nπ/2의 4주기 표로 a₄ₙ₋₂=-β, a₄ₙ₋₃=α를 읽고, 두 급수의 비로 r=-β/(α+β)를 얻어 수렴 조건으로 α=-1, β=-2를 확정한다.
문제
2026학년도 6월 모의평가 수학 미적분 29번 문제 조건문제 텍스트주관식
두 정수 α,β(α>β)\(\alpha,\beta\ (\alpha>\beta)\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 {an}\(\{a_n\}\)이 있다.
모든 자연수 n\(n\)에 대하여 an=αsin2nπ+βcos2nπ\(a_n=\alpha\sin\frac{n\pi}{2}+\beta\cos\frac{n\pi}{2}\)이고, a1a2a3a4=4\(a_1a_2a_3a_4=4\)이다.
수열 {an}\(\{a_n\}\)과 b1>0\(b_1>0\)인 등비수열 {bn}\(\{b_n\}\)에 대하여
∑n=1∞a4n−2bn=∑n=1∞a4n−3b2n=6\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-2}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-3}b_{2n}=6\)일 때, b1b3=pq\(b_1b_3=\frac{q}{p}\)이다.
단, p\(p\)와 q\(q\)는 서로소인 자연수이다. p+q\(p+q\)의 값을 구하시오.
정답
109
풀이
풀이 전략
각도가 2nπ\(\frac{n\pi}{2}\) 꼴이면 사인과 코사인의 값이 네 칸마다 반복된다. 먼저 a1,a2,a3,a4\(a_1,a_2,a_3,a_4\)를 표로 쓰고, 그 표에서 a4n−2\(a_{4n-2}\)와 a4n−3\(a_{4n-3}\)의 자리를 읽는다. 이후 급수 조건은 등비수열의 전체합과 짝수번째 항들의 합으로 바뀌므로, 두 합의 비를 이용해 공비를 먼저 잡는다.
네 항만 써서 반복되는 자리를 확인해보자
처음 식에는 삼각함수와 수열이 함께 들어 있다. 각도가 2nπ\(\frac{n\pi}{2}\) 꼴이면 n\(n\)이 1씩 커질 때 사인과 코사인의 값이 네 칸마다 반복된다. 그래서 긴 수열을 보려 하기 전에 a1,a2,a3,a4\(a_1,a_2,a_3,a_4\)만 먼저 써 본다.
2nπ\(\frac{n\pi}{2}\)에서 생기는 4칸 반복과 급수에 들어가는 두 자리의 값을 정리한 표이다.
그림의 표에서 an\(a_n\)은 α,−β,−α,β\(\alpha,-\beta,-\alpha,\beta\) 순서로 반복된다. 4n−2\(4n-2\)는 4로 나누었을 때 나머지가 2인 자리이고, 4n−3\(4n-3\)은 나머지가 1인 자리이다. 따라서 a4n−2=−β,a4n−3=α\(a_{4n-2}=-\beta,\ a_{4n-3}=\alpha\)이다. 이 한 줄 때문에 급수 조건은 등비수열 {bn}\(\{b_n\}\)의 전체합과 짝수번째 항들의 합을 묻는 조건으로 정리된다.
네 항의 곱에서 가능한 정수쌍을 먼저 열어보자
방금 만든 반복은 곱 조건에도 그대로 쓰인다. 네 항의 곱은 a1a2a3a4=α(−β)(−α)β=α2β2\(a_1a_2a_3a_4=\alpha(-\beta)(-\alpha)\beta=\alpha^2\beta^2\)이다. 조건에서 이 값이 4이므로 (αβ)2=4\((\alpha\beta)^2=4\), 곧 αβ=±2\(\alpha\beta=\pm2\)이다.
α,β\(\alpha,\beta\)는 정수이고 α>β\(\alpha>\beta\)이다. 가능한 정수쌍을 먼저 열어 두면 (α,β)=(2,1),(−1,−2),(2,−1),(1,−2)\((\alpha,\beta)=(2,1),\ (-1,-2),\ (2,-1),\ (1,-2)\)이다.
