f(x)=(x-1)(x-2)이고 g(x)는 최고차항 계수 1인 사차함수이다 모든 실수 a에서 g(x)|f(x)|/f(x)의 극한이 존재한다 모든 실수 a에서 |g(x)-f(x)|/g(x)의 극한이 존재한다 구해야 할 값은 g(-1)이다

2026학년도 6월 모의평가 수학 21번 풀이 | 극한 조건과 절댓값 부호 변화

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 21번 손필기 해설입니다. |f|/f의 부호 변화점 x=1,2에서 좌우극한을 맞추고 두 번째 극한의 분모 0 가능성을 배제해 사차함수 구조 g=fh, h=f+1과 g(-1)=42를 구합니다. Mathlab.kr

정답: 42
발행: 2026년 6월 29일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

f의 부호가 바뀌는 1,2에서 첫 극한은 g(1)=g(2)=0을 요구한다. g=fh로 두고 둘째 극한에서 h(1)=h(2)=1을 얻어 h=f+1, g(-1)=42를 계산한다.

문제

문제 텍스트 주관식

함수 $f(x)=(x-1)(x-2)$ $f(x)=(x-1)(x-2)$와 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 사차함수 $g(x)$ $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $a$ $a$에 대하여

\lim_{x\to a}\frac{g(x)|f(x)|}{f(x)}

의 값과

\lim_{x\to a}\frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)}

의 값이 모두 존재한다.

$g(-1)$ $g(-1)$의 값을 구하시오.

정답

풀이

풀이 전략

두 극한식에는 절댓값과 분모가 함께 들어 있다.
식의 모양은 분모나 절댓값 안의 식이 $0$ $0$이 되는 지점에서 바뀐다.
그래서 먼저 $f(x)=0$ $f(x)=0$이 되는 지점을 표시하고, 그 지점에서 좌우극한이 같아지려면 어떤 값이 강제되는지 본다.

부호가 바뀌는 점을 먼저 표시해보자

$f(x)=(x-1)(x-2)$ $f(x)=(x-1)(x-2)$이므로 $f(x)$ $f(x)$는 $x=1,2$ $x=1,2$에서 $0$ $0$이 된다.
부호는 $x<1,\ x>2$ $x<1,\ x>2$에서 양수이고, $1<x<2$ $1<x<2$에서 음수이다.

f(x)의 부호와 |f|/f 값이 x=1,2에서 바뀌는 구조 — $f(x)=(x-1)(x-2)$ $f(x)=(x-1)(x-2)$의 부호와 $|f|/f$ $|f|/f$ 값이 바뀌는 지점

그림에서 보이듯이 $\dfrac{|f(x)|}{f(x)}$ $\dfrac{|f(x)|}{f(x)}$는 $x=1,2$ $x=1,2$를 지나며 $1$ $1$과 $-1$ $-1$ 사이에서 바뀐다.
두 극한 조건을 읽을 때 먼저 확인할 지점은 부호가 바뀌는 $x=1,2$ $x=1,2$이다.

첫 번째 극한에서 $g$ $g$의 근을 찾아보자

첫 번째 식은 다음과 같이 볼 수 있다.

\frac{g(x)|f(x)|}{f(x)} =g(x)\frac{|f(x)|}{f(x)}

$g(x)$ $g(x)$는 다항함수라서 연속이고, $x=1,2$ $x=1,2$ 근처에서 달라지는 부분은 $\dfrac{|f(x)|}{f(x)}$ $\dfrac{|f(x)|}{f(x)}$의 부호이다.
$x=1$ $x=1$ 근처에서는 좌우극한이 각각 $g(1)$ $g(1)$, $-g(1)$ $-g(1)$이므로 양쪽 값이 같아지려면 $g(1)=0$ $g(1)=0$이어야 한다.
같은 방식으로 $x=2$ $x=2$에서도 $g(2)=0$ $g(2)=0$이다.

첫 번째 극한의 좌우극한 비교로 g(1)=g(2)=0을 얻는 과정 — 첫 번째 극한에서 $g(1)=g(2)=0$ $g(1)=g(2)=0$이 강제되는 과정

따라서 $g(x)$ $g(x)$는 $x=1,2$ $x=1,2$를 모두 근으로 가진다.
즉 $x-1,\ x-2$ $x-1,\ x-2$를 인수로 가지므로 $f(x)=(x-1)(x-2)$ $f(x)=(x-1)(x-2)$를 인수로 갖는다.
$g(x)$ $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 사차함수이고 $f(x)$ $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 이차식이므로, 어떤 최고차항 계수 $1$ $1$인 이차함수 $h(x)$ $h(x)$에 대하여 $g(x)=f(x)h(x)$ $g(x)=f(x)h(x)$라고 둘 수 있다.

두 번째 극한에서 남은 인수를 맞춰보자

두 번째 식에 $g(x)=f(x)h(x)$ $g(x)=f(x)h(x)$를 대입하면 $g(x)-f(x)=f(x)(h(x)-1)$ $g(x)-f(x)=f(x)(h(x)-1)$이다.
따라서 $g(x)\ne0$ $g(x)\ne0$인 곳에서는 다음과 같이 정리된다.

\frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)} =\frac{|f(x)|}{f(x)}\cdot\frac{|h(x)-1|}{h(x)}

먼저 $h(1)=0$ $h(1)=0$이면 $|h(x)-1|$ $|h(x)-1|$은 $1$ $1$에 가까운데 $h(x)$ $h(x)$는 $0$ $0$으로 가므로 $\dfrac{|h(x)-1|}{h(x)}$ $\dfrac{|h(x)-1|}{h(x)}$는 유한한 값으로 수렴할 수 없다.
따라서 $x=1$ $x=1$에서는 $h(1)\ne0$ $h(1)\ne0$인 상태에서 남은 인수의 값이 $0$ $0$이어야 하고, 같은 판단이 $x=2$ $x=2$에도 적용된다.

두 번째 극한에서 h(1)=h(2)=1과 h(x)-1=f(x)를 얻는 과정 — 두 번째 극한에서 남은 인수 $h(x)$ $h(x)$를 정하는 계산 흐름

이미지의 가운데 흐름처럼 $x=1,2$ $x=1,2$를 지날 때 $\dfrac{|f|}{f}$ $\dfrac{|f|}{f}$의 부호가 다시 바뀐다.
그러므로 남은 인수 $\dfrac{|h(x)-1|}{h(x)}$ $\dfrac{|h(x)-1|}{h(x)}$가 $x=1,2$ $x=1,2$에서 $0$ $0$으로 가야 좌우극한이 같아진다.
따라서 $h(1)=1,\ h(2)=1$ $h(1)=1,\ h(2)=1$이다.

두 값을 한 번에 묶어 $h(x)$ $h(x)$를 정해보자

$h(x)$ $h(x)$는 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 이차함수이다.
방금 얻은 조건은 $h(1)=1,\ h(2)=1$ $h(1)=1,\ h(2)=1$이다.
그러면 $h(x)-1$ $h(x)-1$은 $x=1,2$ $x=1,2$를 근으로 갖는 최고차항 계수 $1$ $1$인 이차식이다.

따라서 $h(x)-1=(x-1)(x-2)=f(x)$ $h(x)-1=(x-1)(x-2)=f(x)$이고, $h(x)=f(x)+1=x^2-3x+3$ $h(x)=f(x)+1=x^2-3x+3$이다.
그래서 $g(x)=f(x)h(x)=f(x)\{f(x)+1\}$ $g(x)=f(x)h(x)=f(x)\{f(x)+1\}$로 정리된다.

두 번째 극한의 분모는 $g(x)=f(x)h(x)$ $g(x)=f(x)h(x)$이다.
$x=1,2$ $x=1,2$에서 생기는 문제는 위 조건으로 맞춰졌다.
이제 $h(x)$ $h(x)$가 다른 실근을 가지면 그 점에서도 $g(x)=0$ $g(x)=0$이 되어 극한이 흔들릴 수 있다.

그런데 $h(x)=x^2-3x+3=\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac34$ $h(x)=x^2-3x+3=\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac34$이므로 모든 실수 $x$ $x$에 대하여 $h(x)>0$ $h(x)>0$이다.
따라서 $h(x)$ $h(x)$ 때문에 새로 생기는 분모의 $0$ $0$은 없다.

마지막에는 $f(-1)$ $f(-1)$을 계산해 대입해보자

앞에서 $g(x)=f(x)\{f(x)+1\}$ $g(x)=f(x)\{f(x)+1\}$까지 정리했다.
문제는 $g(-1)$ $g(-1)$을 묻고 있으므로 $f(-1)$ $f(-1)$을 먼저 계산한다.

f(-1)=(-2)(-3)=6

따라서 $g(-1)=6(6+1)=42$ $g(-1)=6(6+1)=42$이고, 정답은 $42$ $42$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

“모든 실수 $a$ $a$”라는 말이 크게 보이지만, 실제 손동작은 극한이 흔들릴 수 있는 지점을 찾는 데서 시작한다.
$\dfrac{|f|}{f}$ $\dfrac{|f|}{f}$는 $f$ $f$의 부호를 $1$ $1$ 또는 $-1$ $-1$로 남기는 식이므로, $f(x)=0$ $f(x)=0$이 되는 $x=1,2$ $x=1,2$가 먼저 확인할 지점이다.

첫 번째 극한은 $g(1)=g(2)=0$ $g(1)=g(2)=0$을 만들고, 그 결과 $g=fh$ $g=fh$라는 형태를 준다.
두 번째 극한은 같은 부호 변화가 식 안에 다시 남아 있으므로 $h(1)=h(2)=1$ $h(1)=h(2)=1$을 요구한다.
이때 $h(x)-1$ $h(x)-1$을 보면 바로 $h(x)-1=(x-1)(x-2)$ $h(x)-1=(x-1)(x-2)$로 묶이며 계산이 짧아진다.