k>1인 실수 k에 대해 두 곡선 y=2^x+k/2, y=k(1/2)^x+k-2가 만나는 점을 A라 둔다 점 A를 지나고 기울기가 -1인 직선이 y=2^(x-2)-3과 만나는 점을 B라 둔다 삼각형 AOB의 넓이는 16이다 k+log₂k=q/p이고 p, q는 서로소인 자연수이다

2026학년도 6월 모의평가 수학 22번 풀이 | 지수그래프 평행이동과 원점 거리

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 22번 손필기 해설입니다. 교점 A를 y=2^(x+1) 위의 점으로 읽고 (3,-3) 평행이동으로 B를 정한 뒤 삼각형 AOB 넓이를 원점에서 직선 AB까지의 거리로 바꾸어 p+q=38을 구합니다. Mathlab.kr

정답: 38
발행: 2026년 6월 29일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

교점 계산으로 A가 y=2^(x+1) 위에 있음을 확인하고, (3,-3) 평행이동으로 B를 잡는다. AB와 원점-직선 거리로 넓이를 바꾸어 p+q=38을 얻는다.

문제

문제 텍스트 주관식

$k>1$ $k>1$인 실수 $k$ $k$에 대하여 두 곡선

y=2^x+\frac{k}{2}, \qquad y=k\left(\frac12\right)^x+k-2

가 만나는 점을 $A$ $A$라 하고, 점 $A$ $A$를 지나고 기울기가 $-1$ $-1$인 직선이 곡선

y=2^{x-2}-3

과 만나는 점을 $B$ $B$라 하자. 삼각형 $AOB$ $AOB$의 넓이가 $16$ $16$일 때,

k+\log_2 k=\frac{q}{p}

이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오. 단, $O$ $O$는 원점이고, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

풀이

풀이 전략

먼저 두 곡선의 교점 $A$ $A$를 정리해 $A$ $A$가 어느 지수그래프 위의 점인지 읽는다.
그러면 세 번째 곡선이 그 지수그래프를 $(3,-3)$ $(3,-3)$만큼 옮긴 그래프라는 점이 보이고, 이 이동량이 기울기 $-1$ $-1$인 직선 조건과 바로 맞물린다.
이후 삼각형의 넓이를 밑변 $AB$ $AB$와 원점에서 직선 $AB$ $AB$까지의 거리로 바꾸면 최종 식이 짧게 정리된다.

교점 $A$ $A$를 먼저 익숙한 지수그래프 위에 올려보자

두 곡선의 교점 $A$ $A$의 $x$ $x$좌표를 $a$ $a$라 하자.
교점 조건은 다음과 같다.

2^a+\frac{k}{2}=k\left(\frac12\right)^a+k-2

여기서 $2^a=t\,(t>0)$ $2^a=t\,(t>0)$로 두면 다음과 같다.

t+\frac{k}{2}=\frac{k}{t}+k-2

정리하면 $(t+2)(2t-k)=0$ $(t+2)(2t-k)=0$이다.
$t=2^a>0$ $t=2^a>0$이므로 $t=-2$ $t=-2$는 남을 수 없고, 따라서 $2^a=\frac{k}{2}$ $2^a=\frac{k}{2}$이다.

교점 조건에서 A가 y=2^{x+1} 위의 점임을 정리한 이미지 — 교점 조건을 $2^a=t$ $2^a=t$로 정리하면 $A$ $A$가 $y=2^{x+1}$ $y=2^{x+1}$ 위의 점이라는 정보가 나온다.

따라서 $k=2^{a+1}$ $k=2^{a+1}$이고, $A$ $A$의 $y$ $y$좌표는 $2^a+\frac{k}{2}=\frac{k}{2}+\frac{k}{2}=k$ $2^a+\frac{k}{2}=\frac{k}{2}+\frac{k}{2}=k$이다.
즉 다음과 같다.

A=(a,k)=\left(\log_2\frac{k}{2},\,k\right)

여기서 $k=2^{a+1}$ $k=2^{a+1}$이라는 식은 점 $A=(a,k)$ $A=(a,k)$가 그래프 $y=2^{x+1}$ $y=2^{x+1}$ 위에 있다는 뜻이다.

세 번째 곡선이 원래 그래프에서 어떻게 옮겨졌는지 보자

점 $B$ $B$는 $A$ $A$를 지나고 기울기가 $-1$ $-1$인 직선 위에 있으면서, 곡선 $y=2^{x-2}-3$ $y=2^{x-2}-3$ 위에 있다.
방금 $A$ $A$가 $y=2^{x+1}$ $y=2^{x+1}$ 위의 점이라는 것을 알았다.
그런데 다음 식이 성립한다.

2^{x-2}-3=2^{(x-3)+1}-3

따라서 곡선 $y=2^{x-2}-3$ $y=2^{x-2}-3$은 곡선 $y=2^{x+1}$ $y=2^{x+1}$을 $x$ $x$축 방향으로 $3$ $3$, $y$ $y$축 방향으로 $-3$ $-3$만큼 옮긴 그래프이다.

y=2^{x+1} 그래프를 (3,-3)만큼 평행이동해 B를 찾는 이미지 — $A$ $A$를 $(3,-3)$ $(3,-3)$만큼 옮긴 점은 세 번째 곡선 위에 있고, $AB$ $AB$의 기울기도 $-1$ $-1$이다.

