한 개의 주사위를 세 번 던져 나온 눈을 차례로 a, b, c라 한다 구하는 사건은 a+b=8 또는 b≥c가 성립하는 경우이다 확률은 q/p이고 p와 q는 서로소인 자연수이다 최종적으로 p+q를 구한다

2026학년도 6월 모의평가 수학 확률과 통계 29번 풀이 | 덧셈정리와 교집합 세기

2025년 6월 시행 2026학년도 6모 수학 확률과 통계 29번 손필기 해설입니다. 주사위 세 번의 결과를 X:a+b=8, Y:b≥c로 나누고 b값이 만드는 교집합 20개를 전체 216칸에서 빼서 17/27, 정답 44를 얻습니다. Mathlab.kr

정답: 44
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

세 번 던진 결과를 X:a+b=8, Y:b≥c로 나누고, X와 Y가 공유하는 b값으로 교집합 20개를 세어 덧셈정리로 17/27을 얻는다.

문제

문제 텍스트 주관식

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $a,b,c$ $a,b,c$라 할 때, $a+b=8$ $a+b=8$ 또는 $b\ge c$ $b\ge c$일 확률은 $\frac{q}{p}$ $\frac{q}{p}$이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오.

단, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

풀이

풀이 전략

세 번 던진 한 결과는 순서가 있는 $(a,b,c)$ $(a,b,c)$ 한 칸으로 정해진다.
조건은 $a+b=8$ $a+b=8$과 $b\ge c$ $b\ge c$ 두 갈래로 나뉘고, 문제의 **“또는”**은 두 조건 중 하나라도 성립하는 결과를 세라는 뜻이다.
두 조건은 변수 $b$ $b$를 공유하므로 동시에 성립하는 결과를 따로 세어 한 번 빼야 한다.

두 사건 X와 Y가 변수 b를 공유하고 교집합을 한 번 빼야 하는 구조 — 한 결과 $(a,b,c)$ $(a,b,c)$에서 $X:a+b=8$ $X:a+b=8$과 $Y:b\ge c$ $Y:b\ge c$가 변수 $b$ $b$를 공유하므로 겹치는 부분을 따로 봐야 한다.

전체 경우의 수는 $6^3=216$ $6^3=216$이다.
이제 $X:a+b=8$ $X:a+b=8$, $Y:b\ge c$ $Y:b\ge c$라고 두고 $P(X)$ $P(X)$, $P(Y)$ $P(Y)$, $P(X\cap Y)$ $P(X\cap Y)$를 차례로 구한다.

$a+b=8$ $a+b=8$인 쌍부터 적어보자

$a+b=8$ $a+b=8$은 $a,b$ $a,b$ 두 눈만 보면 된다.
주사위 눈은 $1$ $1$부터 $6$ $6$까지이므로 가능한 $(a,b)$ $(a,b)$쌍은 $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$의 5가지이다.

$c$ $c$는 이 조건에 들어가지 않으므로 어떤 값이어도 된다.
실제 전체 결과로 세면 $5\cdot6=30$ $5\cdot6=30$개이고, $30/216=5/36$ $30/216=5/36$이므로 $P(X)=\frac{5}{36}$ $P(X)=\frac{5}{36}$이다.
이 다섯 쌍에서 $b$ $b$값이 $6,5,4,3,2$ $6,5,4,3,2$라는 점은 뒤에서 교집합을 셀 때 다시 쓰인다.

$b\ge c$ $b\ge c$는 $b,c$ $b,c$ 표로 세어보자

$b\ge c$ $b\ge c$는 $a$ $a$와 상관없이 $b,c$ $b,c$의 크기 관계만 묻는다.
$b$ $b$를 하나 고정하면 가능한 $c$ $c$는 $1$ $1$부터 $b$ $b$까지이다.

b 값별로 b 이상이 아닌 c의 개수를 세어 b≥c인 경우 21개를 얻는 표 — $b=1,2,\ldots,6$ $b=1,2,\ldots,6$일 때 가능한 $c$ $c$의 개수가 $1,2,\ldots,6$ $1,2,\ldots,6$으로 늘어난다.

