(나) x\(x\)에 대한 방정식 g(x)=t\(g(x)=t\)의 서로 다른 실근의 개수가 2\(2\)가 되도록 하는 실수 t\(t\)의 최댓값은 13\(13\)이다.
①415\(\frac{15}{4}\)
②427\(\frac{27}{4}\)
③439\(\frac{39}{4}\)
④451\(\frac{51}{4}\)
⑤463\(\frac{63}{4}\)
정답
①
풀이
풀이 전략
처음에는 g\(g\)의 식이 바뀌는 지점인 x=−1,1\(x=-1,1\)을 수직선에 찍는다. 조건 (가)는 오른쪽 미분계수의 부호 조건이므로, 각 구간에서 g\(g\)의 식을 보고 f′\(f'\)의 부호를 먼저 정한다. 그다음 조건 (나)는 g(x)=t\(g(x)=t\)를 수평선 y=t\(y=t\)와 그래프 y=g(x)\(y=g(x)\)의 교점 개수로 읽는다.
Step 1. x=−1,1\(x=-1,1\)을 기준으로 f′\(f'\)의 부호를 보자
함수 g\(g\)의 식은 ∣x∣=1\(|x|=1\)을 기준으로 바뀐다. 바깥쪽에서는 g(x)=f(x)+k\(g(x)=f(x)+k\), 안쪽에서는 g(x)=−f(x)\(g(x)=-f(x)\)이다. 조건 (가)는 오른쪽으로 아주 조금 움직였을 때 그래프가 올라가면 안 된다는 뜻이다.
아래 필기처럼 세 구간을 나누면, 바깥쪽에서는 g\(g\)의 오른쪽 기울기가 f′\(f'\), 안쪽에서는 −f′\(-f'\)가 된다.
조건 (가)를 x=−1,1\(x=-1,1\) 기준으로 나누면 f′\(f'\)의 부호가 바깥쪽 음수, 안쪽 양수로 정해진다.
따라서 x<−1\(x<-1\) 또는 x>1\(x>1\)에서는 f′(x)≤0\(f'(x)\le0\), −1<x<1\(-1<x<1\)에서는 f′(x)≥0\(f'(x)\ge0\)이다. f\(f\)가 삼차함수이므로 f′\(f'\)는 이차함수이고, 부호가 바뀌려면 경계점에서 0\(0\)이 되어야 한다. 그래서 f′(−1)=0\(f'(-1)=0\), f′(1)=0\(f'(1)=0\)이다.
그러므로 f′(x)=A(1−x2)\(f'(x)=A(1-x^2)\)로 둘 수 있고, f′(0)=6\(f'(0)=6\)을 대입하면 A=6\(A=6\)이다. 즉 f′(x)=6(1−x2)\(f'(x)=6(1-x^2)\), f(x)=6x−2x3+C\(f(x)=6x-2x^3+C\)이다.
Step 2. x=1\(x=1\)에서는 오른쪽에서 들어오는 식을 확인하자
경계점에서는 오른쪽에서 어떤 식으로 접근하는지가 중요하다. x=−1\(x=-1\)에서는 점 −1\(-1\) 자체도, 오른쪽 근처도 모두 ∣x∣≤1\(|x|\le1\)에 들어가므로 오른쪽에서 계속 g(x)=−f(x)\(g(x)=-f(x)\)이다.
반면 x=1\(x=1\)에서는 점값은 g(1)=−f(1)\(g(1)=-f(1)\)이지만, 1\(1\)보다 조금 큰 쪽에서는 g(x)=f(x)+k\(g(x)=f(x)+k\)이다. 오른쪽 미분계수가 유한하게 존재하려면 분모가 0\(0\)으로 갈 때 분자도 0\(0\)으로 가야 하므로, 오른쪽 접근값과 점값이 같은 높이여야 한다.
x=1\(x=1\)에서는 점값과 오른쪽 접근식이 달라지므로 f(1)+k=−f(1)\(f(1)+k=-f(1)\)이 필요하다.
그림의 같은 높이 조건에서 f(1)+k=−f(1)\(f(1)+k=-f(1)\), 따라서 k=−2f(1)\(k=-2f(1)\)이다. 앞에서 얻은 f(x)=6x−2x3+C\(f(x)=6x-2x^3+C\)를 쓰면 f(1)=4+C\(f(1)=4+C\)이므로 k=−2(4+C)=−8−2C\(k=-2(4+C)=-8-2C\)이다.
Step 3. y=t\(y=t\)를 움직이며 교점이 두 개인 가장 높은 높이를 찾자
조건 (나)는 방정식 g(x)=t\(g(x)=t\)의 실근 개수를 묻는다. 이것은 그래프 y=g(x)\(y=g(x)\)와 수평선 y=t\(y=t\)의 교점 개수를 세는 조건이다.
