안쪽 값 f(x)가 f(t)=t의 해 0,3 중 하나여야 함을 이용해 한 주기 해 0,1,3을 찾고, 주기 4 반복으로 a20=25, a21=27, a22=28을 계산한다.
문제
2026학년도 6월 모의평가 수학 20번 문제 조건문제 텍스트주관식
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)\(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
0≤x<4\(0\le x<4\)일 때 f(x)=−x2+4x\(f(x)=-x^2+4x\)이고, 모든 실수 x\(x\)에 대하여 f(x+4)=f(x)\(f(x+4)=f(x)\)이다.
방정식 f(f(x))=f(x)\(f(f(x))=f(x)\)의 0\(0\) 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, n\(n\)번째 수를 an\(a_n\)이라 하자. 다음은 a20+a21+a22\(a_{20}+a_{21}+a_{22}\)의 값을 구하는 과정이다.
방정식 f(x)=x\(f(x)=x\)의 모든 실근이 0,3\(0,3\)이므로 방정식 f(f(x))=f(x)\(f(f(x))=f(x)\)의 실근을 구하는 것은 방정식 f(x)(f(x)−3)=0\(f(x)(f(x)-3)=0\)의 실근을 구하는 것과 같다.
0≤x<4\(0\le x<4\)일 때, 방정식 f(x)(f(x)−3)=0\(f(x)(f(x)-3)=0\)의 모든 실근은 0,(가),3\(0,\ \text{(가)},\ 3\)이므로 a1=0,a2=(가),a3=3\(a_1=0,\ a_2=\text{(가)},\ a_3=3\)이다.
또한 모든 실수 x\(x\)에 대하여 f(x+4)=f(x)\(f(x+4)=f(x)\)이므로 세 수열 {a3n−2}\(\{a_{3n-2}\}\), {a3n−1}\(\{a_{3n-1}\}\), {a3n}\(\{a_{3n}\}\)은 첫째항이 각각 0,(가),3\(0,\ \text{(가)},\ 3\)이고 공차가 모두 (나)인 등차수열이다.
따라서 a20+a21+a22=(다)\(a_{20}+a_{21}+a_{22}=\text{(다)}\)이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p,q,r\(p,q,r\)이라 할 때, p+q+r\(p+q+r\)의 값을 구하시오.
정답
85
풀이
풀이 전략
안쪽 값 f(x)\(f(x)\)를 하나의 수로 두면, 그 값이 f(t)=t\(f(t)=t\)의 해인지 확인하는 문제로 바뀐다. 문제에서 f(t)=t\(f(t)=t\)의 실근이 0,3\(0,3\)이라고 주어졌으므로 f(x)\(f(x)\)가 0\(0\) 또는 3\(3\)인 경우를 한 주기에서 찾는다. 한 주기 해를 얻은 뒤에는 주기 4\(4\)가 같은 위치의 해를 4\(4\)씩 밀어 주므로 세 등차수열로 정리한다.
Step 1. 합성 조건을 한 주기 방정식으로 바꾸기
y=f(x)\(y=f(x)\)라고 두면 f(f(x))=f(x)\(f(f(x))=f(x)\)는 f(y)=y\(f(y)=y\)이다. f(y)=y\(f(y)=y\)의 실근이 0,3\(0,3\)뿐이므로 y\(y\)는 0\(0\) 또는 3\(3\)이다. 다시 y=f(x)\(y=f(x)\)를 넣으면 f(x)=0\(f(x)=0\) 또는 f(x)=3\(f(x)=3\), 곧 f(x)(f(x)−3)=0\(f(x)(f(x)-3)=0\)을 풀면 된다.
0≤x<4\(0\le x<4\)에서 f(x)=x(4−x)\(f(x)=x(4-x)\)이다. 아래 그래프는 y=x(4−x)\(y=x(4-x)\)와 y=3\(y=3\)을 함께 놓고, 한 주기에서 남는 해를 표시한 것이다.
한 주기에서 f(x)=0\(f(x)=0\) 또는 f(x)=3\(f(x)=3\)의 해가 0,1,3\(0,1,3\)임을 보여 주는 그래프
그림에서 f(x)=0\(f(x)=0\)은 x=0\(x=0\)을 준다. 식 x(4−x)=0\(x(4-x)=0\)에는 x=4\(x=4\)도 나타나지만, 한 주기 구간이 0≤x<4\(0\le x<4\)라서 오른쪽 끝 4\(4\)는 제외된다.
또 f(x)=3\(f(x)=3\)은 −x2+4x=3\(-x^2+4x=3\), 즉 x2−4x+3=0\(x^2-4x+3=0\)이다. (x−1)(x−3)=0\((x-1)(x-3)=0\)이므로 x=1,3\(x=1,3\)이다.
따라서 0≤x<4\(0\le x<4\)에서 방정식의 해는 작은 순서대로 0,1,3\(0,1,3\)이고, 빈칸 (가)는1\(1\)이다. 즉 p=1\(p=1\)이다.
Step 2. 주기 4로 해 배열하기
함수 f\(f\)는 f(x+4)=f(x)\(f(x+4)=f(x)\)를 만족하므로 주기가 4\(4\)이다. 한 주기에서 얻은 해 0,1,3\(0,1,3\)은 다음 주기에서 4,5,7\(4,5,7\), 그다음 주기에서 8,9,11\(8,9,11\)로 이어진다.
한 주기 해 0,1,3\(0,1,3\)이 4\(4\)씩 반복되어 a20,a21,a22\(a_{20},a_{21},a_{22}\)의 위치가 정해지는 구조
같은 자리끼리 모으면 {a3n−2}\(\{a_{3n-2}\}\), {a3n−1}\(\{a_{3n-1}\}\), {a3n}\(\{a_{3n}\}\)은 각각 첫째항이 0,1,3\(0,1,3\)이고 공차가 모두 4\(4\)인 등차수열이다. 따라서 빈칸 (나)는 4\(4\)이고, q=4\(q=4\)이다.
이미지에서 보듯이 a20\(a_{20}\)과 a21\(a_{21}\)은 7번째 묶음의 두 번째와 세 번째 항이고, a22\(a_{22}\)는 8번째 묶음의 첫 번째 항이다. 그래서 20=3⋅7−1\(20=3\cdot7-1\), 21=3⋅7\(21=3\cdot7\), 22=3⋅8−2\(22=3\cdot8-2\)로 읽는다.
처음 막히는 부분은 f(f(x))=f(x)\(f(f(x))=f(x)\)를 f(x)=0\(f(x)=0\) 또는 f(x)=3\(f(x)=3\)으로 읽는 전환이다. 안쪽 값 f(x)\(f(x)\)가 바깥쪽 방정식 f(t)=t\(f(t)=t\)의 해가 되어야 한다는 점을 잡으면 식이 바로 줄어든다.
다음으로 x=4\(x=4\)는 x(4−x)=0\(x(4-x)=0\)의 해처럼 보이지만 한 주기 구간 0≤x<4\(0\le x<4\)에는 들어가지 않는다. 마지막 계산에서도 a20+a21+a22=80\(a_{20}+a_{21}+a_{22}=80\)은 빈칸 (다)의 값이고, 최종 답은 p+q+r=85\(p+q+r=85\)라는 구분을 유지해야 한다.
