f는 이계도함수를 가지며 모든 실수 x에서 (f(x))^5+(f(x))^3+ax+b=ln(x^2+x+5/2)를 만족한다 f(-3)f(3) 0이 두 후보 c=-2, c=1 중 하나를 고르는 조건이다 구해야 할 값은 a×e^b이다

2026학년도 6월 모의평가 수학 미적분 28번 풀이 | 영점 대입과 이계도함수 [260628c]

문제

문제 텍스트 객관식

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$ $f(x)$와 두 상수 $a,b$ $a,b$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a\times e^b$ $a\times e^b$의 값은?

(가) 모든 실수 $x$ $x$에 대하여 다음 식이 성립한다.

(f(x))^5+(f(x))^3+ax+b=\ln\left(x^2+x+\frac52\right)

(나)

f(-3)f(3)<0,\qquad f'(2)>0

① $-3e^{-\frac43}$ $-3e^{-\frac43}$
② $-\frac53e^{-\frac43}$ $-\frac53e^{-\frac43}$
③ $-\frac13e^{-\frac43}$ $-\frac13e^{-\frac43}$
④ $e^{-\frac43}$ $e^{-\frac43}$
⑤ $\frac73e^{-\frac43}$ $\frac73e^{-\frac43}$

정답

①

풀이

풀이 전략

조건 (나)의 $f(-3)f(3)<0$ $f(-3)f(3)<0$은 $-3$ $-3$과 $3$ $3$ 사이에 $f(c)=0$ $f(c)=0$인 지점이 있다는 말이다.
그 지점을 조건 (가)에 넣으면 $(f(c))^5+(f(c))^3$ $(f(c))^5+(f(c))^3$이 사라지고, 같은 항등식을 미분한 식에서도 사라지는 항이 생긴다.
이 흐름으로 $L''(c)=0$ $L''(c)=0$을 얻어 후보를 좁힌 뒤, $f'(2)>0$ $f'(2)>0$으로 남는 후보를 고른다.

부호가 바뀌는 곳을 먼저 표시해보자

조건 (나)의 $f(-3)f(3)<0$ $f(-3)f(3)<0$은 그래프를 대략 그렸을 때 $x=-3$ $x=-3$과 $x=3$ $x=3$에서 $f(x)$ $f(x)$의 부호가 서로 다르다는 뜻이다.
$f$ $f$는 이계도함수를 가지므로 연속이다.
그래서 $-3$ $-3$에서 $3$ $3$으로 가는 동안 그래프가 한 번은 $x$ $x$축을 지난다.

그 지점을 $c$ $c$라고 두면 $f(c)=0$ $f(c)=0$, $-3<c<3$ $-3<c<3$이다.
아래 그림의 왼쪽은 이 부호 변화를 표시한 것이고, 오른쪽은 그 지점을 원식과 미분식에 넣을 때 어떤 항이 사라지는지 정리한 것이다.

부호 변화로 내부 영점 c를 잡고 원식과 미분식에서 사라지는 항을 정리한 그림 — 부호 변화로 내부 영점 $c$ $c$를 잡고, 원식과 미분식에서 $f(c)=0$ $f(c)=0$이 만드는 소거를 정리한다.

조건 (가)의 오른쪽 로그 함수를 $L(x)=\ln\left(x^2+x+\frac52\right)$ $L(x)=\ln\left(x^2+x+\frac52\right)$라고 놓자.
그림의 첫 대입 줄처럼 $x=c$ $x=c$를 넣으면 $(f(c))^5+(f(c))^3=0$ $(f(c))^5+(f(c))^3=0$이므로 $ac+b=L(c)$ $ac+b=L(c)$이다.
직선 $y=ax+b$ $y=ax+b$가 그래프 $y=L(x)$ $y=L(x)$ 위의 $x=c$ $x=c$인 점을 지난다는 뜻이다.

영점에서 미분식이 얼마나 사라지는지 보자

조건 (가)는 모든 실수 $x$ $x$에서 성립하는 식이다.
같은 식을 미분하면 그 점에서 기울기 정보도 따라 나온다.