왼쪽 바깥쪽 구간 x<−1\(x<-1\)에서는 g(x)=f(x)+k\(g(x)=f(x)+k\)이고 그래프가 계속 내려간다. 이 구간의 높이는 +∞\(+\infty\)에서 시작해 x=−1\(x=-1\) 왼쪽 끝값 f(−1)+k=−12−C\(f(-1)+k=-12-C\)로 내려간다. 다만 x=−1\(x=-1\)은 이 왼쪽 구간에 포함되지 않으므로, 왼쪽 구간에서는 t>−12−C\(t>-12-C\)일 때 교점이 하나 생긴다.
[−1,1]\([-1,1]\)에서는 g(x)=−f(x)\(g(x)=-f(x)\)이고, x=1\(x=1\)을 지나 오른쪽 바깥쪽 구간과 같은 높이로 이어진다. g(−1)=−f(−1)=4−C\(g(-1)=-f(-1)=4-C\), g(1)=−f(1)=−4−C\(g(1)=-f(1)=-4-C\)이므로 x=−1\(x=-1\)부터 오른쪽으로 보는 그래프는 높이 4−C\(4-C\)에서 출발해 계속 내려간다.
이제 아래 그래프에서 붉은 수평선을 본다. t>4−C\(t>4-C\)에서는 왼쪽 바깥쪽 구간에서만 한 교점이 생기고, t=4−C\(t=4-C\)가 되는 순간 x=−1\(x=-1\)의 닫힌점이 추가되어 처음으로 두 교점이 된다.
두 교점이 생기는 가장 높은 수평선은 x=−1\(x=-1\)의 닫힌점 높이 g(−1)\(g(-1)\)을 지난다.
따라서 교점이 두 개가 되는 가장 높은 수평선은 y=g(−1)\(y=g(-1)\)이고, 조건 (나)에 의해 g(−1)=13\(g(-1)=13\)이다.
x=−1\(x=-1\)은 ∣x∣≤1\(|x|\le1\)에 포함되므로 g(−1)=−f(−1)\(g(-1)=-f(-1)\)이다. 또한 f(−1)=6(−1)−2(−1)3+C=C−4\(f(-1)=6(-1)-2(-1)^3+C=C-4\)이므로 g(−1)=4−C\(g(-1)=4-C\)이다.
조건 (나)에서 g(−1)=13\(g(-1)=13\)이므로 4−C=13\(4-C=13\), 따라서 C=−9\(C=-9\)이다. 이제 f(x)=6x−2x3−9\(f(x)=6x-2x^3-9\)이고, k=−8−2C=−8+18=10\(k=-8-2C=-8+18=10\)이다.
Step 5. 마지막 값을 계산하자
문제에서 묻는 값은 k+f(21)\(k+f\left(\frac12\right)\)이다.f(x)=6x−2x3−9\(f(x)=6x-2x^3-9\)이므로 f(21)=3−41−9=−425\(f\left(\frac12\right)=3-\frac14-9=-\frac{25}{4}\)이다.
따라서 k+f(21)=10−425=415\(k+f\left(\frac12\right)=10-\frac{25}{4}=\frac{15}{4}\)이다. 정답은 ①이다.
이 문항에서 어려웠던 지점
조건 (가)의 오른쪽 미분계수는 구간 안에서는 f′\(f'\)의 부호를 정하고, 식이 바뀌는 경계에서는 오른쪽에서 들어오는 값이 맞는지도 확인하게 한다. 특히 x=1\(x=1\)에서는g(1)\(g(1)\)과 오른쪽 근처의 식이 서로 다르므로 k=−2f(1)\(k=-2f(1)\)이 나온다.
조건 (나)는 g(x)=t\(g(x)=t\)를 수평선과 그래프의 교점 개수로 읽을 때 빨라진다. 왼쪽 바깥쪽 구간은 높은 곳에서 내려오며 교점 하나를 만들고, x=−1\(x=-1\)부터 오른쪽으로 이어지는 부분은 g(−1)\(g(-1)\)에서 시작해 내려간다. 그래서 교점이 두 개가 되는 가장 높은 높이는 g(−1)\(g(-1)\)이다.
마지막으로 경계 포함 여부도 중요하다. 왼쪽 구간은 x<−1\(x<-1\)이라 −12−C\(-12-C\)가 포함되지 않고, 오른쪽 부분은 x=−1\(x=-1\)을 포함하므로 g(−1)=4−C\(g(-1)=4-C\)가 포함된다. 이 차이가 조건 (나)의 최댓값을 결정한다.