그래프 전체가 $(3,-3)$ $(3,-3)$만큼 옮겨졌으므로, $y=2^{x+1}$ $y=2^{x+1}$ 위의 점 $A=(a,k)$ $A=(a,k)$도 세 번째 곡선 위에서는 $(a+3,k-3)$ $(a+3,k-3)$으로 옮겨진다.
또 $A$ $A$에서 이 점으로 가는 변화량은 $(3,-3)$ $(3,-3)$이고, 이 변화량의 기울기는 $\frac{-3}{3}=-1$ $\frac{-3}{3}=-1$이다.
따라서 이 점은 $A$ $A$를 지나고 기울기가 $-1$ $-1$인 직선 위에도 있다.
그러므로 $B=(a+3,k-3)$ $B=(a+3,k-3)$이다.

기울기가 $-1$ $-1$인 직선 위에서는 $A$ $A$에서 $x$ $x$ 변화량을 $d$ $d$라 두면 $y$ $y$ 변화량은 $-d$ $-d$이다.
다른 이동량이 남는지도 $B=(a+d,k-d)$ $B=(a+d,k-d)$로 놓고 세 번째 곡선에 대입해 확인할 수 있다.
그러면 $k(2^{d-3}-1)=3-d$ $k(2^{d-3}-1)=3-d$가 나오고, $d<3$ $d<3$ 또는 $d>3$ $d>3$에서는 양변의 부호가 서로 맞지 않는다.
따라서 $d=3$ $d=3$만 남는다.

넓이 조건을 직선과 원점의 거리로 바꿔보자

$A$ $A$와 $B$ $B$ 사이의 변화량은 $(3,-3)$ $(3,-3)$이므로 $AB=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt2$ $AB=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt2$이다.
삼각형 $AOB$ $AOB$의 밑변을 $AB$ $AB$로 보면, 높이는 원점 $O$ $O$에서 직선 $AB$ $AB$까지의 거리이다.

삼각형 AOB의 넓이를 AB와 원점에서 직선 AB까지의 높이로 나타낸 이미지 — 밑변을 $AB$ $AB$로 잡으면 높이는 원점 $O$ $O$에서 직선 $AB$ $AB$까지 내린 수선 $OH$ $OH$이다.

넓이가 $16$ $16$이므로 이 거리를 $h$ $h$라 하면 다음과 같다.

\frac12\cdot 3\sqrt2\cdot h=16

따라서 $h=\frac{16\sqrt2}{3}$ $h=\frac{16\sqrt2}{3}$이다.
이제 직선 $AB$ $AB$의 방정식을 쓰면 된다.
직선 $AB$ $AB$는 점 $A=(a,k)$ $A=(a,k)$를 지나고 기울기가 $-1$ $-1$이므로 $y-k=-(x-a)$ $y-k=-(x-a)$이고, 정리하면 $x+y-k-a=0$ $x+y-k-a=0$이다.

원점과 이 직선 사이의 거리는 다음과 같다.

\frac{|0+0-k-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|k+a|}{\sqrt2}

앞에서 구한 높이와 같아야 하므로 $\frac{|k+a|}{\sqrt2}=\frac{16\sqrt2}{3}$ $\frac{|k+a|}{\sqrt2}=\frac{16\sqrt2}{3}$, 즉 $|k+a|=\frac{32}{3}$ $|k+a|=\frac{32}{3}$이다.

절댓값 안의 부호를 확인하고 마무리하자

마지막에는 $a=\log_2\frac{k}{2}=\log_2 k-1$ $a=\log_2\frac{k}{2}=\log_2 k-1$을 되돌린다.
그러면 $k+a=k+\log_2 k-1$ $k+a=k+\log_2 k-1$이다.
문제에서 $k>1$ $k>1$이므로 $\log_2 k>0$ $\log_2 k>0$이고, 따라서 $k+\log_2 k-1>0$ $k+\log_2 k-1>0$이다.

직선 AB의 거리식에서 k+log_2 k 값을 구하는 계산 이미지 — 직선식과 원점-직선 거리식을 결합하면 $|k+a|=\frac{32}{3}$ $|k+a|=\frac{32}{3}$이고, $a=\log_2 k-1$ $a=\log_2 k-1$을 대입해 마무리한다.

절댓값은 양수 방향으로 풀리므로 다음과 같다.

k+\log_2 k-1=\frac{32}{3}

따라서 $k+\log_2 k=\frac{35}{3}$ $k+\log_2 k=\frac{35}{3}$이다.
문제에서 $k+\log_2 k=\frac{q}{p}$ $k+\log_2 k=\frac{q}{p}$이고 $p,q$ $p,q$는 서로소인 자연수이므로 $p=3$ $p=3$, $q=35$ $q=35$이다.
구하는 값은 $p+q=38$ $p+q=38$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항의 갈림길은 $B$ $B$의 좌표를 잡는 방식이다.
$A$ $A$를 먼저 $y=2^{x+1}$ $y=2^{x+1}$ 위의 점으로 읽으면, 세 번째 곡선이 그 그래프를 $(3,-3)$ $(3,-3)$만큼 옮긴 것이라는 장면이 보인다.

그때 $A$ $A$에서 $(3,-3)$ $(3,-3)$만큼 움직인 점은 세 번째 곡선 위에 있고, 동시에 기울기 $-1$ $-1$인 직선 위에 있다.
이 관찰이 $B$ $B$의 좌표를 바로 정해 준다.
비슷한 지수함수 교점 문제에서도 한 점의 좌표를 구한 뒤에는 그 점이 어느 기본 그래프 위에 놓이는지 같이 확인해 보는 것이 좋다.