X={1,2,3,4,5}이고 f는 X에서 X로 가는 함수이다. x=1,2,3,4일 때 f(x+1)+3 ≥ f(x)+x이다. f(2)의 값은 홀수이다. 함수값은 모두 1부터 5까지의 값만 가질 수 있다.

2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 30번 풀이 | 함수값 사슬과 중복조합

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 확률과 통계 30번 손필기 해설입니다. 함수값 다섯 칸과 f(2)의 홀수 조건을 기준으로 왼쪽 선택 수와 오른쪽 a₃≤a₄≤a₅-1 사슬을 중복조합으로 세어 최종 개수 115를 얻습니다. Mathlab.kr

정답: 115
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

115

핵심 요약

함수값을 a₁부터 a₅까지 두고 f(2)=a₂를 1, 3, 5로 고정한다. 오른쪽 세 값은 a₃≤a₄≤a₅-1의 중복조합으로 세고 왼쪽 선택 수를 곱해 115를 얻는다.

문제

문제 텍스트 주관식

집합 $X=\{1,2,3,4,5\}$ $X=\{1,2,3,4,5\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$ $f:X\to X$의 개수를 구하시오.

(가) $x=1,2,3,4$ $x=1,2,3,4$일 때 $f(x+1)+3\ge f(x)+x$ $f(x+1)+3\ge f(x)+x$이다.

(나) $f(2)$ $f(2)$의 값은 홀수이다.

정답

115

풀이

풀이 전략

함수의 개수를 세는 문제이지만, 조건은 $f(x)$ $f(x)$와 $f(x+1)$ $f(x+1)$처럼 이웃한 함수값을 비교한다.
먼저 함수값을 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$라는 다섯 칸으로 놓고, $f(2)$ $f(2)$의 홀수 조건이 어느 칸을 기준으로 만드는지 본다.
그다음 오른쪽 세 칸을 같은 방향의 부등식 사슬로 정리해 중복조합으로 센다.

함수값 다섯 칸을 먼저 써보자

함수값을 $a_i=f(i)$ $a_i=f(i)$로 두면 각 $a_i$ $a_i$는 모두 $1,2,3,4,5$ $1,2,3,4,5$ 중 하나이다.
조건 (가)에 $x=1,2,3,4$ $x=1,2,3,4$를 차례로 넣으면 다음 네 조건이 나온다.

\begin{aligned} a_2+3&\ge a_1+1,\\ a_3+3&\ge a_2+2,\\ a_4+3&\ge a_3+3,\\ a_5+3&\ge a_4+4. \end{aligned}

정리하면 $a_1\le a_2+2$ $a_1\le a_2+2$, $a_3\ge a_2-1$ $a_3\ge a_2-1$, $a_4\ge a_3$ $a_4\ge a_3$, $a_5-1\ge a_4$ $a_5-1\ge a_4$이다.
아래 그림처럼 가운데 칸 $a_2$ $a_2$가 왼쪽 한 칸과 오른쪽 세 칸을 동시에 제한한다.

함수값 다섯 칸과 a2 기준 부등식 사슬 — 함수값 다섯 칸에서 가운데 값 a₂가 왼쪽과 오른쪽 조건을 나누는 모습

조건 (나)에 의해 $a_2=f(2)$ $a_2=f(2)$는 홀수이므로 $a_2\in\{1,3,5\}$ $a_2\in\{1,3,5\}$이다.
$a_2$ $a_2$를 하나 정하면 왼쪽은 $a_1\le a_2+2$ $a_1\le a_2+2$만 세면 되고, 오른쪽은 $a_2-1\le a_3\le a_4\le a_5-1\le4$ $a_2-1\le a_3\le a_4\le a_5-1\le4$로 묶인다.
여기서 마지막의 $\le4$ $\le4$는 $a_5\le5$ $a_5\le5$에서 나온다.

오른쪽 세 칸은 $a_5-1$ $a_5-1$까지 함께 줄 세워보자

마지막 조건 $a_5\ge a_4+1$ $a_5\ge a_4+1$은 $a_4\le a_5-1$ $a_4\le a_5-1$로 읽을 수 있다.
그래서 오른쪽 세 칸은 $a_3$ $a_3$, $a_4$ $a_4$, $a_5-1$ $a_5-1$을 작은 순서로 놓는 문제로 바뀐다.

