g(0)\(g(0)\)의 최솟값을 pq\(\frac{q}{p}\)라 할 때, p+q\(p+q\)의 값을 구하시오. 단, p\(p\)와 q\(q\)는 서로소인 자연수이다.
정답
25
풀이
풀이 전략
함수 안에 1+e−x2\(\frac{2}{1+e^{-x}}\)가 통째로 들어 있다. 삼차함수의 계수를 전부 세우기 전에, 합성 안쪽의 입력값을 t\(t\)로 묶어 본다. 그러면 문제에 나온 세 점 −ln3,0,ln3\(-\ln3,0,\ln3\)이 각각 21,1,23\(\frac12,1,\frac32\)로 정리되고, g\(g\)의 미분가능성은 (0,2)\((0,2)\) 안에서 ∣f(t)∣\(|f(t)|\)가 뾰족해지지 않는 조건으로 바뀐다.
이후 x=0\(x=0\)의 극소와 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)를 같은 그래프에서 읽어 f\(f\)가 t=1\(t=1\)에서 음수인 극대값을 갖는 모양을 잡고, 남은 조건으로 매개변수와 최솟값을 계산한다.
먼저 세 x\(x\)값이 합성 안쪽에서 어디로 가는지 찍어보자
문제에 −ln3,0,ln3\(-\ln3,0,\ln3\)이 보이고, 함수 안에는 1+e−x2\(\frac{2}{1+e^{-x}}\)가 들어 있다. 먼저
t=1+e−x2\[t=\frac{2}{1+e^{-x}}\]
라고 두고 세 값을 대입한다. 그러면 x=−ln3,0,ln3\(x=-\ln3,0,\ln3\)은 각각 t=21,1,23\(t=\frac12,1,\frac32\)에 대응한다.
합성 안쪽의 입력을 t\(t\)로 바꾸면 문제의 세 x\(x\)값이 21,1,23\(\frac12,1,\frac32\)로 정리된다.
또 x\(x\)가 실수 전체를 움직일 때 t\(t\)는 열린구간 (0,2)\((0,2)\)를 증가하면서 움직인다. 미분계수는
이므로 t=21,23\(t=\frac12,\frac32\)에서는 모두 dxdt=83\(\frac{dt}{dx}=\frac38\)이다. 문제의 83\(\frac38\)은 이 합성함수 미분계수와 맞물린다.
절댓값 그래프가 뾰족해지는 지점을 먼저 막아두자
g(x)=∣f(t)∣\(g(x)=|f(t)|\)가 실수 전체에서 미분가능하다고 했다. t\(t\)는 (0,2)\((0,2)\) 안을 빠짐없이 지나가므로, 0<t<2\(0<t<2\)에서 f(t)=0\(f(t)=0\)이 되는 지점을 조심해야 한다.
(0,2)\((0,2)\) 안의 단순근은 ∣f∣\(|f|\)를 뾰족하게 만들지만, t=2\(t=2\)는 열린 경계라 따로 보아야 한다.
f\(f\)가 어떤 점에서 부호를 바꾸며 지나가면 ∣f∣\(|f|\)는 그 점에서 뾰족해진다. 따라서 (0,2)\((0,2)\) 안에 있는 f\(f\)의 근은 단순근이면 안 된다. 근이 생긴다면 f′(t)=0\(f'(t)=0\)도 함께 만족해야 한다.
여기서 t=2\(t=2\)는x\(x\)가 유한한 실수일 때 도달하는 값이 아니다. 그래서 f(2)=0\(f(2)=0\)이 되는 상황은 g\(g\)의 미분가능성을 깨뜨리지 않는다.
x=0\(x=0\)이 주는 극소 조건부터 식으로 옮겨보자
x=0\(x=0\)은 t=1\(t=1\)이다. 조건 (가)에서 g(0)>0\(g(0)>0\)이므로t=1\(t=1\)에서 ∣f(t)∣\(|f(t)|\)는 0\(0\)이 아니다. 또 g\(g\)가 x=0\(x=0\)에서 극소라는 말은 ∣f(t)∣\(|f(t)|\)가 t=1\(t=1\)에서 극소라는 말로 바뀐다. t\(t\)가 증가함수라 극소 위치가 그대로 대응되므로 f′(1)=0\(f'(1)=0\)이다.
