 $6$ $6$의 개수를 기준으로 경우를 압축한다.

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