표에서 $b\ge c$ $b\ge c$를 만족하는 $(b,c)$ $(b,c)$쌍은 $1+2+3+4+5+6=21$ $1+2+3+4+5+6=21$가지이다.
$a$ $a$는 이 조건에 들어가지 않으므로 어떤 값이어도 되어 실제 전체 결과로는 $6\cdot21=126$ $6\cdot21=126$개이다.
따라서 $126/216=21/36$ $126/216=21/36$, 즉 $P(Y)=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$ $P(Y)=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$이다.

부등호에 등호가 포함되어 있으므로 $b=c$ $b=c$인 여섯 칸도 세어야 한다.
이 점을 빼면 $15$ $15$개처럼 보이는 오답으로 흐르기 쉽다.

겹치는 칸은 아까 적은 $b$ $b$값으로 세어보자

이제 $X\cap Y$ $X\cap Y$를 센다.
$X$ $X$에서 가능한 $(a,b)$ $(a,b)$쌍은 이미 다섯 개이고, 그때의 $b$ $b$값은 $6,5,4,3,2$ $6,5,4,3,2$이다.
동시에 $b\ge c$ $b\ge c$도 만족해야 하므로 각 $b$ $b$에 대해 가능한 $c$ $c$의 개수는 차례로 $6,5,4,3,2$ $6,5,4,3,2$개가 된다.

a+b=8인 다섯 쌍에서 b 값을 추출해 교집합 20개를 세는 흐름표 — $a+b=8$ $a+b=8$의 다섯 쌍에서 나온 $b=6,5,4,3,2$ $b=6,5,4,3,2$가 그대로 가능한 $c$ $c$의 개수를 정한다.

따라서 $X\cap Y$ $X\cap Y$에 해당하는 전체 $(a,b,c)$ $(a,b,c)$ 결과는 $6+5+4+3+2=20$ $6+5+4+3+2=20$개이다.
이때는 $a,b,c$ $a,b,c$ 세 눈이 함께 정해진 결과를 세고 있으므로 전체 $216$ $216$칸 안에서 보아 $P(X\cap Y)=\frac{20}{216}=\frac{5}{54}$ $P(X\cap Y)=\frac{20}{216}=\frac{5}{54}$이다.

덧셈정리로 모아 확률을 구하자

두 조건 중 하나라도 성립할 확률은 겹치는 부분을 한 번 빼서 계산한다.

세 확률을 덧셈정리에 대입해 17/27과 p+q=44를 얻는 계산 — 앞에서 구한 세 확률을 $P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)$ $P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)$에 넣어 정답까지 정리한다.

계산하면 다음과 같다.

\begin{aligned} P(X\cup Y) &=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y)\\ &=\frac{5}{36}+\frac{7}{12}-\frac{5}{54}\\ &=\frac{17}{27} \end{aligned}

문제에서 이 확률을 $\frac{q}{p}$ $\frac{q}{p}$라고 두었으므로 $q=17,\ p=27$ $q=17,\ p=27$이다.
따라서 $p+q=44$ $p+q=44$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 당황하기 쉬운 부분은 계산 자체보다 세는 단위가 바뀌는 지점이다.
$X$ $X$는 $a,b$ $a,b$만 보면 되어 $36$ $36$칸 중 5칸으로 읽을 수 있고, $Y$ $Y$도 $b,c$ $b,c$만 보면 되어 $36$ $36$칸 중 21칸으로 읽을 수 있다.
하지만 $X\cap Y$ $X\cap Y$는 $a,b,c$ $a,b,c$가 함께 정해지는 결과이므로 $216$ $216$칸 안에서 20칸을 세는 장면이다.

또 하나는 “또는”을 볼 때 겹침을 먼저 의식하는 것이다.
두 조건이 공통으로 $b$ $b$를 포함하고 있으므로 동시에 성립하는 경우가 자연스럽게 생긴다.
그래서 $a+b=8$ $a+b=8$의 다섯 쌍을 적을 때 $b$ $b$값 $6,5,4,3,2$ $6,5,4,3,2$를 같이 보면 겹치는 경우까지 한 번에 이어진다.