첫 번째 급수 조건은 a4n−2=−β\(a_{4n-2}=-\beta\)를 이용해 (−β)∑n=1∞bn=6\((-\beta)\sum_{n=1}^{\infty}b_n=6\)으로 바뀐다. 여기서 b1>0\(b_1>0\)이고 급수가 수렴하므로 ∣r∣<1\(|r|<1\)이며, ∑bn=1−rb1>0\(\sum b_n=\frac{b_1}{1-r}>0\)이다. 곱 (−β)∑bn\((-\beta)\sum b_n\)이 양수 6이 되려면 β<0\(\beta<0\)이어야 한다.
첫 번째 급수의 부호를 이용해 β<0\(\beta<0\)인 후보만 남기는 과정이다.
따라서 (2,1)\((2,1)\)은 첫 번째 급수의 부호와 맞지 않고, 남는 후보는 (−1,−2),(2,−1),(1,−2)\((-1,-2),\ (2,-1),\ (1,-2)\)이다.
두 급수를 나누어 공비를 먼저 잡아보자
남은 후보는 세 개이다. 두 급수의 값이 모두 6이라는 점을 이용하면 공비 r\(r\)부터 잡힌다. 앞에서 얻은 두 자리값을 급수 조건에 넣으면 다음과 같다.
따라서 ∑n=1∞bn=−β6\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n=-\frac{6}{\beta}\)이고, ∑n=1∞b2n=α6\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\frac{6}{\alpha}\)이다.
같은 두 합을 등비수열의 공비로도 표현해 본다. 전체합은 1−rb1\(\frac{b_1}{1-r}\)이다. 짝수번째 항들의 합은 b2+b4+b6+⋯\(b_2+b_4+b_6+\cdots\)이므로 첫째항이 b1r\(b_1r\), 공비가 r2\(r^2\)인 등비급수이다. 따라서 ∑n=1∞b2n=1−r2b1r\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\frac{b_1r}{1-r^2}\)이다.
두 합의 비를 만들면 b1\(b_1\)이 사라지고 공비 r\(r\)만 남는다.
그림처럼 두 합의 비를 등비수열 쪽에서 쓰면 ∑bn∑b2n=1+rr\(\frac{\sum b_{2n}}{\sum b_n}=\frac{r}{1+r}\)이고, 조건 쪽에서 쓰면 ∑bn∑b2n=−αβ\(\frac{\sum b_{2n}}{\sum b_n}=-\frac{\beta}{\alpha}\)이다. 두 표현이 같은 값을 나타내므로 1+rr=−αβ\(\frac{r}{1+r}=-\frac{\beta}{\alpha}\)이다.
이 식을 정리하면 αr=−β(1+r)\(\alpha r=-\beta(1+r)\), (α+β)r=−β\((\alpha+\beta)r=-\beta\)이다. 따라서 다음과 같다.
r=−α+ββ\[r=-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\]
수렴 조건으로 세 후보를 걸러보자
이제 후보마다 r=−α+ββ\(r=-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\)를 확인한다. 무한등비급수의 합이 존재하려면 ∣r∣<1\(|r|<1\)이어야 한다.
남은 세 후보 중 ∣r∣<1\(|r|<1\)을 만족하는 경우만 고르는 표이다.
표에서 (−1,−2)\((-1,-2)\)일 때는 r=−32\(r=-\frac23\)이고 수렴 조건을 만족한다. (2,−1)\((2,-1)\)일 때는 r=1\(r=1\)이라 급수가 수렴하지 않고, (1,−2)\((1,-2)\)일 때는 r=−2\(r=-2\)라 ∣r∣<1\(|r|<1\)을 만족하지 않는다.
따라서 α=−1,β=−2,r=−32\(\alpha=-1,\ \beta=-2,\ r=-\frac23\)이다. 공비가 음수로 나와도 괜찮다. 문제는 b1>0\(b_1>0\)만 말하고 있고, 공비의 부호를 따로 제한하지 않는다.