다만 이 자리에서는 f(1)\(f(1)\)의 부호가 아직 갈리지 않는다. ∣f∣\(|f|\)가 t=1\(t=1\)에서 극소가 되는 모습을 떠올리면, f(1)>0\(f(1)>0\)일 때는 f\(f\)가 t=1\(t=1\)에서 극소여야 하고, f(1)<0\(f(1)<0\)일 때는 극대여야 한다.
ln3\(\ln3\) 조건으로 둘 중 어느 모양인지 가려보자
두 모양은 t=23\(t=\frac32\) 근처에서 갈린다. 같은 그래프에서 x=ln3\(x=\ln3\)의 조건 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)을 읽어 본다.
x=ln3\(x=\ln3\)은 t=23\(t=\frac32\)이고 t′(ln3)>0\(t'(\ln3)>0\)이므로, g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)은 t=23\(t=\frac32\)에서 ∣f(t)∣\(|f(t)|\)가 줄어든다는 뜻이다. 만약 f(1)>0\(f(1)>0\)이라 t=1\(t=1\)이 극소라면, 그 오른쪽에서 f\(f\)가 증가하며 양수로 남아 ∣f∣\(|f|\)도 늘어난다. 이러면 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)과 어긋난다. 그래서 남는 모양은 f(1)<0\(f(1)<0\)이고 t=1\(t=1\)이 f\(f\)의 극대인 경우이다.
t=1\(t=1\)에서 f\(f\)가 음수인 극대값을 갖고, t=23\(t=\frac32\)에서는 축 아래에서 증가해야 한다.
삼차함수 f\(f\)의 최고차항 계수가 1\(1\)이면 f′\(f'\)의 최고차항 계수는 3\(3\)이다. t=1\(t=1\)이 극대이고 다른 임계점이 오른쪽에 있어야 하므로, 그 점을 a\(a\)라 두고 f′(t)=3(t−1)(t−a)\(f'(t)=3(t-1)(t-a)\)로 쓴다. 이때 a>1\(a>1\)이다.
앞 절에서 (0,2)\((0,2)\) 안의 단순근을 막아 두었으므로, f(1)<0\(f(1)<0\)인 채로 t=23\(t=\frac32\) 전에 f\(f\)가 축을 넘어 양수가 되는 경우도 빠진다. 그래서 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)이 되려면 f(23)<0\(f(\frac32)<0\)인 상태에서 f′(23)>0\(f'(\frac32)>0\)이어야 한다. 그림처럼 a≥23\(a\ge\frac32\)이면 1\(1\)에서 23\(\frac32\)까지 f\(f\)가 줄어 f′(23)≤0\(f'(\frac32)\le0\)이 되고, ∣f∣=−f\(|f|=-f\)가 그 자리에서 늘어나 다시 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)과 맞지 않는다. 따라서 가능한 범위는 1<a<23\(1<a<\frac32\)이다.
−ln3\(-\ln3\) 조건으로 남은 상수 하나를 정해보자
이제 f\(f\)의 모양은 f′(t)=3(t−1)(t−a)\(f'(t)=3(t-1)(t-a)\), 1<a<23\(1<a<\frac32\)까지 좁혀졌다. 아직 쓰지 않은 조건이 −ln3\(-\ln3\) 하나이니, 남은 상수 C\(C\)를 그것으로 정한다. f′(t)\(f'(t)\)를 적분하면 다음과 같다.
문제의 식 ∣g′(−ln3)∣=83g(−ln3)\(|g'(-\ln3)|=\frac38g(-\ln3)\)에 넣으면 f′(21)=f(21)\(\left|f'(\frac12)\right|=\left|f(\frac12)\right|\)이 된다.
여기서 1<a<23\(1<a<\frac32\)이면 21<1<a\(\frac12<1<a\)이므로 f′(21)>0\(f'(\frac12)>0\)이다. 또 t=1\(t=1\)은 음수인 극대점이고, 21\(\frac12\)에서 1\(1\)까지 f\(f\)는 증가하므로 f(21)<f(1)<0\(f(\frac12)<f(1)<0\)이다. 따라서 절댓값 식은 f′(21)=−f(21)\(f'(\frac12)=-f(\frac12)\)로 정리된다.
대입하면 f′(21)=23a−43\(f'(\frac12)=\frac32a-\frac34\), f(21)=C+89a−2\(f(\frac12)=C+\frac{9a-2}{8}\)이므로 다음 식을 얻는다.
C\(C\)까지 정했으니, 앞에서 잠시 미뤄 둔 미분가능성 조건을 다시 꺼낸다. t=1\(t=1\)에서 f\(f\)는 음수인 극대값을 갖고, t=a\(t=a\)에서 극소를 갖는다. 따라서 t=a\(t=a\)까지는 계속 음수로 내려간다. 그 뒤 오른쪽에서 f\(f\)가 증가하다가 근을 만나면 그 근은 단순근이다.