조건 (가)를 미분하면 $(5f(x)^4+3f(x)^2)f'(x)+a=L'(x)$ $(5f(x)^4+3f(x)^2)f'(x)+a=L'(x)$이다.
여기서 $x=c$ $x=c$를 넣으면 $f(c)=0$ $f(c)=0$ 때문에 앞의 항이 사라져 $a=L'(c)$ $a=L'(c)$이다.
즉 직선 $y=ax+b$ $y=ax+b$는 $y=L(x)$ $y=L(x)$를 $x=c$ $x=c$에서 지나고, 그 지점에서 기울기도 같다.

한 번 더 미분하면 다음과 같다.

(20f(x)^3+6f(x))(f'(x))^2+(5f(x)^4+3f(x)^2)f''(x)=L''(x)

이 식에 $x=c$ $x=c$를 넣으면 왼쪽이 모두 $0$ $0$이 된다.
그래서 $L''(c)=0$ $L''(c)=0$이다.

로그 함수에서 가능한 $c$ $c$를 찾아보자

이제 가능한 $c$ $c$는 $L''(x)=0$ $L''(x)=0$에서 나온다.
$L(x)=\ln\left(x^2+x+\frac52\right)$ $L(x)=\ln\left(x^2+x+\frac52\right)$에서 안쪽을 $q(x)=x^2+x+\frac52$ $q(x)=x^2+x+\frac52$라고 두면 $q(x)=\left(x+\frac12\right)^2+\frac94$ $q(x)=\left(x+\frac12\right)^2+\frac94$이므로 항상 양수이다.

L''(x)=0 계산에서 후보 c=-2와 c=1을 수직선에 표시한 그림 — $q(x)^2$ $q(x)^2$이 항상 양수이므로 $L''(x)=0$ $L''(x)=0$은 분자에서 결정되고, 후보는 $c=-2$ $c=-2$와 $c=1$ $c=1$로 압축된다.

그림의 계산은 다음과 같다.

L'(x)=\frac{2x+1}{q(x)},\qquad L''(x)=\frac{-2(x+2)(x-1)}{q(x)^2}

분모는 항상 양수이므로 $L''(x)=0$ $L''(x)=0$은 분자에서 결정된다.
따라서 가능한 값은 $c=-2$ $c=-2$ 또는 $c=1$ $c=1$이다.
둘 다 $(-3,3)$ $(-3,3)$ 안에 있으므로, 남은 조건 $f'(2)>0$ $f'(2)>0$으로 어느 쪽인지 가르면 된다.

$x=2$ $x=2$에서 기울기 부호를 비교해보자

앞에서 얻은 첫 번째 미분식은 $(5f(x)^4+3f(x)^2)f'(x)=L'(x)-a$ $(5f(x)^4+3f(x)^2)f'(x)=L'(x)-a$이다.
지금까지의 계산은 $f(x)=0$ $f(x)=0$인 모든 지점에 적용되므로, 영점은 $-2$ $-2$ 또는 $1$ $1$에서만 나올 수 있다.
따라서 $x=2$ $x=2$에서는 $f(2)\ne0$ $f(2)\ne0$이고 $5f(2)^4+3f(2)^2>0$ $5f(2)^4+3f(2)^2>0$이다.

그러므로 $f'(2)$ $f'(2)$의 부호는 $L'(2)-a$ $L'(2)-a$의 부호와 같다.
아래 비교표에서 두 후보의 $a=L'(c)$ $a=L'(c)$를 넣어 보면, 양수 조건은 $c=-2$ $c=-2$에서만 맞는다.

f'(2)>0 조건으로 후보 c=-2와 c=1을 비교하는 표 — $f'(2)$ $f'(2)$의 부호를 $L'(2)-a$ $L'(2)-a$의 부호로 바꾸어 두 후보를 비교한다.

$c=-2$ $c=-2$이면 $a=L'(-2)=\frac{-3}{9/2}=-\frac23$ $a=L'(-2)=\frac{-3}{9/2}=-\frac23$이고, $L'(2)-a=\frac{10}{17}+\frac23>0$ $L'(2)-a=\frac{10}{17}+\frac23>0$이다.
이 경우에는 $f'(2)>0$ $f'(2)>0$과 맞는다.