첫 번째 급수로 b1\(b_1\)을 구해보자
이제 목표는 b1b3\(b_1b_3\)이다. 공비 r=−32\(r=-\frac23\)을 알았으므로, 첫째항 b1\(b_1\)을 구하면 바로 목표값으로 갈 수 있다.
β=−2\(\beta=-2\)이므로 −β=2\(-\beta=2\)이다. 첫 번째 급수 조건에서 2∑n=1∞bn=6\(2\sum_{n=1}^{\infty}b_n=6\)이므로 ∑n=1∞bn=3\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n=3\)이다.
등비급수 합을 쓰면 1−(−32)b1=3\(\frac{b_1}{1-\left(-\frac23\right)}=3\)이다. 따라서 5/3b1=3\(\frac{b_1}{5/3}=3\)이고, b1=5\(b_1=5\)이다.
등비수열에서 b3=b1r2\(b_3=b_1r^2\)이므로 b3=5(−32)2=920\(b_3=5\left(-\frac23\right)^2=\frac{20}{9}\)이다. 따라서 b1b3=5⋅920=9100\(b_1b_3=5\cdot\frac{20}{9}=\frac{100}{9}\)이다.
b1b3=pq\(b_1b_3=\frac{q}{p}\)이고 p,q\(p,q\)가 서로소인 자연수이므로 p=9\(p=9\), q=100\(q=100\)이다. 구하는 값은 109\(\boxed{109}\)이다.
마지막에 두 급수 조건을 다시 넣어보자
구한 값이 원래 조건과 맞는지 확인한다. α=−1\(\alpha=-1\), β=−2\(\beta=-2\)이면 (a1,a2,a3,a4)=(−1,2,1,−2)\((a_1,a_2,a_3,a_4)=(-1,2,1,-2)\)이므로 a1a2a3a4=(−1)⋅2⋅1⋅(−2)=4\(a_1a_2a_3a_4=(-1)\cdot2\cdot1\cdot(-2)=4\)이다.
또 b1=5\(b_1=5\), r=−32\(r=-\frac23\)이면 ∑n=1∞bn=1+325=3\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\frac{5}{1+\frac23}=3\)이다. 따라서 ∑n=1∞a4n−2bn=2⋅3=6\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-2}b_n=2\cdot3=6\)이다.
짝수번째 항들의 합은 ∑n=1∞b2n=1−945(−32)=−6\(\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\frac{5\left(-\frac23\right)}{1-\frac49}=-6\)이고, a4n−3=α=−1\(a_{4n-3}=\alpha=-1\)이므로 ∑n=1∞a4n−3b2n=(−1)(−6)=6\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-3}b_{2n}=(-1)(-6)=6\)이다. 원래 조건과 모두 맞는다.
이 문항에서 어려웠던 지점
이 문항에서 처음 당황스러운 부분은 삼각함수 식과 등비급수가 한꺼번에 보인다는 점이다. 이때 2nπ\(\frac{n\pi}{2}\)가 보이면 긴 식을 밀기 전에 네 항만 써서 반복을 확인한다. 그 표 하나로 a4n−2=−β\(a_{4n-2}=-\beta\), a4n−3=α\(a_{4n-3}=\alpha\)가 바로 나온다.
두 번째 갈림길은 부호이다. b1>0\(b_1>0\)이고 ∣r∣<1\(|r|<1\)이면 ∑bn\(\sum b_n\)은 양수이다. 첫 번째 급수의 값이 양수 6이므로 β<0\(\beta<0\)이 되고, 가능한 정수쌍이 빠르게 줄어든다.
마지막으로 두 급수의 값이 같다는 점에서 두 합의 비를 만들어 본다. 그러면 b1\(b_1\)이 사라지고 공비 r\(r\)만 남는다. 이 관찰이 후보 확인을 짧게 만들어 준다.
