삼각형 ABC에서 AB=2√7이다 P는 BC의 중점이고 Q는 BC를 5:1로 내분한다 AQ=3√2이고 sin∠QAP:sin∠APQ=√2:3이다 삼각형 ABC의 외접원의 넓이를 구한다

2026학년도 6월 모의평가 수학 14번 풀이 | 사인비와 외접원 반지름

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 14번 손필기 해설입니다. 삼각형 AQP의 사인비로 PQ=2를 구하고 BC 위 중점과 5:1 내분 조건으로 BC=6, BQ=5를 잡아 사인법칙과 코사인법칙으로 외접원의 넓이 88/9π, 정답 ②를 얻습니다. Mathlab.kr

정답: ②
발행: 2026년 6월 29일
수정: 2026년 6월 30일

정답

②

핵심 요약

삼각형 AQP에서 사인법칙으로 PQ=2를 얻고, 내분점 조건으로 BC=6과 BQ=5를 정한 뒤 코사인법칙과 사인법칙으로 외접원의 넓이를 구한다.

문제

문제 텍스트 객관식

$\overline{AB}=2\sqrt7$ $\overline{AB}=2\sqrt7$인 삼각형 $ABC$ $ABC$에서 선분 $BC$ $BC$의 중점을 $P$ $P$, 선분 $BC$ $BC$를 $5:1$ $5:1$로 내분하는 점을 $Q$ $Q$라 하자. $\overline{AQ}=3\sqrt2$ $\overline{AQ}=3\sqrt2$, $\sin(\angle QAP):\sin(\angle APQ)=\sqrt2:3$ $\sin(\angle QAP):\sin(\angle APQ)=\sqrt2:3$일 때, 삼각형 $ABC$ $ABC$의 외접원의 넓이는?

① $\frac{85}{9}\pi$ $\frac{85}{9}\pi$
② $\frac{88}{9}\pi$ $\frac{88}{9}\pi$
③ $\frac{91}{9}\pi$ $\frac{91}{9}\pi$
④ $\frac{94}{9}\pi$ $\frac{94}{9}\pi$
⑤ $\frac{97}{9}\pi$ $\frac{97}{9}\pi$

정답

②

풀이

풀이 전략

사인비가 붙은 두 각은 삼각형 $AQP$ $AQP$ 안에 있다.
먼저 이 작은 삼각형에서 $PQ$ $PQ$를 구하고, 그 길이를 $BC$ $BC$ 위의 중점과 내분점 조건에 연결한다.
그 다음 세 변을 아는 삼각형 $ABQ$ $ABQ$에서 $B$ $B$의 각을 구하면, 같은 각을 큰 삼각형 $ABC$ $ABC$의 외접반지름 계산에 사용할 수 있다.

작은 삼각형 $AQP$ $AQP$만 먼저 떼어 보자

처음 그림에서 조건이 직접 붙어 있는 곳은 삼각형 $AQP$ $AQP$이다. $\angle QAP$ $\angle QAP$, $\angle APQ$ $\angle APQ$는 모두 이 작은 삼각형 안의 각이므로, 사인비는 각의 맞은편 변과 이어진다.

삼각형 AQP에서 사인비를 맞은편 변 QP와 AQ의 비로 바꾸어 QP=2를 얻는 과정 — 삼각형 $AQP$ $AQP$에서 사인비를 맞은편 변 $QP:AQ$ $QP:AQ$로 읽는 첫 단계

그림처럼 $\angle QAP$ $\angle QAP$의 맞은편 변은 $QP$ $QP$, $\angle APQ$ $\angle APQ$의 맞은편 변은 $AQ$ $AQ$이다.
삼각형 $AQP$ $AQP$에 사인법칙을 쓰면 다음과 같다.

\frac{QP}{AQ} =\frac{\sin(\angle QAP)}{\sin(\angle APQ)} =\frac{\sqrt2}{3}

$AQ=3\sqrt2$ $AQ=3\sqrt2$이므로 $QP=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{3}=2$ $QP=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{3}=2$이다.
이 길이가 $BC$ $BC$ 위의 점 $P,Q$ $P,Q$ 배치와 이어진다.

$P,Q$ $P,Q$를 $BC$ $BC$ 위에 순서대로 표시해보자

$P$ $P$는 $BC$ $BC$의 중점이고, $Q$ $Q$는 $BC$ $BC$를 $5:1$ $5:1$로 내분한다.
이때 $BQ:QC=5:1$ $BQ:QC=5:1$이므로 $Q$ $Q$는 $C$ $C$ 쪽에 가까운 점이다.

선분 BC 위에 B, P, Q, C를 순서대로 놓고 PQ=2에서 BC=6과 BQ=5를 얻는 선분 배치 — $P$ $P$의 중점 조건과 $Q$ $Q$의 $5:1$ $5:1$ 내분 조건이 $BC=6,\ BQ=5$ $BC=6,\ BQ=5$로 이어지는 선분 배치

$BC=6u$ $BC=6u$라고 두면 $BQ=5u$ $BQ=5u$, $QC=u$ $QC=u$, $BP=PC=3u$ $BP=PC=3u$이다.
따라서 점의 순서는 $B,P,Q,C$ $B,P,Q,C$이고, $PQ=2u$ $PQ=2u$이다.

앞에서 $PQ=2$ $PQ=2$를 얻었으므로 $2u=2$ $2u=2$, 즉 $u=1$ $u=1$이다.
따라서 $BC=6$ $BC=6$, $BQ=5$ $BQ=5$이다.

