두 그래프의 차이 g(x)=f(x)-(x/3-2/3)의 근은 x=4/9, 2이다 0≤x≤4/9와 x≥2에서는 곡선이 직선보다 위에 있고, 4/9≤x≤2에서는 직선이 위에 있다 A+C=B는 A-B+C=0으로 옮겨 부호 있는 적분 ∫_0^k g(x) dx=0으로 합칠 수 있다 오른쪽 경계는 k>2이므로 방정식의 해 중 8/3만 남는다

2026학년도 6월 모의평가 수학 13번 풀이 | 두 그래프 사이의 넓이와 부호 있는 적분

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 13번 손필기 해설입니다. 두 그래프의 차이 g(x)를 인수분해해 교점 4/9, 2와 부호 변화를 확인하고 A+C=B를 부호 있는 적분으로 합쳐 k=8/3, 정답 ④를 얻는 흐름을 정리합니다. Mathlab.kr

정답: ④
발행: 2026년 6월 29일
수정: 2026년 6월 30일

정답

④

핵심 요약

두 그래프의 차이 g(x)를 인수분해해 교점과 부호를 확인하고, A+C=B를 0부터 k까지의 부호 있는 적분으로 합쳐 k=8/3을 구한다.

문제

문제 텍스트 객관식

그림과 같이 함수 $f(x)=3x^2-7x+2$ $f(x)=3x^2-7x+2$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 직선 $y=\frac13x-\frac23$ $y=\frac13x-\frac23$ 및 $y$ $y$축으로 둘러싸인 영역을 $A$ $A$라 한다.

곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 직선 $y=\frac13x-\frac23$ $y=\frac13x-\frac23$로 둘러싸인 영역을 $B$ $B$라 한다.

곡선 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 두 직선 $y=\frac13x-\frac23$ $y=\frac13x-\frac23$, $x=k\ (k>2)$ $x=k\ (k>2)$로 둘러싸인 영역을 $C$ $C$라 한다.

$(A\text{의 넓이})+(C\text{의 넓이})=(B\text{의 넓이})$ $(A\text{의 넓이})+(C\text{의 넓이})=(B\text{의 넓이})$일 때, 상수 $k$ $k$의 값은?

① $\frac{29}{12}$ $\frac{29}{12}$
② $\frac52$ $\frac52$
③ $\frac{31}{12}$ $\frac{31}{12}$
④ $\frac83$ $\frac83$
⑤ $\frac{11}{4}$ $\frac{11}{4}$

정답

④

풀이

풀이 전략

세 영역이 따로 보이지만, 모두 곡선과 직선 사이의 넓이이다.
먼저 두 그래프의 세로 차이를 쓰고 교점을 찾으면, 어느 구간에서 곡선이 위에 있는지 한 번에 정리된다.
그 다음 $A+C=B$ $A+C=B$를 $A-B+C=0$ $A-B+C=0$으로 옮겨, 세 구간을 하나의 부호 있는 적분으로 이어 붙인다.

Step 1. 두 그래프 사이의 차이를 써보자

곡선과 직선 사이의 넓이는 위쪽 그래프와 아래쪽 그래프의 차이에서 출발한다.
두 그래프의 차이를 $g(x)$ $g(x)$라 두면 다음과 같다.

g(x)=f(x)-\left(\frac13x-\frac23\right) =3x^2-7x+2-\frac13x+\frac23 =\frac13(x-2)(9x-4)

두 그래프가 만나는 곳은 $g(x)=0$ $g(x)=0$인 곳이므로 $x=\frac49,\ 2$ $x=\frac49,\ 2$이다.
이 두 값이 영역을 나누는 경계가 된다.
아래 그림처럼 $0$ $0$부터 $k$ $k$까지의 구간을 나누어 보면 부호가 $+,-,+$ $+,-,+$로 바뀐다.

포물선과 직선의 교점 및 세 영역 A, B, C의 부호 관계 — 두 그래프의 교점과 $g(x)$ $g(x)$의 부호가 영역 $A,B,C$ $A,B,C$를 나누는 기준이 된다.