다만 실제 후보 숫자는 $a_2-1$ $a_2-1$과 $1$ $1$ 중 큰 값부터 시작한다.
$a_3,a_4$ $a_3,a_4$는 $X$ $X$의 값이고, $a_5-1$ $a_5-1$도 $a_4$ $a_4$ 이상이어야 하기 때문이다.
이 점까지 반영하면 아래 표처럼 $a_2=1,3,5$ $a_2=1,3,5$에 따른 오른쪽 선택 수가 정리된다.

a2 값에 따른 오른쪽 세 칸의 후보 숫자와 중복조합 선택 수 — a₂ 값에 따라 오른쪽 세 칸의 후보 숫자와 선택 수가 줄어드는 표

$a_2=1$ $a_2=1$이면 오른쪽은 $1,2,3,4$ $1,2,3,4$ 중 중복을 허락해 $3$ $3$개를 고르는 경우이므로 ${}_4H_3={6\choose3}=20$ ${}_4H_3={6\choose3}=20$가지이다.
$a_2=3$ $a_2=3$이면 후보가 $2,3,4$ $2,3,4$로 줄어 ${}_3H_3={5\choose3}=10$ ${}_3H_3={5\choose3}=10$가지이다.
$a_2=5$ $a_2=5$이면 $4\le a_3\le a_4\le a_5-1\le4$ $4\le a_3\le a_4\le a_5-1\le4$이므로 한 가지뿐이다.

왼쪽 선택 수와 오른쪽 선택 수를 곱해보자

$a_2$ $a_2$가 정해진 뒤에는 $a_1$ $a_1$ 선택과 오른쪽 세 칸 선택이 서로 따로 움직인다.
그래서 각 경우마다 왼쪽 선택 수와 오른쪽 선택 수를 곱한다.

a2 세 경우의 왼쪽 선택 수와 오른쪽 선택 수 곱셈 표 — a₂를 1, 3, 5로 고정했을 때 왼쪽 선택 수와 오른쪽 선택 수를 곱하는 마지막 계산

$a_2=1$ $a_2=1$이면 $a_1\le3$ $a_1\le3$이므로 $a_1$ $a_1$은 $3$ $3$가지이고, 오른쪽 선택 수는 $20$ $20$가지이다.
따라서 $3\cdot20=60$ $3\cdot20=60$가지이다.

$a_2=3$ $a_2=3$이면 $a_1\le5$ $a_1\le5$이므로 $a_1$ $a_1$은 $5$ $5$가지이고, 오른쪽 선택 수는 $10$ $10$가지이다.
따라서 $5\cdot10=50$ $5\cdot10=50$가지이다.

$a_2=5$ $a_2=5$이면 $a_1\le7$ $a_1\le7$이 나오지만 $a_1$ $a_1$은 여전히 $X=\{1,2,3,4,5\}$ $X=\{1,2,3,4,5\}$ 안의 값이다.
그래서 $a_1$ $a_1$은 $5$ $5$가지이고, 오른쪽 선택 수는 $1$ $1$가지이다.
따라서 $5\cdot1=5$ $5\cdot1=5$가지이다.

모든 경우를 더하면 $60+50+5=115$ $60+50+5=115$이다.
따라서 구하는 함수의 개수는 $\boxed{115}$ $\boxed{115}$이다.

경계에서 빠지기 쉬운 값을 다시 확인해보자

오른쪽을 세는 과정에서 $a_5$ $a_5$가 아니라 $a_5-1$ $a_5-1$을 줄에 넣었다.
이 덕분에 마지막 조건 $a_5\ge a_4+1$ $a_5\ge a_4+1$이 $a_4\le a_5-1$ $a_4\le a_5-1$로 바뀌고, $a_5\le5$ $a_5\le5$는 $a_5-1\le4$ $a_5-1\le4$로 바뀐다.

이 경계를 놓치면 $a_4=5$ $a_4=5$ 같은 값을 허용하게 된다.
하지만 $a_4=5$ $a_4=5$이면 $a_5\ge6$ $a_5\ge6$이어야 하므로 $a_5\in X$ $a_5\in X$와 맞지 않는다.
또 $a_2=5$ $a_2=5$에서 $a_1\le7$ $a_1\le7$이 나오더라도 $a_1$ $a_1$의 실제 범위는 여전히 $1$ $1$부터 $5$ $5$까지이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

조건 (가)를 네 줄로 풀어 쓰면 마지막 두 칸에서 $a_5-1$ $a_5-1$을 보아야 한다.
$a_4\ge a_3$ $a_4\ge a_3$, $a_5\ge a_4+1$ $a_5\ge a_4+1$을 따로 보면 경우를 하나씩 세게 되지만, $a_5-1$ $a_5-1$을 놓으면 $a_3\le a_4\le a_5-1$ $a_3\le a_4\le a_5-1$이라는 한 줄 정렬이 보인다.

경우의 수 문제에서 이웃한 대상들이 부등식으로 이어질 때는, 같은 방향으로 줄 세울 수 있는 값이 있는지 먼저 손으로 바꿔 본다.
이 문항에서는 $a_5$ $a_5$를 한 칸 낮춘 $a_5-1$ $a_5-1$이 그 역할을 했고, 그 순간 오른쪽 세 칸이 중복조합으로 정리되었다.