세 변을 아는 $ABQ$ $ABQ$에서 $B$ $B$의 각을 구해보자

이제 $AB=2\sqrt7$ $AB=2\sqrt7$, $BQ=5$ $BQ=5$, $AQ=3\sqrt2$ $AQ=3\sqrt2$로 삼각형 $ABQ$ $ABQ$의 세 변을 모두 안다.
또 $B,Q,C$ $B,Q,C$가 한 직선 위 같은 반직선 방향에 있으므로, 삼각형 $ABQ$ $ABQ$에서 구한 $B$ $B$의 각은 큰 삼각형 $ABC$ $ABC$의 $B$ $B$의 각과 같다.

세 변을 아는 삼각형 ABQ에서 구한 각 ABQ가 B, Q, C 일직선 조건으로 각 ABC와 같아지는 도형 관계 — 세 변을 아는 삼각형 $ABQ$ $ABQ$에서 $B$ $B$의 각을 구하고 $\angle ABC$ $\angle ABC$로 옮기는 관계

삼각형 $ABQ$ $ABQ$에서 코사인법칙을 쓰면 다음과 같다.

\cos\angle ABQ =\frac{AB^2+BQ^2-AQ^2}{2\cdot AB\cdot BQ} =\frac{(2\sqrt7)^2+5^2-(3\sqrt2)^2}{2\cdot2\sqrt7\cdot5} =\frac{\sqrt7}{4}

$\angle ABQ=\angle ABC$ $\angle ABQ=\angle ABC$이므로 $\cos\angle ABC=\frac{\sqrt7}{4}$ $\cos\angle ABC=\frac{\sqrt7}{4}$이다.

큰 삼각형 $ABC$ $ABC$에서 $AC$ $AC$와 $\sin B$ $\sin B$를 모아보자

외접반지름은 사인법칙 $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$ $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$로 구할 수 있다.
그래서 방금 얻은 $\cos\angle ABC$ $\cos\angle ABC$에서 $\sin\angle ABC$ $\sin\angle ABC$를 얻고, 큰 삼각형 $ABC$ $ABC$에서 $AC$ $AC$를 계산한다.

cos B, AB, BC에서 AC와 sin B를 구한 뒤 사인법칙으로 외접반지름과 외접원의 넓이를 계산하는 흐름 — $\cos B$ $\cos B$에서 $AC$ $AC$와 $\sin B$ $\sin B$를 모아 외접반지름과 원의 넓이까지 계산하는 흐름

삼각형 $ABC$ $ABC$에서 $AB=2\sqrt7$ $AB=2\sqrt7$, $BC=6$ $BC=6$, $\cos\angle ABC=\frac{\sqrt7}{4}$ $\cos\angle ABC=\frac{\sqrt7}{4}$이므로 $AC^2=22$ $AC^2=22$, 따라서 $AC=\sqrt{22}$ $AC=\sqrt{22}$이다.
또 $\sin\angle ABC=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2}=\frac34$ $\sin\angle ABC=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2}=\frac34$이다.

이제 $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$ $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$에 대입하면 $R=\frac{\sqrt{22}}{2\cdot\frac34}=\frac{2\sqrt{22}}{3}$ $R=\frac{\sqrt{22}}{2\cdot\frac34}=\frac{2\sqrt{22}}{3}$이다.
따라서 외접원의 넓이는 $\pi R^2=\frac{88}{9}\pi$ $\pi R^2=\frac{88}{9}\pi$이다.

정답은 ②이다.

마지막에 조건을 다시 맞춰보자

$PQ=2$ $PQ=2$, $BQ=5$ $BQ=5$, $QC=1$ $QC=1$이면 $BC=6$ $BC=6$이고 $P$ $P$는 $BC$ $BC$의 중점이다.
실제로 $BP=3$ $BP=3$, $PC=3$ $PC=3$이다.

또 삼각형 $AQP$ $AQP$에서 $QP=2$ $QP=2$, $AQ=3\sqrt2$ $AQ=3\sqrt2$이므로 사인법칙에 의해 $\sin(\angle QAP):\sin(\angle APQ)=QP:AQ=2:3\sqrt2=\sqrt2:3$ $\sin(\angle QAP):\sin(\angle APQ)=QP:AQ=2:3\sqrt2=\sqrt2:3$이다.
처음에 주어진 사인비와 일치한다.

마지막 계산도 크기를 확인할 수 있다.
$R=\frac{2\sqrt{22}}{3}$ $R=\frac{2\sqrt{22}}{3}$이므로 $R^2=\frac{88}{9}$ $R^2=\frac{88}{9}$, 따라서 선택지의 $\frac{\square}{9}\pi$ $\frac{\square}{9}\pi$ 꼴과도 맞는다.

이 문항에서 어려웠던 지점

가장 먼저 당황하기 쉬운 부분은 사인비가 어디에 쓰이는지이다.
$\angle QAP$ $\angle QAP$, $\angle APQ$ $\angle APQ$가 보이면 두 각이 들어 있는 작은 삼각형 $AQP$ $AQP$를 따로 그린다.
그러면 사인비가 $QP:AQ$ $QP:AQ$로 바뀌고, 이미 주어진 $AQ=3\sqrt2$ $AQ=3\sqrt2$와 결합해 $QP=2$ $QP=2$가 나온다.

그 다음 관찰은 $P,Q$ $P,Q$를 $BC$ $BC$ 위에 순서대로 표시하는 것이다.
작은 삼각형에서 얻은 $PQ$ $PQ$가 $BC$ $BC$를 정하고, 동시에 $BQ=5$ $BQ=5$를 만든다.
이때 $ABQ$ $ABQ$의 세 변이 모두 알려지므로 $\angle ABQ$ $\angle ABQ$를 구할 수 있고, 그 각은 $Q$ $Q$가 $BC$ $BC$ 위에 있기 때문에 $\angle ABC$ $\angle ABC$와 같다.