A는 1과 8 중 한 장을 고르고, 8을 고를 때만 카드를 내려놓는다 B는 2,3,4,5,6,7 중 한 장을 고르고, 뽑은 수가 자연수 n 이하일 때만 내려놓는다 두 학생이 모두 내려놓으면 더 큰 수가 적힌 카드를 내려놓은 학생만 귤을 받는다 한 명만 내려놓으면 카드를 내려놓지 않은 학생만 귤을 받는다 p와 q가 같고 n은 7 이하의 자연수이다

2026학년도 9월 모의평가 수학 확률과 통계 30번 풀이 | 네 칸 경우표와 여사건

2025년 9월 시행 2026학년도 9모 수학 확률과 통계 30번 손필기 해설입니다. 카드 내려놓기 규칙을 네 칸 표로 나누어 수령자를 판정하고 p=(n-1)/6, q=(7-n)/12를 구해 p=q에서 n=3과 정답 80을 계산합니다. Mathlab.kr

정답: 80
발행: 2026년 6월 30일
수정: 2026년 6월 30일

정답

핵심 요약

내려놓음/안 내려놓음 네 칸 표로 A와 B의 수령 사건을 정리하고, p=(n-1)/6과 q=(7-n)/12를 같게 두어 n=3과 정답 80을 구한다.

문제

문제 텍스트 주관식

학생 A는 숫자 1, 8이 각각 하나씩 적혀 있는 2장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 선택하여 선택한 카드에 적힌 수가 8일 때만 선택한 카드를 바닥에 내려놓고, 학생 B는 숫자 2, 3, 4, 5, 6, 7이 각각 하나씩 적혀 있는 6장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 선택하여 선택한 카드에 적힌 수가 자연수 $n$ $n$보다 작거나 같을 때만 선택한 카드를 바닥에 내려놓는다.

다음 규칙에 따라 학생 A가 귤을 받을 확률을 $p$ $p$, 학생 B가 귤을 받을 확률을 $q$ $q$라 하자.

카드를 내려놓은 학생이 2명이면 더 큰 수가 적힌 카드를 내려놓은 학생만 귤을 받는다.
카드를 내려놓은 학생이 1명이면 카드를 내려놓지 않은 학생만 귤을 받는다.
카드를 내려놓은 학생이 없으면 어느 학생도 귤을 받지 못한다.

$p=q$ $p=q$일 때, $24(n+p)$ $24(n+p)$의 값을 구하시오. 단, $n$ $n$은 7 이하의 자연수이다.

정답

풀이

풀이 전략

규칙을 읽으면 귤을 받는 사람이 카드의 숫자만으로 정해지지 않는다.
먼저 카드를 내려놓은 학생이 몇 명인지가 갈리고, 두 명이 모두 내려놓았을 때만 카드의 크기를 비교한다. 그래서 두 학생의 행동을 내려놓음/안 내려놓음 네 칸으로 나누어 $p$ $p$와 $q$ $q$가 어느 칸에서 나오는지 확인한다.

Step 1. 누가 카드를 내려놓는지만 먼저 표시해보자

학생 A는 1과 8 중 하나를 고른다.
A가 카드를 내려놓는 경우는 8을 고를 때뿐이므로, A가 내려놓을 확률은 $\frac12$ $\frac12$이다.
이때 내려놓은 카드의 수는 항상 8이다.

학생 B는 2, 3, 4, 5, 6, 7 중 하나를 고른다.
B가 내려놓는 카드는 $n$ $n$ 이하인 카드이므로 $2,3,\cdots,n$ $2,3,\cdots,n$이다.
다만 $n=1$ $n=1$이면 이 구간은 빈 경우로 보고, 아래 개수식은 $n-1=0$ $n-1=0$까지 포함해 읽는다.
따라서 B가 내려놓는 카드의 개수는 $n-1$ $n-1$개이고, B가 카드를 내려놓거나 내려놓지 않을 확률은 다음과 같다.

P(B\text{가 내려놓음})=\frac{n-1}{6},\qquad P(B\text{가 내려놓지 않음})=\frac{7-n}{6}

다음 그림처럼 A가 내려놓는 카드는 8 하나이고, B가 내려놓는 카드는 모두 7 이하이다.
그래서 두 명이 모두 내려놓는 칸에서는 A의 카드가 항상 더 크다.