$c=1$ $c=1$이면 $a=L'(1)=\frac{3}{9/2}=\frac23$ $a=L'(1)=\frac{3}{9/2}=\frac23$이고, $L'(2)-a=\frac{10}{17}-\frac23<0$ $L'(2)-a=\frac{10}{17}-\frac23<0$이다.
이 경우에는 $f'(2)$ $f'(2)$의 부호가 음수가 된다.

따라서 $c=-2$ $c=-2$이고 $a=-\frac23$ $a=-\frac23$이다.

지나가는 점을 이용해 $b$ $b$까지 구해보자

$c=-2$ $c=-2$에서 직선 $y=ax+b$ $y=ax+b$가 $L(x)$ $L(x)$를 지나므로 $a(-2)+b=L(-2)$ $a(-2)+b=L(-2)$이다.
$a=-\frac23$ $a=-\frac23$이고 $L(-2)=\ln\frac92$ $L(-2)=\ln\frac92$이므로 $b=\ln\frac92-\frac43$ $b=\ln\frac92-\frac43$이다.

마지막 계산은 아래 그림처럼 $e^{\ln(9/2)}=\frac92$ $e^{\ln(9/2)}=\frac92$만 적용하면 된다.

a와 b를 대입해 ae^b를 -3e^(-4/3)으로 정리하는 계산 — 확정된 $a$ $a$와 $b$ $b$를 대입해 $a e^b$ $a e^b$를 선택지 형태로 정리한다.

따라서

a e^b =-\frac23\cdot e^{\ln(9/2)-4/3} =-\frac23\cdot \frac92\cdot e^{-4/3} =-3e^{-4/3}.

정답은 ①이다.

원래 조건과 다시 맞춰보자

구한 값은 $a=-\frac23$ $a=-\frac23$, $b=\ln\frac92-\frac43$ $b=\ln\frac92-\frac43$이다.
이때 다음 식이 성립한다.

L'(x)-a=L'(x)+\frac23 =\frac{2(x+2)^2}{3\left(x^2+x+\frac52\right)}\ge0

등호는 $x=-2$ $x=-2$에서만 성립한다.
또한 $L(-2)-a(-2)-b=0$ $L(-2)-a(-2)-b=0$이므로 $L(x)-ax-b$ $L(x)-ax-b$는 $x=-2$ $x=-2$를 기준으로 왼쪽에서는 음수, 오른쪽에서는 양수이다.

한편 $t^5+t^3=t^3(t^2+1)$ $t^5+t^3=t^3(t^2+1)$은 $t$ $t$와 부호가 같다.
조건 (가)에서 $(f(x))^5+(f(x))^3=L(x)-ax-b$ $(f(x))^5+(f(x))^3=L(x)-ax-b$이므로 $f(x)$ $f(x)$도 $x=-2$ $x=-2$를 기준으로 부호가 바뀐다.
따라서 $-3<-2<3$ $-3<-2<3$에서 $f(-3)f(3)<0$ $f(-3)f(3)<0$이 확인된다.

또 $x=2$ $x=2$에서는 $L'(2)-a>0$ $L'(2)-a>0$이고 $5f(2)^4+3f(2)^2>0$ $5f(2)^4+3f(2)^2>0$이므로 첫 번째 미분식에서 $f'(2)>0$ $f'(2)>0$이다.
조건 (나)의 두 식이 모두 맞다.

이 문항에서 어려웠던 지점

처음에는 $f$ $f$의 식이 보이지 않아 막히기 쉽다.
그런데 $f(-3)f(3)<0$ $f(-3)f(3)<0$은 구간 안에 $f(c)=0$ $f(c)=0$인 지점이 있다는 말로 바뀐다.
그 지점을 조건 (가)에 넣으면 $(f(x))^5+(f(x))^3$ $(f(x))^5+(f(x))^3$이 사라지고, 미분한 식에서도 같은 이유로 항들이 사라진다.