일 때, ∫12xef(x)dx\(\int_1^2xe^{f(x)}\,dx\)의 값을 구하시오.
정답
31
풀이
풀이 전략
처음에는 로그식을 지수식으로 바꿔g(x)\(g(x)\)의 모양을 본다. 정리된 식이 xef(x)\(xe^{f(x)}\)의 도함수와 맞물리므로, h(x)=xef(x)\(h(x)=xe^{f(x)}\)로 묶어 적분 조건을 h\(h\)의 끝값과 부분적분으로 연결한다.
로그를 없애고 오른쪽 모양을 살펴보자
식 안에 f(x)\(f(x)\), f′(x)\(f'(x)\), g(x)\(g(x)\)가 함께 있으므로 먼저 로그를 없애 본다. 주어진 식에서 지수식을 만들면 ef(x)=1+xf′(x)g(x)\(e^{f(x)}=\dfrac{g(x)}{1+xf'(x)}\)이고, 이를 정리하면 다음과 같다.
여기서 오른쪽의 두 항을 한 번 더 본다. ef(x)\(e^{f(x)}\)가 먼저 나오고, 그 옆에 x\(x\)와 f′(x)\(f'(x)\)가 붙은 항이 따라온다. 이 모양은 xef(x)\(xe^{f(x)}\)를 미분할 때 자연스럽게 생긴다.
로그 제거 후 생기는 식이 xe^f(x)의 미분 결과와 같은 모양임을 확인한다.
그림의 아래쪽 결론처럼 실제로 (xef(x))′=ef(x)+xef(x)f′(x)\((xe^{f(x)})'=e^{f(x)}+xe^{f(x)}f'(x)\)이므로g(x)\(g(x)\)는 다음과 같이 정리된다.
g(x)=(xef(x))′\[g(x)=(xe^{f(x)})'\]
이제 적분 조건은 g(x)\(g(x)\)에 대한 조건이면서 동시에 xef(x)\(xe^{f(x)}\)의 변화량에 대한 조건으로 바뀐다.
구하려는 덩어리를 하나의 함수로 묶어 보자
문제에서 구하는 값은 ∫12xef(x)dx\(\int_1^2xe^{f(x)}\,dx\)이다. 방금 g(x)\(g(x)\)가 (xef(x))′\((xe^{f(x)})'\)로 정리되었고, 목표 적분에도 같은 덩어리 xef(x)\(xe^{f(x)}\)가 보인다.
그래서 h(x)=xef(x)\(h(x)=xe^{f(x)}\)라고 두면 h′(x)=g(x)\(h'(x)=g(x)\)이다. 이제 주어진 조건들을 h(x)\(h(x)\)로 옮겨 본다.
h(x)=xe^f(x)로 묶으면 f(1)과 ∫g 조건에서 양 끝값이 정해진다.
먼저 f(1)=4ln2\(f(1)=4\ln2\)에서ef(1)=e4ln2=16\(e^{f(1)}=e^{4\ln2}=16\)이므로 h(1)=1⋅ef(1)=16\(h(1)=1\cdot e^{f(1)}=16\)이다.
또 ∫12g(x)dx=∫12h′(x)dx=h(2)−h(1)\(\int_1^2g(x)\,dx=\int_1^2h'(x)\,dx=h(2)-h(1)\)이다. 조건에서 이 값이 34\(34\)이므로 h(2)−16=34\(h(2)-16=34\), 따라서 h(2)=50\(h(2)=50\)이다.
여기까지 정리하면 h(1)=16,h(2)=50\(h(1)=16,\ h(2)=50\)이다. 이 끝값은 다음 부분적분에서 경계항 [xh(x)]12\([xh(x)]_1^2\)를 계산하는 데 쓰인다.
xg(x)\(xg(x)\)를 xh′(x)\(xh'(x)\)로 바꿔 보자
남은 조건은 ∫12xg(x)dx=53\(\int_1^2xg(x)\,dx=53\)이다. 앞에서 g(x)=h′(x)\(g(x)=h'(x)\)를 얻었으므로 이 조건은 ∫12xh′(x)dx=53\(\int_1^2xh'(x)\,dx=53\)으로 바뀐다.
목표는 ∫12h(x)dx\(\int_1^2h(x)\,dx\)이다. 지금 식에는 xh′(x)\(xh'(x)\)가 들어 있고, 원하는 식에는 h(x)\(h(x)\)가 들어 있다. x\(x\)와 h′(x)\(h'(x)\)가 곱해진 적분에서 h(x)\(h(x)\)의 적분을 꺼내려면 부분적분을 쓰는 장면이다.
이미 양 끝값을 알고 있으므로 [xh(x)]12=2h(2)−h(1)=2⋅50−16=84\([xh(x)]_1^2=2h(2)-h(1)=2\cdot50-16=84\)이다.
조건 ∫12xh′(x)dx=53\(\int_1^2xh'(x)\,dx=53\)을 넣으면 53=84−∫12h(x)dx\(53=84-\int_1^2h(x)\,dx\)이므로 ∫12h(x)dx=31\(\int_1^2h(x)\,dx=31\)이다. 마지막으로 h(x)=xef(x)\(h(x)=xe^{f(x)}\)였으므로 ∫12xef(x)dx=31\(\int_1^2xe^{f(x)}\,dx=31\)이다.
처음 조건에 다시 넣어 보자
마지막으로 계산이 원래 조건과 맞물리는지 확인한다. h(1)=16\(h(1)=16\), h(2)=50\(h(2)=50\)이면 ∫12g(x)dx=∫12h′(x)dx=h(2)−h(1)=50−16=34\(\int_1^2g(x)\,dx=\int_1^2h'(x)\,dx=h(2)-h(1)=50-16=34\)로 첫 번째 적분 조건이 맞다.
여기에 ∫12h(x)dx=31\(\int_1^2h(x)\,dx=31\)을 넣으면 2⋅50−16−31=53\(2\cdot50-16-31=53\)이다. 두 번째 적분 조건도 맞다.
따라서 정답은 31\(\boxed{31}\)이다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 낯설게 보이는 부분은 로그식 자체보다 로그를 없앤 뒤의 모양이다. ef(x)+xef(x)f′(x)\(e^{f(x)}+xe^{f(x)}f'(x)\)가 보이면, 이 식이 어떤 곱의 미분에서 나왔는지 떠올려야 한다. 여기서는 xef(x)\(xe^{f(x)}\)를 미분하면 정확히 같은 모양이 나온다.
또 적분 조건에 g(x)\(g(x)\)와 xg(x)\(xg(x)\)가 함께 있을 때는, g(x)\(g(x)\)를 어떤 함수의 도함수로 바꾸면 양 끝값과 부분적분이 차례로 이어질 수 있다. 이 문제에서는 g(x)=h′(x)\(g(x)=h'(x)\)로 바꾸는 순간, ∫g\(\int g\), ∫xg\(\int xg\), ∫xef\(\int xe^f\)가 모두 h\(h\) 하나로 정리된다.