A와 B가 카드를 내려놓는 조건과 둘 다 내려놓았을 때 A가 받는 구조 — A는 8만 내려놓고, B가 내려놓는 카드는 7 이하라서 둘 다 내려놓으면 A가 귤을 받는다.

Step 2. 네 칸 표에서 귤을 받는 사람을 적어보자

두 학생의 행동을 네 칸으로 나누면 각 칸의 수령자가 바로 보인다.
두 명이 모두 내려놓는 칸에서는 A가 받고, 한 명만 내려놓는 칸에서는 내려놓지 않은 학생이 받는다.

A와 B의 내려놓음 여부 네 칸 경우표와 p, q가 나오는 사건 — 네 칸 경우표에서 p는 B가 내려놓는 열 전체이고, q는 A∩B^C 한 칸이다.

표에서 A가 귤을 받는 칸은 두 학생이 모두 내려놓는 칸과 B만 내려놓는 칸이다.
두 칸은 공통적으로 B가 카드를 내려놓은 경우이므로, 결과적으로 $p=P(B)$ $p=P(B)$가 된다.

반대로 B가 귤을 받는 칸은 A가 내려놓고 B가 내려놓지 않는 경우 하나이다.
한 명만 내려놓았을 때 내려놓지 않은 학생이 받는다는 규칙 때문에 이 칸이 B의 사건이 된다.

Step 3. 사건 이름을 붙여 식으로 옮겨보자

A가 카드를 내려놓는 사건을 $A$ $A$, B가 카드를 내려놓는 사건을 $B$ $B$라고 하자.
두 학생의 카드 선택은 서로 독립이므로, 행동 조합의 확률은 각 확률을 곱해서 구한다.

앞의 표에서 학생 A가 귤을 받는 경우는 $(A\cap B)$ $(A\cap B)$ 또는 $(A^C\cap B)$ $(A^C\cap B)$이다.
그러므로 $p$ $p$는 다음과 같다.

p=P(A)P(B)+P(A^C)P(B) =\frac12\cdot\frac{n-1}{6}+\frac12\cdot\frac{n-1}{6} =\frac{n-1}{6}

학생 B가 귤을 받는 경우는 $A\cap B^C$ $A\cap B^C$ 하나이다.
따라서 $q$ $q$는 다음과 같다.

q=P(A)P(B^C) =\frac12\left(1-\frac{n-1}{6}\right) =\frac{7-n}{12}

Step 4. $p=q$ $p=q$를 맞춰 $n$ $n$을 찾아보자

문제에서 $p=q$ $p=q$라고 했으므로 방금 얻은 두 식을 같게 놓는다.

\frac{n-1}{6}=\frac{7-n}{12}

양변에 12를 곱하면 $2(n-1)=7-n$ $2(n-1)=7-n$이고, 정리하면 $3n=9$ $3n=9$이므로 $n=3$ $n=3$이다.

이때 $p=\frac{3-1}{6}=\frac13$ $p=\frac{3-1}{6}=\frac13$이다.
따라서 구하는 식의 값은 다음과 같다.

24(n+p)=24\left(3+\frac13\right)=24\cdot\frac{10}{3}=80

구하는 값은 $80$ $80$이다.

이 문항에서 어려웠던 지점

이 문항에서 헷갈리기 쉬운 부분은 귤을 받는 규칙이 평소의 승패 규칙과 조금 다르다는 점이다.
두 명이 모두 내려놓으면 큰 수가 이기지만, 한 명만 내려놓으면 내려놓지 않은 학생이 귤을 받는다. 이 두 규칙이 섞여 있어서 카드 숫자를 곧바로 세기 시작하면 사건이 흐려질 수 있다.

처음에 행동을 네 칸 표로 나누면 A가 받는 칸과 B가 받는 칸이 분리된다.
그 뒤에는 $A$ $A$, $B$ $B$, $B^C$ $B^C$를 붙여 곱셈정리와 여사건으로 계산하면 된다.