오른쪽 가지가 t=2\(t=2\) 전에 축을 넘지 않게 하는 조건이 f(2)≤0\(f(2)\le0\)이다.
∣f∣\(|f|\)는 (0,2)\((0,2)\) 안의 단순근에서 뾰족해진다. 그래서 오른쪽에서 생길 수 있는 단순근이 t=2\(t=2\)의 왼쪽에 들어오지 않아야 한다. 증가하는 오른쪽 가지가 t=2\(t=2\)에 도달할 때까지 x\(x\)축을 넘지 않는 조건은 f(2)≤0\(f(2)\le0\)이다.
계산하면 f(2)=3−821a\(f(2)=3-\frac{21}{8}a\)이므로 f(2)≤0\(f(2)\le0\)에서a≥78\(a\ge\frac87\)이다. 앞에서 얻은 1<a<23\(1<a<\frac32\)와 함께 보면 다음과 같다.
78≤a<23\[\frac87\le a<\frac32\]
끝값 a=78\(a=\frac87\)에서는 f(2)=0\(f(2)=0\)이다. 이때 근은 열린구간의 경계 t=2\(t=2\)에 있으므로 g\(g\)의 미분가능성 조건과 충돌하지 않는다.
g(0)\(g(0)\)을 a\(a\)로 놓고 가장 작은 값을 찾자
문제에서 묻는 값은 g(0)=∣f(1)∣\(g(0)=|f(1)|\)이다. 위에서 정한 식에 t=1\(t=1\)을 넣으면 f(1)=21−89a\(f(1)=\frac12-\frac98a\)이다. 지금 범위에서는 f(1)<0\(f(1)<0\)이므로 다음과 같다.
뒤의 이차식은 판별식이 음수이고 최고차항 계수가 양수이므로 항상 양수이다. 따라서 0<t<2\(0<t<2\)에서 f(t)<0\(f(t)<0\)이고,∣f(t)∣=−f(t)\(|f(t)|=-f(t)\)라서 미분가능성 조건과 맞는다.
또 f′(t)=3(t−1)(t−78)\(f'(t)=3(t-1)(t-\frac87)\)이므로 t=1\(t=1\)에서 f\(f\)는 극대이고 f(1)<0\(f(1)<0\)이다. 그래서 ∣f∣\(|f|\)는 t=1\(t=1\)에서 극소를 갖는다.
마지막으로 f(23)=−75<0\(f(\frac32)=-\frac57<0\), f′(23)=2815>0\(f'(\frac32)=\frac{15}{28}>0\)이어서 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)이고,f(21)=−2827\(f(\frac12)=-\frac{27}{28}\), f′(21)=2827\(f'(\frac12)=\frac{27}{28}\)이어서 ∣f′(21)∣=∣f(21)∣\(|f'(\frac12)|=|f(\frac12)|\)도 확인된다.
발상이 갈리는 부분
이 문항에서 당황하기 쉬운 지점은 절댓값과 합성함수가 동시에 나온 첫 줄이다. 세 x\(x\)값을 합성 안쪽의 t\(t\)값으로 바꾸면 21,1,23\(\frac12,1,\frac32\)라는 간단한 세 점이 보이고, 이후에는 t∈(0,2)\(t\in(0,2)\) 위의 삼차함수와 절댓값 그래프를 보면 된다.
또 하나의 갈림길은 x=0\(x=0\)의 극소와 g′(ln3)<0\(g'(\ln3)<0\)을 같은 그림에서 함께 읽는 부분이다. ∣f∣\(|f|\)가 t=1\(t=1\)에서 극소이고 t=23\(t=\frac32\)에서 감소하려면, f\(f\)는 t=1\(t=1\)에서 음수인 극대값을 가져야 한다. 이 부호 판단이 f′(t)=3(t−1)(t−a)\(f'(t)=3(t-1)(t-a)\), 1<a<23\(1<a<\frac32\)까지 이어진다.
마지막으로 미분가능성 조건은 계산 중간에서 범위를 자르는 조건이다. 절댓값 함수는 단순근에서 뾰족해지므로, 오른쪽에서 생길 수 있는 단순근이 열린구간 (0,2)\((0,2)\) 안에 들어오는지 확인해야 한다. 이 확인이 f(2)≤0\(f(2)\le0\)으로 이어지고, 최솟값이 경계 a=78\(a=\frac87\)에서 결정된다.