그림에서 $P\left(\frac49,-\frac{14}{27}\right)$ $P\left(\frac49,-\frac{14}{27}\right)$는 $x$ $x$축 아래의 교점이고, $Q(2,0)$ $Q(2,0)$은 $x$ $x$축 위의 교점이다.
따라서 $0\le x\le\frac49$ $0\le x\le\frac49$와 $x\ge2$ $x\ge2$에서는 $g(x)\ge0$ $g(x)\ge0$, $\frac49\le x\le2$ $\frac49\le x\le2$에서는 $g(x)\le0$ $g(x)\le0$이다.

Step 2. 세 넓이를 부호 있는 적분으로 이어 붙여보자

왼쪽 교점을 $a=\frac49$ $a=\frac49$라 두자.
부호를 반영하면 세 영역의 넓이는 다음처럼 쓸 수 있다.

A=\int_0^a g(x)\,dx,\qquad B=-\int_a^2 g(x)\,dx,\qquad C=\int_2^k g(x)\,dx

가운데 구간에서는 $g(x)\le0$ $g(x)\le0$이므로 넓이 $B$ $B$ 앞에 음수가 붙는다.
이 부호가 넓이 조건을 하나의 적분으로 합치게 만드는 지점이다.

넓이 조건 A+C=B를 부호 있는 적분으로 합치는 과정 — $A+C=B$ $A+C=B$를 $A-B+C=0$ $A-B+C=0$으로 옮기면 세 구간이 $0$ $0$부터 $k$ $k$까지 이어진다.

문제의 조건 $A+C=B$ $A+C=B$를 한쪽으로 모으면 $A-B+C=0$ $A-B+C=0$이다.
위의 적분식을 넣으면 다음과 같다.

\int_0^a g(x)\,dx+\int_a^2 g(x)\,dx+\int_2^k g(x)\,dx=0

세 구간 $[0,a]$ $[0,a]$, $[a,2]$ $[a,2]$, $[2,k]$ $[2,k]$가 차례로 붙어 있으므로 곧 $\int_0^k g(x)\,dx=0$ $\int_0^k g(x)\,dx=0$이 된다.

Step 3. $0$ $0$부터 $k$ $k$까지 한 번 적분해보자

$g(x)=3x^2-\frac{22}{3}x+\frac83$ $g(x)=3x^2-\frac{22}{3}x+\frac83$이므로 조건은 다음과 같다.

\int_0^k\left(3x^2-\frac{22}{3}x+\frac83\right)dx=0

원시함수를 넣어 정리하면 다음 식을 얻는다.

k^3-\frac{11}{3}k^2+\frac83k=0

이 식을 인수분해하면 다음과 같다.

k^3-\frac{11}{3}k^2+\frac83k =\frac{k}{3}(3k^2-11k+8) =\frac{k}{3}(k-1)(3k-8)=0

따라서 가능한 값은 $k=0,\ 1,\ \frac83$ $k=0,\ 1,\ \frac83$이다.

Step 4. 조건과 정답을 확인해보자

문제에서 $k>2$ $k>2$라고 했으므로 $k=0,\ 1$ $k=0,\ 1$은 조건을 만족하지 않는다.
남는 값은 $k=\frac83$ $k=\frac83$이다.

또 $k=\frac83$ $k=\frac83$은 $2$ $2$보다 크고, $x\ge2$ $x\ge2$에서 $g(x)\ge0$ $g(x)\ge0$이므로 오른쪽 영역 $C$ $C$를 $\int_2^k g(x)\,dx$ $\int_2^k g(x)\,dx$로 읽은 부호와도 맞다.
따라서 정답은 $\boxed{\frac83}$ $\boxed{\frac83}$, ④이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

영역이 세 개라서 처음에는 넓이를 각각 따로 계산해야 할 것처럼 보인다.
그런데 두 그래프의 차이 $g(x)$ $g(x)$를 쓰면 $A$ $A$와 $C$ $C$는 양의 부호, $B$ $B$는 음의 부호로 한 식 안에 들어온다.

이때 $A+C=B$ $A+C=B$가 $A-B+C=0$ $A-B+C=0$으로 바뀌고, 그림의 세 조각은 $x=0$ $x=0$부터 $x=k$ $x=k$까지 이어지는 하나의 부호 있는 적분이 된다.
비슷한 넓이 비교 문제에서도 먼저 두 그래프의 차이와 교점을 잡고, 조건식 안에서 넓이들이 어떤 부호로 합쳐지는지 확인하면 계산이 짧아진다.